【正文】 ② ① ②得 ， 2 2 11 ( 1 ) ( 1 ) . . . ( 1 ) ( 1 )nnnd S d d d d n d???? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? 2 (1 ) 1 (1 )n ndd n dd????? ? ????? 整理得 1 ( 1)(1 ) .nnS dn d? ? ? ? 綜上 1 ( 1)(1 ) .nnS dn d? ? ? ? www.ks5u.com 來源：高考資源網(wǎng) 5. (2020重慶高考文科 T16)（本小題滿分 13 分，（ I）小問 7 分，（ II）小問 6 分 .） 設 ??na 是公比為正數(shù)的等比數(shù)列 , 4,2 231 ??? aaa . (Ⅰ ) ??na 的通項公式 。 (Ⅱ )設 ??nb 是首項為 1,公差為 2 的等差數(shù)列 ,求數(shù)列 ? ?nn ba ? 的前 n 項和 nS . 【思路點撥】 首先求出該數(shù)列的公比 ,然后根據(jù)公式求解數(shù)列的通項公式和新數(shù)列的前 n 項和 . 【精講精析】 (Ⅰ )設 q 為等比數(shù)列 ??na 的公比 ,則由 4,2 231 ??? aaa 得 422 2 ?? qq 即 022 ???qq ,解得 2?q 或 1??q (舍去 ),因此 2?q . (Ⅱ ) .2222 )1(121 )21(2 21 ??????????? ? nnnnS nnn 考點 10 數(shù)列的綜合應用 一、解答題 1. （ 2020湖北高考理科 T19） （本小題滿分 13 分） 已知數(shù)列 ??na 的前 n 項和為 nS ，且滿足： 1aa? ( 0)a? ， 1nna rS? ? (n? N*，, 1)r R r? ?? . （ 1）求數(shù)列 ??na 的通項公式； （ 2）若存在 k? N*，使得 1kS? ， kS ， 2kS? 成等差數(shù)列，試判斷：對于任意的 m? N*，且 2m? ， 1ma? ， ma ， 2ma? 是否成等差數(shù)列，并證明你的結論 . 【思路點撥】 (1)利用 11,1,2n nnsna s s n???? ? ???，將 1nna rs? ? 轉化為 21( 1)nna r a???? ，再 0r?與 0r? 分兩種情況求解；（ 2） 0r? 時易證明； 0r? 時，由“存在 ,kR? 使得12,k k ks s s??成等差數(shù)列”可得 122k k ks s s????，據(jù)此可求出 r ，最后可證明122m m ma a a????，即對任意的 *,mN? 且 2m? 時，有 12,m m ma a a??成等差數(shù)列 . 【精講精析】 ⑴由已知 1nna rs? ? ，可得 21nna rs??? ，兩式相減可得 2 1 1 1( ) r ,n n n n na a r s s a? ? ? ?? ? ? ?即 21( 1)nna r a???? ，又 21a ra ra??， 所以 0r? 時，數(shù)列 ??na 為： ,0, ,0 。a 當 0r? ， 1r?? 時，由已知 0a? ，所以 *0( )na n N??， 于是由 21( 1)nna r a???? ，可得 21 ( 1)nna ra ?? ??*()nN? ， 12, , , na a a? 成等比數(shù)列， 綜上，數(shù)列 ??na 的通項公式為2, 1,( 1 ) , 2 .n nanar r a n?? ??? ????? ⑵對于任意的 m? N*，且 2m? ， 1ma? ， ma ， 2ma? 成等差數(shù)列 .證明 如下 ： 當 0r? 時，由⑴知， , 1,0, ana n???? ?? ∴對于任意的 m? N*， ， 且 2m? ， 1ma? ， ma ， 2ma? 成等差數(shù)列 . 當 0r? ， 1r?? 時，∵ 2 1 2k k k ks s a a? ? ?? ? ?， 11k ks s a???? . 若存在 *kN? ，使得使得 12,k k ks s s??成等差數(shù)列，則 122k k ks s s????， ∴ 122 2 2k k k ks a a s??? ? ?，即 212kkaa???? ， 由⑴知， 12, , , na a a 的公比 12r? ?? ，于是對于任意的 m? N*， ， 且 2m? ， 1 2mmaa? ?? ，從而 2 4mmaa? ? ， ∴ 122m m ma a a????，即 12,m m ma a a??成等差數(shù)列 . 綜上，對于任意的 *,mN? 且 2m? 時，有 12,m m ma a a??成等差數(shù)列 . 2.（ 2020湖北高考文科Ｔ 17） （本小題滿分 12 分） 成等差數(shù)列的三個正數(shù)的和等于 15，并且這三個數(shù)分別加上 13 后成為等比數(shù)列? ?nb中的5. (I) 求數(shù)列? ?nb的通項公式； (II) 數(shù) 列n的前 n 項和為 nS，求證：數(shù)列54nS???????是等比數(shù)列 . 【思路點撥】 (Ⅰ )設等差數(shù)列的三個正數(shù)分別為 ,a d a a d??，由已知條件可構造含有 ,ad的方程組求解； (Ⅱ )由 nb 先求出 Sn ，再利用定義證明數(shù)列54nS ?是等比數(shù)列 . 【精講精析】 (Ⅰ )設等差數(shù)列的三個正數(shù)分別為 ad， a， a+d. 依題意是，得 ad+a+a+d=15，解得 a=5. 所 以 ??nb 中的 b3,b4,b5依次為 7d， 10,18+d. 依題意，有 (7d)(18+d)=100，解得 d=2或 d=13(舍去 ). 故 ??nb 的第 3 項為 5，公比為 2. 由 b3=b1 22，即 5=b1 22， 解得1 54b?. 所以 ??nb 是以 54 為首項， 2 為公比的等比數(shù)列，其 通項公式為： 135 2 5 24 nnnb ??? ? ? ?. (Ⅱ )數(shù)列 ??nb 的前 n 項各 ? ? 25 12 54S 5 21 2 4n nn ??? ? ? ?? ，即 25S 5 24 nn ?? ? ?. 所以1 55S 42??， 11 25S524 25 52S4nnnn???? ?????. 因此數(shù)列 5S 4n???????是以 52 為首項，公比 為 2 的等比數(shù)列 . 3． （ 2020全國高考理科Ｔ 20） 設數(shù)列 ??na 滿足 1 0a? 且111 nnaa? ???? （Ⅰ）求 ??na 的通項公式； （Ⅱ）設 111 , , 1 .nnn n k nkab b Sn ???? ? ??記 S 證 明 ： 【思路點撥】 解本題突破口關鍵是由式子111 nnaa? ????得到 1{}1 na?是等差數(shù)列，進而可求出數(shù)列 ??na 的通項公式 .第（ II）問求出 {}nb 的通項公式注意觀察到能采用裂項相消的方式求和 . 【精講精析】 (I) 1{}1 na?是公差為 1 的等差數(shù)列，111 ( 1 ) 1 .11n nnaa? ? ? ? ??? 所以 1 ()n na n Nn?? ? ? (II) 1 11 1111nnnanbn n n n??? ?? ? ? ?? 11 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) 1 11 2 2 3 1 1nnkkSb n n n?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????. （ 2020上海高考理科 T22） 已知數(shù)列 {}na 和 {}nb 的通項公式分別為 36nan??，27nbn??（ *)nN? .將集合 { , * } { , * }nnx x a n N x x b n N? ? ? ?中的元素從小到大依次排列，構成數(shù)列 1 2 3, , , , ,nc c c c （ 1）寫出 1 2 3 4, , ,c c c c ； （ 2）求證：在數(shù)列 {}nc 中，但不在數(shù)列 {}nb 中的項恰為 2 4 2, , , ,na a a ； （ 3）求數(shù)列 {}nc 的通項公式 . 【思路點撥】本題考查數(shù)列有關知識，利用兩個等差數(shù)列，組合成一個新的數(shù)列，進而考察新數(shù)列性質，以及求其通項公式，緊緊圍繞新數(shù)列的構成特點是解決本題的關鍵。 【精講精析】（ 1）對數(shù)列 36nan??，依次是 9， 12， 15， 18， 21?? 對數(shù)列 27nbn??，依次是 9， 11， 13， 15， 17， 19， 21??，所以 1 9c? ， 2 11c? ，3 12c? ， 4 13c? （ 2） 2 66nan??表示的是從 12開始的所有的能被 6整除的數(shù)，當然能被 2整除，而 nb 表示的是從 9 開始的所有奇數(shù)，故 2na 均不在 nb 中；再證明： 21na? 項均在 nb 中，21 63nan? ??，表示的是從 9 開始除以 6 余 3 的數(shù)，故都是奇數(shù)，而 nb 表示的是從 9 開始的所有奇數(shù)，故 21na? 項均在 nb 中，這就證明了在數(shù)列 nb 中的 na 的項恰好是所有的偶數(shù)項 2na . （ 3） 根據(jù)上面的討論可知 6 是數(shù)列 {}nc 在自然數(shù)中的截取周期，即在從 9 開始連續(xù)的 6 項自然數(shù)中，第一項一定是 {}na 與 {}nb 的公共項，第二項不存在于 {}nc中，第三項一定是 {}nb 中的項，第四項一定是 {}na 中的項，第五 項是 {}nb 中的項，第六項不在 {}nc 中，這樣的話數(shù)列 {}nc 是以 4 為截取周期的，故 {}nc 的通項公式是323123( 4 3 )( 4 2)( 4 1)( 4 )kknkkb n kb n kca n kb n k?????? ???? ? ???? ?? （ 2020上海高考文科 T23） 已知數(shù)列 {}na 和 {}nb 的通項公式分別為 36nan??，27nbn??( *)nN? .將集合 { , * } { , * }nnx x a n N x x b n N? ? ? ?中的元素從小到大依次排列，構成 數(shù)列 1 2 3, , , , ,nc c c c （ 1）求三個最小的數(shù)，使它們既是數(shù)列 {}na 中的項，又是數(shù)列 {}nb 中的項； （ 2）數(shù)列 1 2 3 40, , , ,c c c c 中有多少項不是數(shù)列 {}nb 中的項？請說明理由； （ 3）求數(shù)列 {}nc 的前 4n 項和 4 ( *)nS n N? . 【思路點撥】 本題考查數(shù)列有關知識，利用兩個等差數(shù)列，組合成一個新的數(shù)列，進而考察新數(shù)列性質，以及求其通項公式，緊緊圍繞新數(shù)列的構成特點是解決本題的關鍵。 【精講精析】 （ 1）顯然 36nan??表示的是從 9 開始能被 3 整除的所有的正整數(shù)，故最小的三個數(shù)為 9， 15， 21 （ 2） 可知 6 是數(shù)列 {}nc 在自然數(shù)中的截取周期，即在從 9 開始連續(xù)的 6 項自然數(shù)中，第一項一定是 {}na 與 {}nb 的公共項，第二項不存在于 {}nc 中，第三項一定是 {}nb 中的項，第四項一定是 {}na 中的項，第五項是 {}nb 中的項，第六項不在 {}nc中，（ 3）由（ 2）可得數(shù)列 {}nc 是以 4 為截取周期的，故 {}nc 的通項公式是323123( 4 3 )( 4 2)( 4 1)( 4 )kknkkb n kb n kca n kb n k?????? ???? ? ???? ??*()kN? 因為 4 3 4 2 4 1 4 3 2 3 1 2 3n n n n k k k kc c c c b b a b? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?= 6 3 6 5 6 6 6 7 2 4 2 1k k k k k? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以 24 1 ( 1 )( 2 4 2 1 ) 2 4 2 1 1 2 3 32knn k nnS k n n n???? ? ? ? ? ? ?? （ 2020四川高考文科Ｔ 20） 已知 ??na 是以 a 為首項， q 為公比的等比數(shù)列， nS 為它的前 n 項和 . （Ⅰ）當 1 3 4,S S S 成等差數(shù)列時，求 q 的值； (Ⅱ )當 ,m n lS S S 成等差數(shù)列時，求證：對任意自然數(shù) , , ,m k n k l kk a a a? ? ?也成等差數(shù)列 . 【思路點撥】 （Ⅰ）直接利用 4 3 3 1S S S S???求公比 q . (Ⅱ )當 =1q 時， ,m k n k l ka a a? ? ? 顯然成等差數(shù)列 . 當 1q? 時， 2m i nS S S?? 即為 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )2.1 1 1m i na q a q a qq q q? ? ???? ? ? 可得 i nq