【正文】 例如一次函數(shù)有什么特點(diǎn)？二次函數(shù)有什么特點(diǎn)？反比例函數(shù)呢？此外還有一個(gè)非常重要的方面，就是體會(huì)函數(shù)各種表示之間的聯(lián)系。以前在傳統(tǒng)的教學(xué)當(dāng)中，可能這個(gè)解析式的表示我們用的比較多，表格、圖象表示用的比較少，不管在標(biāo)準(zhǔn)的實(shí)驗(yàn)稿當(dāng)中還是修訂稿中，我們都要關(guān)注函數(shù)的圖象表示，借助函數(shù)的圖象來(lái)研究函數(shù)的性質(zhì)，這是一種非常直觀的辦法。二、內(nèi)容的變化（一）強(qiáng)調(diào)一次函數(shù)的現(xiàn)實(shí)意義?！保ǘ?qiáng)調(diào)一次函數(shù)與二元一次方程的關(guān)系，但不要求用圖象法求二元一次方程組的近似解。例如“根據(jù)一次函數(shù)的圖象和表達(dá)式 y = kx + b(k ≠ 0)探索并理解 k ＞ 0 和 k ＜ 0 時(shí)，圖象的變化情況。如要求在具體情境中理解反比例函數(shù)的意義。能畫(huà)出反比例函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象和表達(dá)式(k ≠ 0)探索并理解 k ＞ 0 和 k ＜ 0 時(shí)，圖象的變化情況。如要求在實(shí)際問(wèn)題中分析體會(huì)二次函數(shù)的意義，并運(yùn)用于實(shí)際，在實(shí)際問(wèn)題中考慮自變量的取值范圍。所以對(duì)于學(xué)生來(lái)講，利用函數(shù)的方法解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，實(shí)際上是從常量的數(shù)學(xué)走到變量的數(shù)學(xué)，像在方程中，x 表示未知數(shù)，它實(shí)際上不是變量，其實(shí)它是一個(gè)常量。通過(guò)變量之間關(guān)系的學(xué)習(xí)有助于培養(yǎng)學(xué)生的理性思維，因?yàn)閷W(xué)習(xí)函數(shù)，就要表示變量之間的關(guān)系，它有一個(gè)很重要的作用，就是利用函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行預(yù)測(cè)，或利用函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，未知的點(diǎn)可以通過(guò)函數(shù)關(guān)系把它計(jì)算出來(lái)。進(jìn)行計(jì)算也是函數(shù)非常重要的一個(gè)應(yīng)用，我們根據(jù)函數(shù)的變化規(guī)律，看其中某一些位置的點(diǎn)的函數(shù)值是多少等等。通過(guò)直觀分析函數(shù)的性質(zhì)，學(xué)生可以對(duì)函數(shù)的增減性，或者是周期性等等都能夠有很好的認(rèn)識(shí)。到了初中階段，學(xué)生又接觸到一些新的知識(shí)，他們逐漸在豐富的自己的認(rèn)識(shí)。你能不能夠在現(xiàn)實(shí)生活中找到這樣的函數(shù)的一個(gè)實(shí)際背景或?qū)嵗坷绲谝粋€(gè)圖象，學(xué)生可能會(huì)說(shuō)是勻速行駛的汽車(chē)的時(shí)間和路程之間的關(guān)系，也有學(xué)生會(huì)舉例子說(shuō)，如果蘋(píng)果一斤是 2 元錢(qián)，這個(gè)圖表示的是蘋(píng)果斤數(shù)和總價(jià)的關(guān)系，這些例子都是比較樸素的。當(dāng)然這些所舉的例子都還需要再斟酌。有非常多的學(xué)生都提出自己的想法，用來(lái)解釋以上圖象，即是說(shuō)他們能夠從現(xiàn)實(shí)生活中挖掘出豐富的現(xiàn)實(shí)情景，去解釋各種各樣的函數(shù)關(guān)系，我想在這樣一個(gè)過(guò)程中學(xué)生們就能真正體會(huì)到函數(shù)圖象的價(jià)值。可能我們首先應(yīng)該讓學(xué)生感受到的就是：函數(shù)離我們這么近，其實(shí)它就是這么普通。函數(shù)還有一個(gè)作用，體現(xiàn)在解方程中。例如三次方程，我們的學(xué)生還沒(méi)有學(xué)，就不會(huì)解，但是我們可以畫(huà)一下它的圖象，然后就可以以此來(lái)大致的估計(jì)一下它的解的范圍，對(duì)它的解形成一些初步的認(rèn)識(shí)。另外函數(shù)這一研究變量關(guān)系的方法，實(shí)際上對(duì)于其他的學(xué)科，如物理、化學(xué)、經(jīng)濟(jì)及一些文科都有非常重要的作用，都是非常有力的工具。話題四 運(yùn)算能力一、意義及作用運(yùn)算能力是一項(xiàng)基本的數(shù)學(xué)能力，初中數(shù)學(xué)中大多數(shù)問(wèn)題的解決，都離不開(kāi)運(yùn)算。因此，《課程標(biāo)準(zhǔn)修改稿》將“運(yùn)算能力”作為一項(xiàng)重要的內(nèi)容，同時(shí)提出運(yùn)算能力培養(yǎng)的價(jià)值，即“有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，能夠?qū)で蠛侠砗?jiǎn)潔的運(yùn)算途徑解決問(wèn)題。二、在標(biāo)準(zhǔn)中的含義《課程標(biāo)準(zhǔn)修訂稿》將“運(yùn)算能力”界定為“能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力。“根據(jù)法則和運(yùn)算律”也就是運(yùn)算的依據(jù)和運(yùn)算的前提。此外，《課程標(biāo)準(zhǔn)修訂稿》還指出了 “培養(yǎng)運(yùn)算能力還有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，能夠?qū)で蠛侠砗?jiǎn)潔的運(yùn)算途徑解決問(wèn)題。這要求學(xué)生能夠根據(jù)問(wèn)題的不同條件和不同目標(biāo)，靈活地運(yùn)用公式、法則和有關(guān)的運(yùn)算律，能夠掌握同一個(gè)問(wèn)題的多種運(yùn)算方法，并善于通過(guò)觀察、分析、比較，作出合理的選擇。因而，在運(yùn)算過(guò)程中，學(xué)生的思維能力會(huì)受到檢驗(yàn)，并得到鍛煉。還有實(shí)數(shù)的運(yùn)算，但由于解決實(shí)際問(wèn)題取近似值，落腳點(diǎn)還是有理數(shù)運(yùn)算，帶根號(hào)的無(wú)理數(shù)的運(yùn)算實(shí)際上是恒等變形。運(yùn)算在解決問(wèn)題中是必須的，運(yùn)算能力的培養(yǎng)是重要的。四、如何培養(yǎng)關(guān)于運(yùn)算能力的培養(yǎng)有四點(diǎn)，即關(guān)于態(tài)度、知識(shí)、能力，以及應(yīng)用。所以第一點(diǎn)就是強(qiáng)調(diào)態(tài)度，必須重視運(yùn)算。因此我們認(rèn)為，在學(xué)習(xí)這些知識(shí)的時(shí)候，應(yīng)該給學(xué)生強(qiáng)化，讓他意識(shí)到這是一個(gè)最根本的東西。為什么這么說(shuō)呢？因?yàn)閷W(xué)生在運(yùn)算的時(shí)候需要一步一步地去進(jìn)行，前一步是后一步的前提，運(yùn)算不是憑空建立起來(lái)，必須有充分的理由才能夠做后面的運(yùn)算，才能夠?qū)崿F(xiàn)前后的這種連貫。比如我們?cè)趯W(xué)習(xí)乘法公式的時(shí)候，學(xué)生經(jīng)常愛(ài)犯的錯(cuò)誤中，比較典型的就是將這兩個(gè)公式混淆了，認(rèn)為(a+b)2 =a2 +b2。這個(gè)錯(cuò)誤產(chǎn)生原因我們可以分析，可能是一些知識(shí)的負(fù)向遷移。公式得來(lái)其實(shí)有兩個(gè)方面：一個(gè)是代數(shù)推導(dǎo)，一個(gè)是幾何直觀推導(dǎo)。這個(gè)乘法的運(yùn)算中，共得出四項(xiàng)，再合并同類項(xiàng)得到了三項(xiàng)。對(duì)于這個(gè)圖，我們還是很熟悉的，在幾何圖形中，(a+b)2 可以理解為邊長(zhǎng)為 a+b 的正方形的面積，而它是在兩個(gè)小正方形 a2 和 b2的基礎(chǔ)之上，還要算上兩個(gè)矩形的面積，這樣我們就完全否定了剛才的錯(cuò)誤。在此給大家一個(gè)建議，此處很好地體現(xiàn)了幾何直觀的作用，利用幾何直觀糾正學(xué)生這個(gè)錯(cuò)誤很有效。在學(xué)生出現(xiàn)問(wèn)題的時(shí)候，我們?cè)趺慈ソo它克服思維的定勢(shì)，找到錯(cuò)誤的根源，以及解決它。這個(gè)例子一方面反應(yīng)了對(duì)運(yùn)算的理解，另一個(gè)方面有一些運(yùn)算也可以運(yùn)用到其他的知識(shí)中去，這其實(shí)也加深了學(xué)生對(duì)運(yùn)算知識(shí)的一些理解，同時(shí)也培養(yǎng)他這方面的能力。話題五 符號(hào)意識(shí)和代數(shù)的思維特點(diǎn)一、意義及作用學(xué)生一進(jìn)入初中，首先學(xué)的代數(shù)內(nèi)容就是用字母表示數(shù)。用字母表示數(shù)把小學(xué)所學(xué)的關(guān)于數(shù)的內(nèi)容進(jìn)行了一般化的表示。逐步形成符號(hào)或感受符號(hào)的作用是非常重要的，沒(méi)有符號(hào)在一定意義上來(lái)說(shuō)就沒(méi)有近代和現(xiàn)代的數(shù)學(xué)，所以符號(hào)的產(chǎn)生，用符號(hào)來(lái)進(jìn)行表示非常重要，標(biāo)準(zhǔn)指出，建立符號(hào)意識(shí)有助于學(xué)生的理解符號(hào)的使用是數(shù)學(xué)表達(dá)和進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的重要形成就是從用字母表示數(shù)開(kāi)始，學(xué)生就應(yīng)該用符號(hào)來(lái)進(jìn)行表示，用符號(hào)來(lái)進(jìn)行思考。這里所提到的運(yùn)用符號(hào)來(lái)表示數(shù)，數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，其實(shí)也像剛才所提，在小學(xué)字母表示數(shù)的基礎(chǔ)之上，進(jìn)一步建立比較復(fù)雜一些的數(shù)量關(guān)系和盡可能地用符號(hào)刻畫(huà)事物發(fā)展的趨勢(shì)和變化規(guī)律。其實(shí)符號(hào)可以表示，也可以運(yùn)算，也可以去轉(zhuǎn)換。這里面我們所理解的數(shù)學(xué)表達(dá)，其實(shí)對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)就是能夠建立初步的符號(hào)意識(shí)，用符號(hào)和其他的一些手段，用數(shù)學(xué)的方式表達(dá)現(xiàn)實(shí)生活，這其實(shí)是一種對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)比較基本的要求。三、與內(nèi)容的聯(lián)系與符號(hào)意識(shí)相關(guān)內(nèi)容，第一個(gè)要考慮的是符號(hào)的表示。還有一點(diǎn)，在符號(hào)意識(shí)中還有一個(gè)符號(hào)的運(yùn)算，以及符號(hào)之間的轉(zhuǎn)換。也就是說(shuō)我們培養(yǎng)符號(hào)意識(shí)和具體問(wèn)題應(yīng)該是發(fā)生聯(lián)系的。我們知道學(xué)生自然語(yǔ)言能力非常好，因?yàn)檫@是他的母語(yǔ)，我們?cè)跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中培養(yǎng)學(xué)生符號(hào)意識(shí)的過(guò)程中，讓他實(shí)現(xiàn)這兩種語(yǔ)言之間的轉(zhuǎn)換也非常重要。笛卡爾也指出，任何問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)的問(wèn)題，任何的數(shù)學(xué)問(wèn)題，都能夠轉(zhuǎn)化成代數(shù)問(wèn)題，任何的代數(shù)問(wèn)題又可以轉(zhuǎn)化成解方程的問(wèn)題。在方程學(xué)習(xí)過(guò)程中，他如何實(shí)現(xiàn)這種數(shù)學(xué)化？方程就是把文字表達(dá)的一些條件，改用了數(shù)學(xué)符號(hào)，其實(shí)這是利用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題所必須的一個(gè)程序。我們?cè)谝脒@些符號(hào)的時(shí)候可以聯(lián)系一些數(shù)學(xué)史，給學(xué)生增加一些數(shù)學(xué)文化方面的知識(shí)，使學(xué)生感到數(shù)學(xué)既有價(jià)值又非常有意思，愿意學(xué)，我們課程目標(biāo)的一個(gè)目標(biāo)是態(tài)度情感價(jià)值觀的，在這個(gè)方面應(yīng)該使學(xué)生產(chǎn)生對(duì)數(shù)學(xué)的熱愛(ài)，體會(huì)到數(shù)學(xué)本身也是有意思的，這方面老師在教學(xué)當(dāng)中也可以嘗試做一下。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，特別是信息技術(shù)的發(fā)展，通過(guò)構(gòu)造數(shù)學(xué)模型來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題的方法正廣泛應(yīng)用于科學(xué)、工程和社會(huì)學(xué)科等多個(gè)領(lǐng)域。二、在標(biāo)準(zhǔn)中的含義《課程標(biāo)準(zhǔn)修訂稿》將“模型思想”界定為“建立和求解模型的過(guò)程包括：從現(xiàn)實(shí)生活或者具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果、并討論結(jié)果的意義?！庇纱丝梢?jiàn)，模型思想有這樣幾層含義：首先其來(lái)源于現(xiàn)實(shí)生活和問(wèn)題情境；其次，用數(shù)學(xué)的方式進(jìn)行表述，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題，并加以解決；最后，還原到現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，去解釋數(shù)學(xué)解的合理性。如果梯子的頂端下滑 1 米，那么梯子的底端滑動(dòng)多少米？2．不等式模型 模型：某地出租車(chē)費(fèi)用是這樣計(jì)算的 :（1）每公里 2 元, 基價(jià)為 3 公里, 起價(jià) 10 元；（2）15 公里以上的部分加收 50% 空駛費(fèi)； 請(qǐng)分析里程為多少公里時(shí)更換出租車(chē)更劃算？設(shè)里程為 x km(x15)，超過(guò) 15 公里時(shí)兩種方案的費(fèi)用分別為：時(shí)，即 x19 時(shí)，更換出租車(chē)更劃算 3．函數(shù)模型某書(shū)定價(jià) 8 元。分析并表示購(gòu)書(shū)數(shù)量與付款金額之間的函數(shù)關(guān)系。其次，注意引導(dǎo)學(xué)生建立模型。課程《初中數(shù)學(xué)數(shù)與代數(shù)》運(yùn)算能力、符號(hào)意識(shí)、模型思想與數(shù)學(xué)內(nèi)容的聯(lián)系是什么？教學(xué)中應(yīng)如何去培養(yǎng)？請(qǐng)結(jié)合個(gè)人教學(xué)實(shí)踐談一談。字體要求宋體，大小medium，word文檔字體大小三號(hào)。（3）為方便批改，請(qǐng)盡量不要用附件的形式提交。還有實(shí)數(shù)的運(yùn)算，但由于解決實(shí)際問(wèn)題取近似值，落腳點(diǎn)還是有理數(shù)運(yùn)算，帶根號(hào)的無(wú)理數(shù)的運(yùn)算實(shí)際上是恒等變形。運(yùn)算在解決問(wèn)題中是必須的，運(yùn)算能力的培養(yǎng)是重要的。經(jīng)歷過(guò)程，理解運(yùn)算的意義。重要的不再是計(jì)算的熟練程度和技巧，而是對(duì)運(yùn)算意義的理解。但對(duì)其理解的要求更高了：會(huì)推導(dǎo)乘法公式，了解公式的幾何背景，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單計(jì)算。而且如果真的碰到(a+b)3 的話，也會(huì)用類似的方法計(jì)算或推導(dǎo)出新的公式。講究策略，優(yōu)化運(yùn)算的過(guò)程，強(qiáng)化一題多解。例如，在教學(xué)1+2+3+?+99+100= 有些學(xué)生是想的：1+100=2+99=3+98=?=50+51=101，所以答案10150=5050；也有的是，兩次題目中的加數(shù)、顛倒相加而得；還有的學(xué)生用的是另外的方法。學(xué)會(huì)反思，提高運(yùn)算的準(zhǔn)確性（養(yǎng)成良好的習(xí)慣）。這是對(duì)運(yùn)算過(guò)程的反思。在教學(xué)一元一次方程的解法和應(yīng)用時(shí)，除了要求學(xué)生在解的過(guò)程中反思外，還要求對(duì)計(jì)算的結(jié)果進(jìn)行反思，不僅是檢驗(yàn)結(jié)果正確與否，更重要的是考察結(jié)果是否合理，是否符合實(shí)際。第二點(diǎn)是對(duì)符號(hào)的解釋。1．學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的就是要懂得符號(hào)的意義和會(huì)用符號(hào)來(lái)解決問(wèn)題。符號(hào)雖然很抽象，但它來(lái)源于實(shí)際，我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程當(dāng)中應(yīng)該從實(shí)際問(wèn)題當(dāng)中去抽象，讓學(xué)生感覺(jué)到這些符號(hào)有用。通過(guò)這樣一個(gè)問(wèn)題，不僅讓學(xué)生感受到了數(shù)學(xué)的實(shí)際價(jià)值，而且在舉例的過(guò)程中真正理解了符號(hào)的意義并會(huì)應(yīng)用符號(hào)來(lái)解決問(wèn)題。我們?cè)诮痰倪^(guò)程中必須要考慮學(xué)生的每個(gè)年齡段的心理和認(rèn)知規(guī)律，要科學(xué)，重視情境教學(xué)，幫助學(xué)生去認(rèn)識(shí)與理解符號(hào)感。如：在引入建立符號(hào)感的過(guò)程中，采用了學(xué)生最熟悉的情境一個(gè)籃球比賽。非常自然對(duì)于學(xué)生建立符號(hào)感，感悟這個(gè)問(wèn)題是有好處的。在講字母表示數(shù)、用代數(shù)式來(lái)表示我們生活當(dāng)中一些關(guān)系的時(shí)候，或者想出一些關(guān)系式的時(shí)候都應(yīng)該讓學(xué)生從一些自己身邊的最熟悉的自己最感興趣的、身邊的東西去出發(fā)，讓學(xué)生去體會(huì)用這樣一些代數(shù)式和字母來(lái)表示這樣一些關(guān)系的事。4．遵循認(rèn)知規(guī)律，滲透數(shù)學(xué)思想方法，循序漸進(jìn)地，讓學(xué)生建立并發(fā)展符號(hào)感。應(yīng)因材施教。必須是自始至終的，抓住主要的課時(shí)進(jìn)行符號(hào)感的教學(xué)，才是最有效的。加深對(duì)實(shí)際情境的了解，增加我們學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和閱歷。在教學(xué)“數(shù)a的絕對(duì)值的化簡(jiǎn)時(shí)”如果就單純的通過(guò)具體的數(shù)發(fā)現(xiàn)正數(shù)、負(fù)數(shù)、零的絕對(duì)值的情況，用文字語(yǔ)言敘述也會(huì)非常熟練，但是在化簡(jiǎn)a的絕對(duì)值時(shí)，還是會(huì)忘記考慮要分類討論，直接將絕對(duì)值符號(hào)去掉，就等于a，如果此時(shí)教師能利用數(shù)軸學(xué)生很容易就會(huì)考慮到a的情況，也就不會(huì)出現(xiàn)上述的錯(cuò)誤了。如果在教學(xué)時(shí)結(jié)合圖形和文字語(yǔ)言加強(qiáng)理解和記憶，學(xué)生則大大的減少錯(cuò)誤。教師要建立以人為本的教育觀，以實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題教學(xué)為突破口,逐步培養(yǎng)運(yùn)用數(shù)學(xué)模型方法的意識(shí)。因此必須改變過(guò)去以教師為中心、以課堂講授為主、以知識(shí)傳授為主的傳統(tǒng)教學(xué)模式，數(shù)學(xué)建模課程指導(dǎo)思想是：以實(shí)驗(yàn)為基礎(chǔ)、以學(xué)生為中心、以問(wèn)題為主線、以培養(yǎng)能力為目標(biāo)來(lái)組織教學(xué)工作。應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)去解決各類實(shí)際問(wèn)題時(shí)，建立數(shù)學(xué)模型是十分關(guān)鍵的一步，同時(shí)也是十分困難的一步。要通過(guò)調(diào)查、收集資料，觀察和研究實(shí)際對(duì)象的特征和內(nèi)在規(guī)律，抓住問(wèn)題的主要矛盾，建立起反映實(shí)際問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系，然后利用數(shù)學(xué)的理論和方法去分析和解決問(wèn)題