【正文】 極限xbl第三章 函數(shù)極限教學(xué)目的：，掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)； ； 和，并能熟練運(yùn)用；（大）量及其階的概念，會(huì)利用它們求某些函數(shù)的極限。教學(xué)時(shí)數(shù)：16學(xué)時(shí)167。教學(xué)要求：使學(xué)生逐步建立起函數(shù)極限的ed定義的清晰概念。教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)極限的概念。一、復(fù)習(xí)：數(shù)列極限的概念、性質(zhì)等二、講授新課：（一）時(shí)函數(shù)的極限：《數(shù)學(xué)分析》教案第三章 函數(shù)極限xbl例4 驗(yàn)證例5 驗(yàn)證例6 驗(yàn)證證 由 =為使需有需有為使于是, 倘限制 , 就有例7 驗(yàn)證例8 驗(yàn)證(類似有（三）單側(cè)極限:1．定義：: 介紹半鄰域《數(shù)學(xué)分析》教案第三章 函數(shù)極限xbl我們引進(jìn)了六種極限:.以下以極限，、講授新課：（一）函數(shù)極限的性質(zhì): :::(不等式性質(zhì)):Th 4 若使，證 設(shè)和都有 =(現(xiàn)證對(duì) 都存在, 且存在點(diǎn) 的空心鄰域)，有註: 若在Th 4的條件中, 改“ 就有迫斂性:”為“ 舉例說明.”, 未必四則運(yùn)算性質(zhì):(只證“+”和“ ”)（二）利用極限性質(zhì)求極限： 已證明過以下幾個(gè)極限：《數(shù)學(xué)分析》教案第三章 函數(shù)極限xbl例8例9例10 已知求和補(bǔ)充題:已知求和（）167。教學(xué)要求：掌握海涅定理與柯西準(zhǔn)則，領(lǐng)會(huì)其實(shí)質(zhì)以及證明的基本思路。教學(xué)難點(diǎn)：海涅定理及柯西準(zhǔn)則 運(yùn)用?！瘮?shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系：Th 1 設(shè)函數(shù)在,對(duì)任何在點(diǎn)且的某空心鄰域.(證)存Heine歸并原則反映了離散性與連續(xù)性變量之間的關(guān)系,還可加強(qiáng)為單調(diào)趨于.參閱[1] 《數(shù)學(xué)分析》教案第三章 函數(shù)極限xbl教學(xué)難點(diǎn)：兩個(gè)重要極限的證明及運(yùn)用。一．（證）（同理有）例1例4例5 證明極限 對(duì)有例6特別當(dāng) 例8《數(shù)學(xué)分析》教案第三章 函數(shù)極限xbl三． 等價(jià)無窮?。篢h 2(等價(jià)關(guān)系的傳遞性).等價(jià)無窮小在極限計(jì)算中的應(yīng)用: Th 3(等價(jià)無窮小替換法則)幾組常用等價(jià)無窮小:（見[2]）例3 時(shí), 無窮小與是否等價(jià)? 例4:::性質(zhì)1 、等價(jià)關(guān)系以及應(yīng)用, 可仿無窮小討論, :無窮大的倒數(shù)是無窮小,非零無窮小的倒數(shù)是無窮大習(xí)題 課（2學(xué)時(shí)）一、理論概述：《數(shù)學(xué)分析》教案第三章 函數(shù)極限xbl.注意 時(shí), 且.先求由Heine歸并原則即求得所求極限.例8 解。一些數(shù)學(xué)的方法被其它學(xué)科廣泛地運(yùn)用。函數(shù)極限是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要問題。例如，導(dǎo)數(shù)從根本上是求極限；函數(shù)連續(xù)首先要求函數(shù)在某一點(diǎn)的左極限等于右極限。其目的在于歸納和總結(jié)解決函數(shù)極限問題的實(shí)用方法和技巧，以期對(duì)函數(shù)極限問題的學(xué)習(xí)有所幫助。一、函數(shù)極限的定義和基本性質(zhì)函數(shù)極限可以分成x→x0，x→∞兩類，而運(yùn)用εδ定義更多的見諸于已知極限值的證明題中。以x174。1999年的研究生考試試題中，更是直接考察了考生對(duì)定義的掌握情況。函數(shù)極限性質(zhì)的合理運(yùn)用。如函數(shù)極限的唯一性（若lim存在，則在該點(diǎn)的極限是唯一的）可以體現(xiàn)在用海涅定理證明x174。39。A，fxn，f(x)在x0處的極限不存在。B（n174。,xn和xn174。運(yùn)用函數(shù)極限的性質(zhì)可以方便地求出一些簡單函數(shù)的極限值。0）。165。0。P(x)與Q(x)的最高次項(xiàng)系數(shù)之比；若nm，則f(x)174。當(dāng)x174。P(x0)(Q(x0)185。Q(x0)二、運(yùn)用函數(shù)極限的判別定理最常用的判別定理包括單調(diào)有界定理和夾擠定理，在運(yùn)用它們?nèi)デ蠛瘮?shù)的極限時(shí)尤需注意以下關(guān)鍵之點(diǎn)。二是應(yīng)用夾擠定理的關(guān)鍵是找到極限值相同的函數(shù)g(x)與h(x)，并且要滿足g(x)163。h(x)，從而證明或求得函數(shù)f(x)的極限值。等價(jià)無窮小代換可以將復(fù)雜的極限式變的簡單明了，讓求解過程變得簡明迅速。0時(shí)，sinx與x，tanx與x，arcsinx與x，arctanx與x，1cosx與x2，xa，ax1與xlna，(1+a)與ax（a185。特別需要注意的是，等價(jià)無窮小代換只能用于分子、分母中的乘積sinxx因子，而對(duì)于加減法運(yùn)算則不能運(yùn)用。0x3sinxx1=成x，得出極限值為0，實(shí)際上lim。0x36四、運(yùn)用洛必達(dá)法則求函數(shù)極限設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)在點(diǎn)a的某空心鄰域可導(dǎo)，且g39。0。a時(shí)，f(x)f39。時(shí)才適用174。=A（A為常數(shù)或165。洛必達(dá)法則實(shí)際上把求函數(shù)極限問題轉(zhuǎn)化為學(xué)生較為拿手的求導(dǎo)數(shù)0165。、165。這使得求解思路簡單程序化。165。對(duì)式子進(jìn)行轉(zhuǎn)化，或通分或取倒數(shù)或取對(duì)數(shù)等轉(zhuǎn)化為型，再使用洛必達(dá)法0165。例如f(x)g(x)的極限轉(zhuǎn)化為求eg(x)lnf(x)的極限等等。這是因?yàn)槿绻褦?shù)列看作是自變量為n的函數(shù)時(shí)，它的定義域是一系列孤立的點(diǎn)，不存在導(dǎo)數(shù)。參見附例3。這樣將函數(shù)式化為最高次項(xiàng)為相同或相近的式子，這時(shí)就變成了求多項(xiàng)式的極限值（接著求值見上文所述方法），使計(jì)算一目了然。如ex，sinx，cosx，ln(1+x)等等。如cosxelimx174。x2利用泰勒公式展開cosx,ex22，展開到x4即可(原式x最高次項(xiàng)為六、利用微分中值定理來求極限f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)上可導(dǎo)，則至少存在一點(diǎn)x206。(x)=f(b)f(a)39。一般需baba要函數(shù)式可以看成同一函數(shù)的區(qū)間端點(diǎn)的差，這樣可以使用微分中值定理。另外，一些重要的結(jié)論往往在求極限時(shí)可以直接加以引用，例如lim(1+x)=e，limx174。x174。局限于筆者的認(rèn)知水平，缺點(diǎn)和不足在所難免，敬請(qǐng)批評(píng)指正。附：例1：對(duì)任意給定的e206。xna163。例2：若x1=a，y1=b（ba0），xn+1=xnyn，yn+1=明數(shù)列{xn},{yn}有相同的極限。y2179。yn+1179?！?79。x+ynlimyn+1=lin{xn}，{yn}單調(diào)有界，可以推出{xn}，{yn}收斂。165。165。165。設(shè)limyn=A，limxn=B，則222。165。A=B。（見課本2 ）n174。n1246。解析：這是數(shù)列。xtan247。+165。232。x174。x2aaarctan),a0n174。nn+1arctan解析：如例題3，設(shè)f(x)=a，則在[x,x+1]上f(x)連續(xù)，在(x,x+1)內(nèi)x例4：求limn2(arctan可導(dǎo)。(x,x+1),f39。22a+x值定理可得）。165。165