利用導數(shù)處理與不等式有關的問題-閱讀頁
2024-10-26 15:20本頁面
【正文】 )=0 ,即在(0,+165。令 g(x)=ln(1+x)x 再證 ln(則 g(0)=0 g162。(x)0 １+xx2\ xln(1+x)x 練習：3（2001年全國卷理20）已知i,m,n是正整數(shù)，且1i163。因為m11ln(1+m)ln(1+n)； mn從而：(1+m)n(1+n)m。難點在于找這個一元函數(shù)式，這就是“構造函數(shù)法”，通過這類數(shù)學方法的練習，對培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力是有很大好處的，這也是進一步學習高等數(shù)學所需要的。覺得可以就給個好評!最基本的方法就是將不等式的的一邊移到另一邊，然后將這個式子令為一個函數(shù)f(x).對這個函數(shù)求導，判斷這個函數(shù)這各個區(qū)間的單調性，然后證明其最大值(或者是最小值)!1時,證明不等式xln(x+1)設函數(shù)f(x)=xln(x+1)求導，f(x)39。(a)=12a當00。/6對于函數(shù)xx179。/2cosx如果它要證x178。/2+cosx1值為0再次對它求導數(shù)得xsinx根據(jù)剛才證明的當x0sinxx178。/2cosx10所以xx179。/6利用函數(shù)導數(shù)單調性證明不等式XX178。x∈則f39。(x)0,f(x)單調遞增當x∈時,f39。0。本文通過一些實例，來說明利用導數(shù)增證明不等式的基本方法。x206。)。)是增函數(shù)。)上可導。0由f39。(0,+165。(x)f(0)=0 =x+1x+1即x－lnx0，所以：x0時，xlnx評注：要證明一個一元函數(shù)組成的不等式成立，首先根據(jù)題意構造出一個函數(shù)（可以移項，使右邊為零，將移項后的左式設為函數(shù)），并利 用導數(shù)判斷所設函數(shù)的單調性，再根據(jù)函數(shù)單調性的定義，證明要 證的不等式。mn證明：(1+m)n(1+n)m分析：要證(1+m)n(1+n)m成立，只要證ln(1+m)nln(1+n)m11ln(1+m)ln(1+n)成立。證明：設函數(shù)f(x)=ln(1+x)，則f(x)=2ln(1+x)+xx1+xx1x39。ln31 因為：x179。)是減函數(shù)，而mn 所以f(m)f(n)，即n39。11ln(1+m)ln(1+n)； mnm從而：(1+m)(1+n)。難點在于找這個一元函數(shù)式，這就是“構造函數(shù)法”，通過這類數(shù)學方法的練習，對培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力是有很大好處的，這也是進一步學習高等數(shù)學所需要的。(x)=lnx+1 設F(x)=g(a)+g(x)2g(a+x)2則F39。(x)2[g(a+xa+x)]=lnxln22當0xa時，F(xiàn)39。(x)0 因此，F(xiàn)（x）在區(qū)間（0，a）內是減函數(shù)，在區(qū)間[a,+165。(x)=lnxlna+xln2=lnxln(a+x)2當x0時，G39。)內為減函數(shù)； 因為G(a)=0，ba，所以G(b)0，即：g(a)+g(b)2g(a+b)(ba)ln2。通過以上例題，我們可以體會到用導數(shù)來證明不等式的基本要領和它的簡捷。第五篇：利用導數(shù)證明不等式克維教育（82974566）中考、高考培訓專家鑄就孩子輝煌的未來函數(shù)與導數(shù)（三）核心考點五、利用導數(shù)證明不等式一、函數(shù)類不等式證明函數(shù)類不等式證明的通法可概括為：證明不等式f(x)g(x)（f(x)g(x)）的問題轉化為證明f(x)g(x)0（f(x)g(x)0），進而構造輔助函數(shù)h(x)=f(x)g(x)，然后利用導數(shù)證明函數(shù)h(x)的單調性或證明函數(shù)h(x)的最小值（最大值）大于或等于零（小于或等于零）。ln(x+1)163。x+1x【變式2】（1）x185。例已知mne,，求證：nm例已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)（1）求f(x)的極小值；（2）若a,b0，求證：lnalnb179。(x)（其中g162。0(x1)【變式5】證明：ln（ln22ln32lnn2(n1)(2n+1)【引申】求證： 2+2+L+2(n179。N*)23n2(n+1)【變式6】當t1時，證明：1lntt1 1tx21(x185。an
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