【正文】 E=∠EBC，AE=BC，∴△EAD≌△EBC，∴AD=BE．（2）答：△ABF是等腰直角三角形．理由是：延長AF交BC的延長線于M，∵AD∥BM，∴∠DAF=∠M，∵∠AFD=∠CFM，DF=FC，∴△ADF≌△MFC，∴AD=CM，∵AD=BE，∴BE=CM，∵AE=BC，∴AB=BM，∴△ABM是等腰直角三角形，∵△ADF≌△MFC，∴AF=FM，∴∠ABC=90176?！逜C=AC，∴，∴△ADC≌△AEC，（AAS）∴AD=AE；（2）解：由（1）知：AD=AE，DC=EC，設(shè)AB=x，則BE=x﹣4，AE=8，在Rt△ABE中∠AEB=90176。BE⊥AC，E為垂足，AC=BC．（1）求證：CD=BE；（2）若AD=3，DC=4，求AE．（1）證明：∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCE，而BE⊥AC，∴∠D=∠BEC=90176。AD=1，BC=4，求DC的長．解：如圖，過點(diǎn)D作DF∥AB，分別交AC，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)．（1分）∵AB⊥AC，∴∠AED=∠BAC=90度．∵AD∥BC，∴∠DAE=180176。∠B=45176。=4=2（2分）在Rt△ADE中，∠AED=90176。AD=1，∴DE=AE=．∴CE=AC﹣AE=．（4分）在Rt△DEC中，∠CED=90176。∠DEC=70176?！唷螦CB=50176?！唷螮CB=70176?！唷螪CE=10176?！唷螦CF=∠BCA﹣∠BCF=20176?！嗨倪呅蜛MEF是矩形，∴EF=AM=3；在Rt△AFE中，AE==5；（2）延長AF、BC交于點(diǎn)N．∵AD∥EN，∴∠DAF=∠N；∵∠AFD=∠NFC，DF=FC，∴△ADF≌△NCF（AAS），∴AD=CN；∵∠B+∠N=90176。又AE=BE，∠B=∠BAE，∴∠N=∠EAN，AE=EN，∴BE=EN=EC+CN=EC+AD，∴CE=BE﹣AD．．2如圖，四邊形ABCD為等腰梯形，AD∥BC，AB=CD，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，且AC⊥BD，DH⊥BC．（1）求證：DH=（AD+BC）；（2）若AC=6，求梯形ABCD的面積．解：（1）證明：過D作DE∥AC交BC延長線于E，（1分）∵AD∥BC，∴四邊形ACED為平行四邊形．（2分）∴CE=AD，DE=AC．∵四邊形ABCD為等腰梯形，∴BD=AC=DE．∵AC⊥BD，∴DE⊥BD．∴△DBE為等腰直角三角形．（4分）∵DH⊥BC，∴DH=BE=（CE+BC）=（AD+BC）．（5分）（2）∵AD=CE，∴．（7分）∵△DBE為等腰直角三角形BD=DE=6，∴．∴梯形ABCD的面積為18．（8分）注：此題解題方法并不唯一．2已知，如圖，△ABC是等邊三角形，過AC邊上的點(diǎn)D作DG∥BC，交AB于點(diǎn)G，在GD的延長線上取點(diǎn)E，使DE=DC，連接AE，BD．（1）求證：△AGE≌△DAB；（2）過點(diǎn)E作EF∥DB，交BC于點(diǎn)F，連AF，求∠AFE的度數(shù)．（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，DG∥BC，∴∠AGD=∠ABC=60176。且∠BAC=60176。．∵DE=DC，∴GE=GD+DE=AD+DC=AC=AB，∵∠AGD=∠BAD，AG=AD，∴△AGE≌△DAB；（2）解：由（1）知AE=BD，∠ABD=∠AEG．∵EF∥DB，DG∥BC，∴四邊形BFED是平行四邊形．∴EF=BD，∴EF=AE．∵∠DBC=∠DEF，∴∠ABD+∠DBC=∠AEG+∠DEF，即∠AEF=∠ABC=60176。．2如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，DE=EC，EF∥AB交BC于點(diǎn)F，EF=EC，連接DF．（1）試說明梯形ABCD是等腰梯形；（2）若AD=1，BC=3，DC=，試判斷△DCF的形狀；（3）在條件（2）下，射線BC上是否存在一點(diǎn)P，使△PCD是等腰三角形，若存在，請直接寫出PB的長；若不存在，請說明理由．解：（1）證明：∵EF=EC，∴∠EFC=∠ECF，∵EF∥AB，∴∠B=∠EFC，∴∠B=∠ECF，∴梯形ABCD是等腰梯形；（2）△DCF是等腰直角三角形，證明：∵DE=EC，EF=EC，∴EF=CD，∴△CDF是直角三角形（如果一個(gè)三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形），∵梯形ABCD是等腰梯形，∴CF=（BC﹣AD）=1，∵DC=，∴由勾股定理得：DF=1，∴△DCF是等腰直角三角形；（3）共四種情況：∵DF⊥BC，∴當(dāng)PF=CF時(shí)，△PCD是等腰三角形，即PF=1，∴PB=1；當(dāng)P與F重合時(shí)，△PCD是等腰三角形，∴PB=2；當(dāng)PC=CD=（P在點(diǎn)C的左側(cè)）時(shí)，△PCD是等腰三角形，∴PB=3﹣；當(dāng)PC=CD=（P在點(diǎn)C的右側(cè)）時(shí)，△PCD是等腰三角形，∴PB=3+．故共四種情況：PB=1，PB=2，PB=3﹣，PB=3+．（每個(gè)1分）2如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60176?！郃B=CD，∵AD=DC，∴BA=AD，∠BAE=∠ADF=120176。∴∠BPF=120176?！唷螪BC=30176。（2）過點(diǎn)D作DH⊥BC，垂足為H，∵∠DBC=30176。∠F=∠FDC∴∠F=30176。∴∠F=∠DBC，∴DB=DF，∴，在直角三角形DBH中，∴，∴，∴，即△DBF的面積為．2如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=10cm，AC交BD于G，且∠AGD=60176?！唷鰽GD為等邊三角形，（2）解：∵BE為△BCG的中線，∴BE⊥AC，在Rt△ABE中，EF為斜邊AB上的中線，∴EF=AB=5cm．2已知，如圖，AD∥BC，∠ABC=90176。連接ED，過D作DF⊥BC于F．（1）若∠BEC=75176?！螦BC=90176?！摺螮CD=45176。在Rt△DFC中：∠DCF=60176。（2）過點(diǎn)C作CM垂直AD的延長線于M，再延長DM到N，使MN=BE，∴CN=CE，可證∠NCD=∠DCE，∵CD=CD，∴△DEC≌△DNC，∴ED=EN，∴ED=BE+FC．2已知：如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中點(diǎn)，直線CE交DA的延長線于點(diǎn)F．（1）求證：△BCE≌△AFE；（2）若AB⊥BC且BC=4，AB=6，求EF的長．（1）證明：∵AD∥BC，E是AB的中點(diǎn)，∴AE=BE，∠B=∠EAF，∠BCE=∠F．∴△BCE≌△AFE（AAS）．（2）解：∵AD∥BC，∴∠DAB=∠ABC=90176。．∴S梯形ABCD=（AD+BC）?DG=（2+5）4=14．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC．∠C=90176。EF⊥AB，垂足為F，連結(jié)DF． E（1）試說明AC=EF；（2）求證：四邊形ADFE是平行四邊形．2（9分）AB是⊙O的直徑，點(diǎn)E是半圓上一動點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)A、B都不重合），點(diǎn)C是BE延長線上的一點(diǎn)，且CD⊥AB，垂足為D，CD與AE交于點(diǎn)H，點(diǎn)H與點(diǎn)A不重合。AO DBE 20．如圖9，四邊形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF與BC交于點(diǎn)G。求∠EGC的大小。D在AB上．（1）求證：△AOC≌△BOD；（4分）（2）若AD＝1，BD＝2，求CD的長．（3分）O圖8類題演練(肇慶2010)(8分)如圖，已知∠ACB＝90176。ADC=120．（1）（３分）求證：BD^DCBCBD（2）（４分）若AB=4，求梯形ABCD的面積圖7O AE 圖2類題演練1．已知：如圖，在△ABC中，D是AB邊上一點(diǎn)，⊙O過D、B、C三點(diǎn)，208。ACD=90176。ACB=75176。求tan∠BCO的值.（第2題圖）3．（2011年深圳二模）如圖所示，矩形ABCD中，點(diǎn)E在CB的延長線上，使CE＝AC，連結(jié)AE，點(diǎn)F是AE的中點(diǎn)，連結(jié)BF、DF，求證：BF⊥DFCD于F，若⊙O的半徑為R求證：AED、E是直線AB上兩點(diǎn)．∠DCE＝45176。AC=BC，點(diǎn)E、F在AB上，∠ECF=45186。BE=2S（3）3.（2）如圖，AB為⊙O的直徑，BC切⊙O于B，AC交⊙O于D.①求證：AB=AD199。2AB=AEC=90176。BAC.（2）若AC=3，AE=4.①求AD的值；②、如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在BA的延長線上，直線CD與⊙O相切于點(diǎn)D，弦DF⊥AB于點(diǎn)E，線段CD=10，連接BD.（1）求證：208。B；（2）若BD:AB=2，求⊙、證明線段的和、差、倍、分真題再現(xiàn)2（9分）AB是⊙O的直徑，點(diǎn)E是半圓上一動點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)A、B都不重合），點(diǎn)C是BE延長線上的一點(diǎn)，且CD⊥AB，垂足為D，CD與AE交于點(diǎn)H，點(diǎn)H與（2）延長EB到F，使EF=CF，試判斷CF與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由。（1）求證：AC平分∠BAD；（4分）3（2）若sin∠BEC=，求DC的長。（1）（5分）求證：△AHD∽△CBD（2）（4分）連HB，若CD=AB=2，求HD+HO的值。圖1DG圖3(2)若點(diǎn)E在ＢＣ的延長線上，如圖2，過點(diǎn)E作EF⊥BD于點(diǎn)F，EG⊥AC的延長線于點(diǎn)G，CH⊥BD于點(diǎn)H，則EF、EG、ＣH三者之間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，直接寫出你的猜想；(3)如圖3，BD是正方形ABCD的對角線,L在BD上，且BL=BC, 連結(jié)CL，點(diǎn)E是CL上任一點(diǎn), EF⊥BD于點(diǎn)F，EG⊥BC于點(diǎn)G，猜想EF、EG、BD之間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，直接寫出你的猜想；(4)觀察圖圖圖3的特性，請你根據(jù)這一特性構(gòu)造一個(gè)圖形，使它仍然具有EF、EG、ＣH這樣的線段，并滿足（1）或（2）的結(jié)論，F(xiàn)是BC邊上一點(diǎn)，線段DE和AF相交于點(diǎn)P，點(diǎn)Q在線段DE上，且AQ∥PC．(1)證明：PC＝2AQ．(2)當(dāng)點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)時(shí)，試比較△PFC和梯形APCQ面積的大小關(guān)系，并對你的結(jié)論加以證明．八、其他真題再現(xiàn)如圖5，在梯形ABCD中，AB∥DC，DB平分∠ADC，過點(diǎn)A作AE∥BD，交CD的延長線于點(diǎn)E，且∠C＝2∠E． AB（1）求證：梯形ABCD是等腰梯形．（2）若∠BDC＝30176。AB＝4cm，求四邊形ABCDDC2..如圖（2），AB是⊙O的直徑，D是圓上一點(diǎn)，AD＝DC，連結(jié)AC，過點(diǎn)D作弦AC的平行線MN.（1）求證：MN是⊙O的切線；（2）已知AB=10，AD=6，（2），四邊形ABCD是平行四邊形，以AB為直徑的⊙O經(jīng)過點(diǎn)D，E是⊙O上．一點(diǎn)，且208。（1）試判斷CD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若⊙O的半徑為3cm，AE=5cm，求208。EF⊥AB，垂足為F，連結(jié)DF．（1）試說明AC=EF；（2）求證：四邊形ADFE是平行四邊形．（10分）E已知，如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在AB上和AD的延長線上，且BE=DF,連接EF,:⑴CE=CF；⑵、在△ABC中，AC=BC，208。點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)．（1）如圖1，E為線段DC上任意一點(diǎn)，將線段DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90176。得到BN，連接EN、AM、CM．⑴ 求證：△AMB≌△ENB；⑵ ①當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM＋CM的值最?。虎诋?dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM＋BM＋CM的值最小，并說明理由； ⑶ 當(dāng)AM＋BM＋CM的最小值為分BC3+1時(shí)，求正方形的邊長．（14AD