湖南20xx屆高三下學(xué)期月考七數(shù)學(xué)理試題-閱讀頁
2024-12-02 04:47本頁面
【正文】 83， ∴ λ 1＋ λ 2＝－ ②當(dāng)直線 l與 x軸重合時(shí) ， A (－ 2， 0)， B(2， 0)， H(0， 0)． 由 HA→ ＝ λ AN→ ， HB→ ＝ λ 2BN→ ， 得 λ 1＝－ 23， λ 2＝－ 2， ∴ λ 1＋ λ 2＝－ 83. 11分 綜上 ， λ 1＋ λ 2為定值－ (21)(本小題滿分 12 分 ) 設(shè)函數(shù) f(x)＝ ln x＋ aex. (Ⅰ) 求函數(shù) f(x)的單調(diào)區(qū)間； (Ⅱ) 若 a＝ 2，證明：對(duì)任意的實(shí)數(shù) x0，都有 f(x)e－ x. 【解析】 (Ⅰ) 定義域?yàn)?x0， f′ (x)＝ 1x－ aex2＝ ex－ aex2 ①當(dāng) a≤0 時(shí) ， f′ (x)0， f(x)在 (0， ＋ ∞) 上單調(diào)遞增 ， ②當(dāng) a0時(shí) ， 令 f′( x)＝ 0， 有 x＝ ae， x ??? ???0， ae ae ??? ???ae， ＋ ∞ f′( x) － 0 ＋ f(x) 極小值 所以 f(x)的單調(diào)減區(qū)間為 ??? ???0， ae ， 單調(diào)增區(qū)間為 ??? ???ae， ＋ ∞ .6分 綜合①② ， 當(dāng) a≤0 時(shí) ， f′ (x)在 (0， ＋ ∞) 上單調(diào)遞增；當(dāng) a0時(shí) ， f(x)的單調(diào)減區(qū)間為 ??? ???0， ae ， 單調(diào)增區(qū)間為 ??? ???ae， ＋ ∞ . (Ⅱ) 要證明 f(x)e－ x， 即證明 eln x＋ 2x 1ex－ 1， 下面先證明： ex≥ x＋ 1(x≥0) ． 構(gòu)造函數(shù) h(x)＝ ex－ (x＋ 1)(x≥0) ， h′ (x)＝ ex－ 1. 令 h′( x)＝ 0得 x＝ 0， 當(dāng) x≥0 時(shí) ， h′ (x)≥0 即 h(x)在 [0， ＋ ∞) 上單調(diào)遞增． ∴ h(x)＝ ex－ (x＋ 1)≥ h(0)＝ 0. 于是有 exx＋ 1， x0. ∴當(dāng) x0時(shí) ， ex－ 1x. 從而 1ex－ 1 接下來只需證： eln x＋ 2x≥ 1x， 即證： eln x＋ 1x≥0 ， 令 F(x)＝ eln x＋ 1x(x0)， 則 F′( x)＝ ex－ 1x2＝ ex－ 1x2 ， 所以 F(x)在 ??? ???0， 1e 上單調(diào)遞減 ， ??? ???1e， ＋ ∞ 上單調(diào)遞增 ， 即 F(x)≥ F??? ???1e ＝ 0， ∵ x＝ 1e時(shí) ， ex－ 1x， ∴ 0 1ex－ 11x， ∴ eln x＋ 2x 1ex－ 1.(12分 ) 選做題：請(qǐng)考生在第 (22)、 (23)兩題中任選一題做答 ， 如果多做 ， 則按所做的第一題計(jì)分． (22)(本小題滿分 10 分 )選修 4— 4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 (Ⅰ) 若圓 x2＋ y2＝ 4在伸縮變換?????x′ ＝ λxy′ ＝ 3y (λ 0)的作用下變成一個(gè)焦點(diǎn)在 x軸上，且離心率為 45的橢圓，求 λ 的值； (Ⅱ) 在極坐標(biāo)系中，已知點(diǎn) A(2， 0)，點(diǎn) P在曲線 C： ρ ＝ 2＋ 2cos θsin2θ 上運(yùn)動(dòng)，求 P、A兩點(diǎn)間的距離的最小值． 【解析】 (Ⅰ) 依題意變換后橢圓 y 軸正半軸頂點(diǎn)為 (0， 6)， 所以短半軸長(zhǎng) b＝ 6， 再由離心率為 45可得長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為 10， 所以 λ 的值為 (Ⅱ) 曲線 C的極坐標(biāo)方程可化為 ρ ＝ 21－ cos θ ， 即 ρ － ρ cos θ ＝ 程 ， 得 x2＋ y2－ x＝ 2， 即 y2＝ 4(x＋ 1)． 設(shè)點(diǎn) P(x， y)(x≥ － 1)， 則 |PA|＝ （ x－ 2） 2＋ y2＝ x2＋ 8≥2 2， 當(dāng)且僅當(dāng) x＝ 0時(shí)取等號(hào)． 故 |PA|min＝ 2 (23)(本小題滿分 10 分 )選修 4— 5：不等式選講 (Ⅰ) 若不等式 |x－ m|1成立的充分不必要條件為 13x12，求實(shí)數(shù) m的取值范圍； (Ⅱ) 關(guān)于 x的不等式 |x－ 3|＋ |x－ 5|a的解集不是空 集，求實(shí)數(shù) a的取值范圍． 【解析】 (Ⅰ) 不等式 |x－ m|1 的解集為 {x|m－ 1xm＋ 1}， 依題意有 ????? ?????x|13x12 {x|m － 1xm＋ 1}， 則?????m－ 1≤ 13，m＋ 1≥ 12， 解得－ 12≤ m≤ (Ⅱ)∵| x－ 3|＋ |x－ 5|≥|( x－ 3)－ (x－ 5)|＝ 2， 且 |x－ 3|＋ |x－ 5|a的解集不是空集 ， ∴ a2， 即 a的取值范圍是 (2， ＋ ∞).10 分
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