初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題-閱讀頁
2024-08-21 10:20本頁面
【正文】 ，使 OD’=OD ，則只需證 DD‘=PM 。 過 O作 m⊥PK ，則 D D’,KP， ∴∠D‘PK=∠DKP BL 平分 ∠ABC ， MK⊥BL→BL 為 MK 的中垂線 →∠DKB=∠DMK ∴∠D’PK=∠DMK ， ∴D‘P∥DM 。 【例 6】在 △ABC 中， AP 為 ∠A 的平分線， AM 為 BC 邊上的中線，過 B 作 BH⊥AP 于 H，AM 的延長(zhǎng)線交 BH 于 Q，求證： PQ∥AB 。 倍長(zhǎng)中線：延長(zhǎng)AM 至 M’ ，使 AM=MA‘ ，連結(jié) BA’ ，如圖 61。 (∠HBA+∠BAH+∠CAP)= 180176。 ∠CAP=90176。 延長(zhǎng) BH 交 AC 的延長(zhǎng)線于 B’ ，如圖 62。延長(zhǎng) HM交 AB于 O，則 O為 AB的中點(diǎn)。于是， ，所以 PQ∥AB 。 求證： MQ∥NP 。CN=AQ178。 連結(jié) AC、 BD，其交點(diǎn)為內(nèi)切圓心 O。記 ∠ABO=φ ， ∠MOK=α ， ∠KON=β ，則 ∠EOM=α ， ∠FON=β ， ∠EOF=2α+2β=180176。 ∴∠BON=90176。 β φ=α ∴∠CNO=∠NBO +∠NOB=φ+α=∠AOE+∠MOE=∠AOM 又 ∠OCN=∠MAO ， ∴△OCN∽△MAO ，于是 ， ∴AM178。CO 同理， AQ178。CO 。求證： KP⊥AB 。 ， 即只需證 ∠PDC+∠KPC=90176。 ← ← ←△DME∽△CNF 【例 9】以 △ABC 的邊 BC 為直徑作半圓，與 AB、 AC 分別交于點(diǎn) D、 E。求證： AM⊥BC 。（同一法） 設(shè) AH⊥BC 于 O，DG、 AH 交于 M1，EF、 AH 交于 M2。 OM1∥DF→ →OM 1= 。 只需證 OGOF ，即←Rt △ OEG∽ Rt△ ODF← ∠ DOF=∠ DHB=∠ EHC=∠ EOG。 (2) 如果 a=km+b(k 為整數(shù) ),則 。1 ， 177。3 ， 177。5 ， 177。7 ， 177。23. ∵a ， b， c 為正整數(shù)， ∴c=1 且 a+b= c 和 a=23b代入方程 ab+bc=44 得 (23b)b+b=44,即 (b2)(b22)=0, ∴b 1=2,b2= a1=21,a2= (a,b,c)有兩個(gè) ,即(21,2,1)和 (1,22,1),應(yīng)選 (C). 例 10 求不定方程 2(x+y)=xy+7 的整數(shù)解 . 解 由 (y2)x=2y7,得 分離整數(shù)部分得 由 x 為整數(shù)知 y2 是 3 的因數(shù) , ∴y 2=177。3 ， ∴x=3 ， 5， 177。31 ，故當(dāng)且僅當(dāng) x 具有 31t2形式時(shí)， 1984x 是完全平方數(shù) . ∵x ＜ 1984， ∵1?t?7. 當(dāng) t=1， 2， 3 時(shí)，得整數(shù)對(duì)分別為（ 31， 1519）、（ 124，1116）和（ 279， 775） .當(dāng) t＞ 3 時(shí) y?x 不合題意，因此不同的整數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)是 3，故應(yīng)選（ C） . 解法 2 ∵1984= ∴ 由此可知： x 必須具有 31t2形式， y 必須具有 31k2形式，并且 t+k=8（ t， k 均為正整數(shù)） .因?yàn)?0＜ x＜ y，所以 t＜ t=1，k=7 時(shí)得（ 31， 1519）； t=2， k=6 時(shí)得（ 124， 1116）；當(dāng) t=3， k=5 時(shí)得（ 279， 775） .因此不同整數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)為 3. 練習(xí)二十 1. 選 擇題 (1)方程 x2y2=105 的正整數(shù)解有 ( ). （ A） 一組 （ B）二組 （ C）三組 （ D）四組 (2)在 0,1,2,? ， 50 這 51個(gè)整數(shù)中，能同時(shí)被 2， 3， 4 整除的有（ ） . （ A） 3 個(gè) （ B） 4 個(gè) （ C） 5 個(gè) （ D） 6 個(gè) 2．填空題 （ 1）的個(gè)位數(shù)分別為 _________及 _________. (2)滿足不 等式 104?A?10 5的整數(shù) A 的個(gè)數(shù)是 x1
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