【正文】 =∠B′，∴sinC=sinB′=. ∴.同理,可得. ∴.這就是說,對于任意的三角形,上述關(guān)系式均成立,因此,我們得到等式.點評:上述證法采用了初中所學(xué)的平面幾何知識,將任意三角形通過外接圓性質(zhì)轉(zhuǎn)化為直角三角形進而求證,此證法在鞏固平面幾何知識的同時,易于被學(xué)生理解和接受,并且消除了學(xué)生所持的“向量方法證明正弦定理是唯一途徑”,又為下一步用向量方法證明正弦定理作了鋪墊. [知識拓展]師接下來,定理反映的是三角形的邊角關(guān)系,而在向量知識中,哪一知識點體現(xiàn)邊角關(guān)系呢?生向量的數(shù)量積的定義式Aθ)進行轉(zhuǎn)化.師這一轉(zhuǎn)化產(chǎn)生了新角90176。θ這一形式,這是作輔助向量j垂直于三角形一邊的原因.師在向量方法證明過程中,構(gòu)造向量是基礎(chǔ),并由向量的加法原則可得 而添加垂直于的單位向量j是關(guān)鍵,為了產(chǎn)生j與、的數(shù)量積,而在上面向量等式的兩邊同取與向量j的數(shù)量積運算,也就在情理之中了.師下面,大家再結(jié)合課本進一步體會向量法證明正弦定理的過程,并注意總結(jié)在證明過程中所用到的向量知識點.點評:(1)在給予學(xué)生適當(dāng)自學(xué)時間后,應(yīng)強調(diào)學(xué)生注意兩向量的夾角是以同起點為前提,以及兩向量垂直的充要條件的運用.(2)要求學(xué)生在鞏固向量知識的同時,進一步體會向量知識的工具性作用.向量法證明過程:(1)△ABC為銳角三角形,過點A作單位向量j垂直于,則j與的夾角為90176。C.由向量的加法原則可得 ,為了與圖中有關(guān)角的三角函數(shù)建立聯(lián)系,我們在上面向量等式的兩邊同取與向量j的數(shù)量積運算,得到 由分配律可得. ∴|j|Cos90176。C)=|j|Cos(90176。+C,j與的夾角為90176。C,j與的夾角為90176。,過點A作與垂直的單位向量j,則j與的夾角為A90176。C.由,得j=jCos(90176。Cos(A90176。+C,j與夾角為90176。,B=176。(A+B)=180176。+176。根據(jù)正弦定理， b=≈(cm)。求出第三角,再利用正弦定理.(2)對于解三角形中的復(fù)雜運算可使用計算器.【例2】在△ABC中，已知A=20cm，B=28cm，A=40176。邊長精確到1 cm）．分析:此例題屬于BsinA＜a＜b的情形,故有兩解,這樣在求解之后呢,無需作進一步的檢驗,使學(xué)生在運用正弦定理求邊、角時,感到目的很明確,同時體會分析問題的重要性.解：根據(jù)正弦定理， sinB =≈ 9.因為0176。所以B≈64176。.（1）當(dāng)B≈64176。（A+B）=180176。+64176。 C =≈30(cm).（2）當(dāng)B≈116176。（A+B）=180176。+116176。 C=≈13(cm). [方法引導(dǎo)]通過此例題可使學(xué)生明確,利用正弦定理求角有兩種可能,但是都不符合題意,可以通過分析獲得,也可通過三角形的有關(guān)性質(zhì)來判斷,對于這一點,我們通過下面的例題來體會.變式一：在△ABC中,已知A＝60,B＝50,A＝38176。)和C(保留兩個有效數(shù)字).分析:此題屬于A≥B這一類情形,有一解,也可根據(jù)三角形內(nèi)大角對大邊,小角對小邊這一性質(zhì)來排除B為鈍角的情形.解：已知B(1)B=11,A=20,B=30176。(3)C =54,B=39,C=115176。.解：(1)∵. ∴sinA =≈ 1. ∴A1≈65176。.當(dāng)A1≈65176。(B+A1)=180176。+65176。 ∴C1=≈22.當(dāng)A2≈115176。(B+A2)=180176。+115176。, ∴C2=≈13.(2)∵sinB=≈ 1, ∴B1≈30176。.由于A+B2=45176。＞180176。應(yīng)舍去(或者由B＜A知B＜A,故B應(yīng)為銳角). ∴C=180176。+30176。. ∴C=≈38.(3)∵, ∴sinB=≈ 6. ∴B1≈41176。.由于B＜C,故B＜C,∴B2≈139176。時，A=180176。+115176。, A=≈24.(4)sinB= =＞1. ∴本題無解.點評:此練習(xí)目的是使學(xué)生進一步熟悉正弦定理,同時加強解三角形的能力,既要考慮到已知角的正弦值求角的兩種可能,又要結(jié)合題目的具體情況進行正確取舍.課堂小結(jié)通過本節(jié)學(xué)習(xí),我們一起研究了正弦定理的證明方法,同時了解了向量的工具性作用,并且明確了利用正弦定理所能解決的兩類有關(guān)三角形問題:已知兩角、一邊解三角形。在此之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過了三角形的相關(guān)性質(zhì)，它是后續(xù)課程中解三角形的理論依據(jù)，因此熟練掌握正弦定理能為接下來學(xué)習(xí)解三角形打下堅實基礎(chǔ)，并能在實際應(yīng)用中靈活變通。探索正弦定理的證明過程，由特殊到一般，數(shù)學(xué)歸納的思想證明結(jié)論。、態(tài)度與價值觀通過對公式證明過程的探究與發(fā)現(xiàn)，提高學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣，樹立學(xué)好數(shù)1學(xué)的信心，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)公式的整潔對稱美和與其數(shù)學(xué)的實際應(yīng)用價值。難點：正弦定理的探索及證明，由特殊到一般歸納出正弦定理，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法。sinAsinBsinC得出結(jié)論：abc== sinAsinBsinC探究問題：這個結(jié)論是否能推廣到一般三角形？若成立，給出理由。 首先在銳角三角形中進行討論（板書）驗證過程：E過C點作AB邊的垂線CD，sinA=CD得到：bsinB=CDaCD=bsinA=asinB bsinB=asinA同理，過A點作BC邊的垂線AE，sinC=AE得到：bsinB=AEcAE=bsinC=csinB bsinB=csinC得出結(jié)論：asinA=bsinB=csinC216。解：由正弦定理可知代入數(shù)據(jù)得：故：故A=150o或者30oACsinB=BCsinAsinA=：216。 正弦定理的簡單應(yīng)用：已知兩邊和其中一邊的對角,求其他邊和角時,三角形的解是唯一的嗎？五、板書設(shè)計