第二章167111橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程-閱讀頁
2024-12-07 19:19本頁面
【正文】 ???? c ＝ 2 ，a ＝ 4. 又 a2＝ b2＋ c2，所以 b2＝ 12 ， 故橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為x216＋y212＝ 1. 2．已知橢圓 C經(jīng)過點 A(2,3)，且點 F(2,0)為其右焦點，求 橢圓 C的標(biāo)準(zhǔn)方程． 解： 法一： 若焦點在 x 軸上，設(shè)橢圓方程為x2a2 ＋y2b2 ＝ 1( a b 0) ， 依題意，有????? 4a2 ＝ 1 ，1a2 ＋34 b2 ＝ 1 ，解得 a2＝ 4 ， b2＝ 1. 3 ． 求焦點在坐標(biāo)軸上，且過點 A (2,0) 和 B????????1 ， 32 的橢圓的標(biāo) 準(zhǔn)方程． 若焦點在 y 軸上，設(shè)橢圓方程為y2a2 ＋x2b2 ＝ 1( a b 0) ，同理????? a2＝ 1 ，b2＝ 4 ，這與 a b 矛盾． 故所求橢圓方程為x24＋ y2＝ 1. 法二： 設(shè)橢圓的方程為 mx2＋ ny2＝ 1( m 0 ， n 0 ， m ≠ n ) ． 將 A ， B 坐標(biāo)代入得????? 4 m ＝ 1 ，m ＋34n ＝ 1 ， 解得????? m ＝14，n ＝ 1 ，故所求橢圓方程為x24＋ y2＝ 1. [ 例 2] 如圖所示，已知橢圓的方程為x24＋y23＝ 1 ，若點 P 在橢圓上， F 1 ， F 2為橢圓的兩個焦點，且 ∠ PF 1 F 2 ＝ 120176。 ， |F1F2|＝ 2c，所以要求 S△ PF1F2，只要求 |PF1|即可．可由橢圓的定義 |PF1|＋ |PF2|＝ 2a，并結(jié)合余弦定理求解． [ 精解詳析 ] 由已知 a ＝ 2 ， b ＝ 3 ， 所以 c ＝ a2－ b2＝ 1 ， | F1F2|＝ 2 c ＝ 2 ， 在 △ PF1F2中，由余弦定理得 | PF2|2＝ | PF1|2＋ | F1F2|2－ 2| PF1| cos 120176。 | F1F2| ＝1265 232＝3 35. 因此所求 △ PF1F2的面積是353 . [ 一點通 ] 橢圓上一點 P 與橢圓的兩焦點 F F2構(gòu)成的△ F1PF2稱為焦點三角形，解關(guān)于橢圓中的焦點三角形問題時要充分利用橢圓的定義、三角形中的正弦定理、余弦定理、勾股定理等知識．對于求焦點三角形的面積，若已知 ∠ F1PF2，可利用 S ＝12| PF1| | PF2|看成一個整體，運用公式 | PF1|2＋ | PF2|2＝ 4 a2－ 2| PF1|| PF2|及余弦定理求出 | PF1
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