全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題正題及答案-閱讀頁
2025-01-29 00:45本頁面
【正文】 即整理得 ，又因?yàn)?≤1，所以≤1.解：如圖，連接AC，BD，OD. （第10（甲）題）.四邊形ABCD是⊙O∠BCF =∠BAD,因?yàn)镺D是⊙O的半徑，AD = CD，所以O(shè)D垂直平分AC，OD∥BC， .所以 ，BA=AD ，故10（乙）. 12（Ⅰ）若，可得，與b是正整數(shù)矛盾．（Ⅲ）若是素?cái)?shù)，或恰是一個(gè)素?cái)?shù)的冪，且這個(gè)冪指數(shù)為2，則有唯一的正整數(shù)對(duì)滿足．三、解答題，當(dāng)時(shí)，≤；當(dāng)時(shí)，≤，即且解得≤．設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得因?yàn)椋越獾?，或?…………（20分）AB = 10．易知△ABO≌△ACO， 因此 CO = BO = 6. 設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，n），由S△COE = S△ADE，得S△CDB = S△AOB. ， …………（10分）設(shè)經(jīng)過B，C，E三點(diǎn)的拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的解析式為y=a（x－6）（x+6）. 將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入，解得a =. .12（甲）． 證明：連接BD，因?yàn)闉榈闹睆剑裕忠驗(yàn)?，所以△CBE是等腰三角形．（第12（甲）題） …………（5分）．又因?yàn)榉謩e是等腰△，等腰△的頂角，所以 …………（20分）所以 CI = CD．故點(diǎn)C是△IBD的外心.所以O(shè)I⊥AC，即OI⊥CI. …………（10分）由，知OC⊥BD.Rt△BCF≌Rt△AIE，又因?yàn)镮是△ABD的內(nèi)心，所以故AB+AD = 2BD． …………（20分）13（甲）．解：設(shè)a－b = m（m是素?cái)?shù)），ab = n2（n是正整數(shù)）. (a+b)2－4ab = (a－b)2，(2a－m)2－4n2 = m2，(2a－m+2n)(2a－m－2n) = m2. 因?yàn)?a－m+2n與2a－m－2n都是正整數(shù)，且2a－m+2n＞2a－m－2n (m為素?cái)?shù))，所以 2a－m+2nm 2，2a－m－2n1.于是 = a－m. …………（10分）又因?yàn)閙是素?cái)?shù)，解得m≥89. 此時(shí)，a≥=2025.因此，a的最小值為2025.13（乙）．解：假設(shè)凸邊形中有個(gè)內(nèi)角等于，則不等于的內(nèi)角有個(gè)．…………（5分）當(dāng)時(shí)，存在凸邊形，其中的11個(gè)內(nèi)角等于，其余個(gè)內(nèi)角都等于，． …………（10分）當(dāng)時(shí)，設(shè)另一個(gè)角等于．存在凸邊形，其中的個(gè)內(nèi)角等于，另一個(gè)內(nèi)角．…………（15分）綜上，當(dāng)時(shí)，的最大值為12；當(dāng)≥13時(shí)，的最大值為11；14（甲）．解：由于都是正整數(shù)，且，所以于是當(dāng)時(shí)，令，則 ，則．14（乙）．解：當(dāng)時(shí)，把分成如下兩個(gè)數(shù)組： 和在數(shù)組中，由于，所以其中不存在數(shù)，使得． 下面證明當(dāng)時(shí)，滿足題設(shè)條件．不妨設(shè)2在第一組，若也在第一組，則結(jié)論已經(jīng)成立．故不妨設(shè)在第二組. 同理可設(shè)在第一組，在第二組．綜上，滿足題設(shè)條件．…………（20分）20120416人教網(wǎng)下載：
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