人教版20xx-20xx學(xué)年高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期中試題-閱讀頁(yè)
2024-12-23 11:02本頁(yè)面
【正文】 （ 2） ∵f （ 2）﹣ f（ 1） =4=41 ， f（ 3）﹣ f（ 2） =8=42 ， f（ 4）﹣ f（ 3） =12=43 ， f（ 5）﹣ f（ 4） =16=44 ， 由上式規(guī)律得出 f（ n+1）﹣ f（ n） =4n． ∴f （ n）﹣ f（ n﹣ 1） =4（ n﹣ 1）， f（ n﹣ 1）﹣ f（ n﹣ 2） =4?（ n﹣ 2）， f（ n﹣ 2）﹣ f（ n﹣ 3） =4?（ n﹣ 3）， ? f（ 2）﹣ f（ 1） =41 ， ∴f （ n）﹣ f（ 1） =4[（ n﹣ 1） +（ n﹣ 2） +?+2+1 ] =2（ n﹣ 1） ?n， ∴f （ n） =2n2﹣ 2n+1； （ 3）證明：當(dāng) n≥2 時(shí)， = = （ ﹣ ）， ∴ + + +?+ =1+ （ 1﹣ + ﹣ +?+ ﹣ ） =1+ （ 1﹣ ） = ﹣ ． n=1時(shí)，上式也成立． 由于 g（ n） = ﹣ 為遞增數(shù)列， 即有 g（ n） ≥g （ 1） =1， 且 g（ n）＜ ， 則 1≤ + + +?+ ＜ 成立． 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查歸納推理，其基本思路是先分析具體，觀(guān)察，總結(jié)其內(nèi)在聯(lián)系，得到一般性的結(jié)論，同時(shí)考查了裂項(xiàng)法求數(shù)列的和，屬于中檔題． 21．已知函數(shù) f（ x） =x2+ x2+ax+b， g（ x） =x3+ x2+lnx+b，（ a， b為常數(shù)） （ 1）若 g（ x）在 x=1處切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)（ 0，﹣ 5），求 b的值 （ 2）令 F（ x） =f（ x）﹣ g（ x），若函數(shù) F（ x）存在極值，且所有極值之和大于 5+ln2，求實(shí)數(shù) a的取值范圍． 考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切 線(xiàn)方程；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值． 專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用． 分析：（ 1）由求導(dǎo)公式和法則求 g′ （ x），利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線(xiàn)的斜率，再由題意和點(diǎn)斜式方程求出切線(xiàn)方程，把 x=1代入求出切點(diǎn)坐標(biāo)，代入 g（ x）求出 b的值； （ 2）求函數(shù) F（ x）以及定義域，求出 F′ （ x），利用導(dǎo)數(shù)和極值之間的關(guān)系將條件轉(zhuǎn)化： F′（ x） =0在（ 0， +∞ ）上有根，即即 2x2﹣ ax+1=0在（ 0， +∞ ）上有根，根據(jù)二次方程根的分布問(wèn)題列出方程組，根據(jù)條件列出關(guān)于 a的不等式，求出 a的范圍． 解答： 解：（ 1）由題意得， ， ∴g （ x） 在 x=1處切線(xiàn)的斜率 k=g′ （ 1） =11， ∵ 在 x=1處切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)（ 0，﹣ 5）， ∴g （ x）在 x=1處切線(xiàn)方程是： y+5=11x，即 y=11x﹣ 5， 當(dāng) x=1時(shí)， y=6，則切點(diǎn)的坐標(biāo)是（ 1， 6）， 代入 g（ x）得， 6=1+ +b，解得 b= ； （ 2）由條件得， F（ x） =ax﹣ x2﹣ lnx，且 x∈ （ 0， +∞ ）， 則 F′ （ x） =a﹣ 2x﹣ =﹣ ， ∵ 函數(shù) F（ x）存在極值， ∴F′ （ x） =0在（ 0， +∞ ）上有根， 即 2x2﹣ ax+1=0在（ 0， +∞ ）上有根， ∴△=a 2﹣ 8≥0 ， 顯然當(dāng) △=0 時(shí)， F（ x）無(wú)極值，不合 題意； 所以方程必有兩個(gè)不等正根．記方程 2x2﹣ ax+1=0的兩根為 x1， x2， 則 ，且 F（ x1）， F（ x2）是函數(shù) F（ x）的兩個(gè)極值， 由題意得， F（ x1） +F（ x2） =a（ x1+x2）﹣ ﹣（ lnx1+lnx2） = ＞ 5﹣ ln ， 化簡(jiǎn)解得， a2＞ 16，滿(mǎn)足 △ ＞ 0， 又 ，即 a＞ 0， ∴ 所求 a的取值范圍是（ 4， +∞ ）． 點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值的關(guān)系，以及二次方程根的分布問(wèn)題，考查轉(zhuǎn)化思想，化簡(jiǎn)、變形能力，綜合性大、難度大． 22．已知橢圓 C： + =1（ a＞ b＞ 0） 的離心率 e= ，且經(jīng)過(guò)點(diǎn) A（ 1， 0），直線(xiàn) l交 C于 M、 N兩點(diǎn) （ 1）求橢圓 C的方程 （ 2）若 △AMN 是以 A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，求直線(xiàn) l的方程． 考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)． 專(zhuān)題：綜合題；圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程． 分析：（ 1）利用橢圓 C： + =1（ a＞ b＞ 0）的離心率 e= ，且經(jīng)過(guò)點(diǎn) A（ 1， 0），求出a， b，即可求橢圓 C的標(biāo)準(zhǔn)方程； （ 2）設(shè)直線(xiàn) l的方程為 x=my+n，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，根據(jù) △AMN 是以 A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，求出 m， n，即可求直線(xiàn) l的方程． 解答： 解：（ 1）由 題意， b=1， ∵ =1﹣ e2= ， ∴a=2 ， ∴ 橢圓 C的方程為 =1； （ 2）設(shè) l： x=my+n，代入橢圓方程可得（ 4m2+1） y2+8mny+4n2﹣ 4=0， △=16 （ 4m2﹣ n2+1） 設(shè) M（ x1， y1）， N（ x2， y2），則 y1+y2=﹣ ， y1y2= ， ∵AM⊥AN ， ∴ （ x1﹣ 1）（ x2﹣ 1） +y1y2=0， ∴ （ m2+1） y1y2+m（ n﹣ 1）（ y1+y2） +（ n﹣ 1） 2=0， ∴ （ m2+1） ? +m（ n﹣ 1）（﹣ ） +（ n﹣ 1） 2=0 ∴n= ﹣ 或 1（舍去）． MN的中點(diǎn)（ ， ） ∵ AM=AN， ∴ =﹣ m， ∵n= ﹣ ， ∴m=0 或 m2= ， 此時(shí) △ ＞ 0， 從而直線(xiàn) l的方程為 x=﹣ 或 x=1
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