【正文】 13. 已知函數(shù) | | 1yx??， 2 22y x x t? ? ? ?， 11()2 tyxx??? ( 0)x? 的最小值恰好是方程 32 0x ax bx c? ? ? ?的三個根，其中 01t?? ． （ 1）求證： 2 23ab??； （ 2）設(shè) 1( , )xM ， 2( , )xN是函數(shù) 32()f x x ax bx c? ? ? ?的兩個極值點 ． ①若122||3xx??，求函數(shù) ()fx的解析式； ②求 ||MN? 的取值范圍． 解：（ 1）三個函數(shù)的最小值依次為 1， 1t? ， 1t? ， 由 (1) 0f ? ，得 1c a b?? ? ? ∴ 3 2 3 2( ) ( 1 )f x x a x b x c x a x b x a b? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2( 1 ) [ ( 1 ) ( 1 ) ]x x a x a b? ? ? ? ? ? ?， 故方程 2 ( 1 ) ( 1 ) 0x a x a b? ? ? ? ? ?的兩根是 1t? ， 1t? ． 故 1 1 ( 1)t t a? ? ? ? ? ?， 1 1 1t t a b? ? ? ? ? ?． 22( 1 1 ) ( 1)t t a? ? ? ? ?，即 22 2( 1) ( 1)a b a? ? ? ? ? ∴ 2 23ab??． （ 2） ① 依題意 12,xx是方程 239。( ) 3 2 0f x x ax b? ? ? ?的根， 故有12 23axx? ??，123bxx?， 且 △ 2(2 ) 12 0ab? ? ?，得 3b? ． 由 221 2 1 2 1 2 2 3 2 3| | ( ) 4 33a b bx x x x x x ??? ? ? ? ? ? 233 b? 23? ； 得， 2b? ， 2 2 3 7ab? ? ? ． 由（ Ⅰ ）知 1 1 ( 1) 0t t a? ? ? ? ? ? ?，故 1a?? ， ∴ 7a?? ， ( 1) 7 3c a b? ? ? ? ? ? ∴ 32( ) 7 2 7 3f x x x x? ? ? ? ?． ② 12| | | ( ) ( ) |M N f x f x? ? ? 3 3 2 21 2 1 2 1 2| ( ) ( ) ( ) |x x a x x b x x? ? ? ? ? ? 21 2 1 2 1 2 1 2| | | ( ) ( ) |x x x x x x a x x b? ? ? ? ? ? ? ? 22 3 2 2| ( ) ( ) |3 3 3 3b a b aab?? ? ? ? ? ? ? 324 (3 )27 b??（或 32 249()27 2a? ）． 由（ Ⅰ ） 2 2 2( 1 ) ( 1 1 ) 2 2 1a t t t? ? ? ? ? ? ? ? ∵ 01t?? ， ∴ 22 ( 1) 4a? ? ? ， 又 1a?? ， ∴ 2 1 2a? ? ? ? ?， 3 2 1a? ? ? ? ?， 23 2 2 9a? ? ?（或 23b?? ） ∴ 3240 | | ( 3 2 )27MN? ? ? ?． . 14. 200８年天津市十二區(qū)縣重點學(xué)校高三畢業(yè)班聯(lián)考（一） 已知函數(shù)bx axxf ?? 2)(，在 1?x 處取得 極值為 2。 （ Ⅰ ）求函數(shù) )(xf 的解析式； （ Ⅱ ）若函數(shù) )(xf 在區(qū)間（ m， 2m＋ 1）上為增 函數(shù)，求實數(shù) m 的取值范圍； （ Ⅲ ） 若 P（ x0， y0）為bx axxf ?? 2)(圖象上的任意一點，直線 l 與bx axxf ?? 2)(的圖象相切于點 P，求直線 l 的斜率的取值范圍 .解： （ Ⅰ ）已知函數(shù) bx axxf ??2)(，222 )( )2()()(39。 bx xaxbxaxf ????? ????１ 分 又函數(shù) )(xf 在 1?x 處取得極值 2，??? ??? 2)1( 0)1(39。ff ????２ 分 即????????????????142102)1(babaaba 14)( 2 ??? x xxf ???????? 4 分 （ Ⅱ ）222222)1(44)1()2(4)1(4)(39。???????xxxxxxxf? 由 0)(39。 ?xf ，得044 2??x ，即 11 ??? x 所以 14)(2 ?? x xxf的單調(diào)增區(qū)間為（－ 1， 1） ?????????? 6 分 因函數(shù) )(xf 在（ m， 2m＋ 1）上單調(diào)遞增， 則有???????????mmmm121121， ????７ 分 解得 01 ??? m 即 ]01( ，??m 時，函數(shù) )(xf 在（ m， 2m ＋ 1）上為增函數(shù) ???８ 分 （ Ⅲ ）2222 )1( )2(4)1(4)(39。14)( ??????? x xxxxfx xxf? 直線 l 的斜率22020200 )1( 8)1(4)(39。 ? ???? x xxxfk????９ 分 即 k ]11)1( 2[4 20220 ???? xx 令 ]10(1120 ， ??? ttx， ????１０ 分 則 ]10()2(4 2 ， ??? tttk ]421[ ，???k 即直線 l 的斜率 k 的取值范圍是 ]421[ ，? ?????? 1２ 分 15. 若函數(shù) xxxgxxf 2)(,ln)( ??? （ 1）求函數(shù) ))(()()( Rkxkfxgx ???? 的單調(diào)區(qū)間 （ 2）若對所有的 aaxxxfx ????? )(),3[ 都有 成立，求實數(shù) a 的取值范圍 . 解：（ 1） )(x? 的定義域為 ),0( ?? ???? 12 分 222 221)( xkxxxkxx ???????? ???? 2 分 82 ??? k ①當(dāng) 0)(,2222,082 ????????? xkk ?時即時 ???? 3 分 ② 2222,082 ??????? kkk 或即時 時 2 8,2 802 22212 ??????????? kkxkkxkxx 有兩個不等實根方程 0)(,0,22 21 ????? xxxk ?故則若 ???? 4 分 。0)(,。0)(,0 0,22 211 21 ???????? ???? xxxxxxx xxk ?? 時當(dāng)時當(dāng) 則若 0)(,2 ??? xxx ?時當(dāng) ???? 5 分 綜上：),28()28,0()(,22 22 ?????????? kkkkxk 及的單調(diào)遞增區(qū)間為時當(dāng) ? 單調(diào)遞減區(qū)間為 ]2 8,2 8[ 22 ?????? kkkk )(,22 xk ?時當(dāng) ?? 的單調(diào)遞增區(qū)間（ 0， +? ） ???? 6 分 （ 2） 1lnln ??????? x xxaaaxxxex? ???? 7 分 ),[,1ln)( ????? exx xxxh令 ???? 8 分 則2)1( 1ln)( ? ???? x xxxh ???? 9 分 021ln1ln011)1ln(,???????????????eeexx xxxex 時當(dāng)? 0)( ??? xh ???? 10 分 1)()(m in ???? e eehxh ???? 11 分 1??? eea ???? 12 分 另解： 0ln)( ?????? aaxxxaaxxxf 0)(,),[,ln)( m i n ??????? xhexaaxxxxh 時則當(dāng)令 ???? 7 分 10)(,1ln)( ???????? aexxhaxxh 得由 ???? 8 分 0)(,0)(0 11 ??????? ?? xhexxhex aa 時當(dāng)時且當(dāng) ),(,),0()( 11 ??? ?? aa eexh 在單減在 單增 ???? 9 分 ①當(dāng) eea a ?? ?1,2時 0)()(),()( m i n ????????? aaeeehxhexh 單增在 1??? eea ???? 11 分 ②當(dāng) aeaeeha ????? 0)(,2 由時 ,2,2,2 aeaaeeaaeeaeea ????????? 則若則若 2?a故 不成立 ???? 12 分 綜上所述 1??eea 16. 山東省濰坊市 2020 年高三教學(xué)質(zhì)量檢測 2020 年奧運會在中國召開，某商場預(yù)計 2020 年從 1 日起 前 ． x． 個月 ． ． ，顧客對某種奧運商品的 需求總量． ． ． ． p （ x ）件與月份 x 的近似關(guān)系是)12,(),239)(1(21)( * ????? xNxxxxxp 且 該商品的進價 q(x)元與月份 x的近似關(guān)系是 )12,(,2150)( * ???? xNxxxq 且。 （ I）寫出今年 第 ． x． 月 ． 的需求量 f(x)件與月份 x的函數(shù)關(guān)系式； （ II）該商品每件的售價為 185元，若不計其他費用且每月都能滿足市場需求，則此商場今年銷售該商品的月利潤預(yù)計最大是多少元？ 解：（ I）當(dāng) 37)1()1(,1 ??? pfx 時 ； ???? 1 分 當(dāng) )1()()(,122 ????? xpxpxfx 時 ).122,(,403)241()1(21)239)(1(21 *2 ???????????? xxxxxxxxxx 且N ???? 4 分 驗證 xxxfx 403)(1 2 ???? 符合 ， ).121(403)( *2 ??????? xxxxxf 且N ???? 5 分 （ II）該商場預(yù)計銷售該商品的月利潤為 )121,(,1 4 0 01 8 56)21 5 01 8 5)(403()( *232 ??????????? xNxxxxxxxxg 9140,5,0)(,1 4 0 037018)( 2 ???????? xxxgxxxg 解得令（舍去）?? 9 分 ).(3125)5()(,5 ,0)(,125,0)(,51 m a x 元時當(dāng) 時當(dāng)時當(dāng) ???? ???????? gxgx xgxxgx 綜上 5 月份的月利潤最大是 3125 元。 ???? 12 分 17. 江蘇省濱?？h 08 屆高三第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷 202014 已知函數(shù) 2 2( ) ln ( 0 ) ,f x x a x xx? ? ? ? (1)若 ()fx在 [1, )?? 上單調(diào)遞增，求 a 的取值范圍； (2)若定義在區(qū)間 D上的函數(shù) )(xfy? 對于區(qū)間 D上的任意兩個值 21 xx、 總有以下不等式 12121 [ ( ) ( ) ] ( )22xxf x f x f ???成立，則稱函數(shù) )(xfy? 為區(qū)間 D 上的“凹函數(shù)” .試證當(dāng) 0a? 時 ， ()fx為“凹函數(shù)” 解： (1)由 ? ? 2 2 lnf x x a xx? ? ?，得 ? ?39。222 af x x xx? ? ? 若函數(shù)為 [1, )?? 上單調(diào)增函數(shù)，則 ? ?39。 0fx? 在 [1, )?? 上恒成立 即不等式2220ax xx? ? ?在 [1, )?? 上恒成立 . 也即 22 2axx?? 在 [1, )?? 上恒成立 令 22( ) 2xxx? ?? ，上述問題等價于 max()ax?? ，而 22( ) 2xxx? ?? 為在[1, )?? 上的減函數(shù)，則 m ax( ) (1) 0x????，于是 0a? 為所求 (2)證明：由 ? ? 2 2 lnf x x a xx? ? ? 得 ? ? ? ? ? ? ? ?12 221 2 1 2121 1 1 l n l n2 2 2f x f x ax x x xxx? ??? ? ? ? ? ????? ? ?22 121 2 1 2121 ln2 xxx x a x xxx?? ? ? ? 21 2 1 2 1 2124 ln2 2 2x x x x x xfa xx? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? 而 ? ? ? ? 22 2 2 2 121 2 1 2 1 211 22 4 2xxx x x x x x ?????? ? ? ? ? ???? ?? ① 又 ? ? ? ?2 221 2 1 2 1 2 1 224x x x x x x x x? ? ? ? ?， ∴ 121 2 1 24xxx x x x? ? ? ② ∵ 1212 2xxxx ?? ∴ 1212ln ln 2