第二章資產(chǎn)收益率及收益率分布性質(zhì)(中山大學(xué))-閱讀頁
2024-08-26 10:58本頁面
【正文】 ?2 ?1 1可推出同樣的結(jié)果 。 因此 :有限階移動平均模型總是平穩(wěn)的 。 當(dāng) AR(p)部分平穩(wěn)時(shí)，則該 ARMA(p,q)模型是平穩(wěn)的，否則，不是平穩(wěn)的。 因此，如果我們將一個(gè)非平穩(wěn)時(shí)間序列通過 d次差分，將它變?yōu)槠椒€(wěn)的，然后用一個(gè)平穩(wěn)的 ARMA(p,q)模型作為它的生成模型，則我們就說該原始時(shí)間序列是一個(gè)自回歸單整移動平均（ autoregressive integrated moving average）時(shí)間序列，記為 ARIMA(p,d,q)。 當(dāng)然，一個(gè) ARMA(p,0,0)過程表示了一個(gè)純 AR(p)平穩(wěn)過程；一個(gè) ARMA(0,0,q)表示一個(gè)純 MA(q)平穩(wěn)過程。 所使用的工具主要是時(shí)間序列的 自相關(guān)函數(shù)（ autocorrelation function， ACF） 及 偏自相關(guān)函數(shù)（ partial autocorrelation function， PACF ） 。這種現(xiàn)象稱為拖尾或稱 AR(1)有 無窮記憶 （ infinite memory）。 Xt=?1Xt1+ ?2Xt2 + ?t 該模型 的方差 ?0以及滯后 1期與 2期的自協(xié)方差 ?1, ?2分別為 ２階自回歸模型 AR(2) 222110 ??????? ???0211212022??????????????類似地 ,可寫出一般的 k期滯后自協(xié)方差： 22112211 ))(( ????? ????? kktttktk rXXXE ??????? (K=2,3,…) 于是 ,AR(2)的 k 階自相關(guān)函數(shù)為： 2211 ?? ?? kkk ????? (K=2,3,…) 其中 :?1=?1/(1?2), ?0=1 如果 AR(2)穩(wěn)定，則由 ?1+?21知 |?k|衰減趨于零，呈拖尾狀。 一般地， p階自回歸模型 AR(p) k期滯后協(xié)方差為 : pkpkktptpttKtk XXXXE?????????????????????????????22112211 ))((從而有自相關(guān)函數(shù) : pkpkkk ??? ???? ??????? ?2211 可見，無論 k有多大， ?k的計(jì)算均與其１到 p階滯后的自相關(guān)函數(shù)有關(guān)，因此 呈拖尾狀 。 Xt=?1Xt1+ ?2Xt2 +… ?pXtp + ?t 其中： 1/zi是 AR(p)特征方程 ?(z)=0的特征根 ， 由 AR(p)平穩(wěn)的條件知 ， |zi|1。 事實(shí)上，自相關(guān)函數(shù) pkpkkk ??? ???? ??????? ?2211是一 p階差分方程，其通解為 ???pikiik zC1? （ 2）偏自相關(guān)函數(shù)（ PACF ） 自相關(guān)函數(shù) ACF(k)給出了 Xt與 Xt1的總體相關(guān)性，但總體相關(guān)性可能掩蓋了變量間完全不同的隱含關(guān)系。 與之相反， Xt與 Xtk間的偏自相關(guān)函數(shù) (partial autocorrelation，簡記為 PACF)則是消除了中間變量 Xt1， … ，Xtk+1 帶來的間接相關(guān)后的直接相關(guān)性，它是在已知序列值 Xt1， … ， Xtk+1的條件下， Xt與 Xtk間關(guān)系的度量。 AR(p)的一個(gè)主要特征是 :kp時(shí)， ?k*=Corr(Xt,Xtk)=0 即 ?k*在 p以后是截尾的。 對 MA(1)過程 MA(q)過程 1??? tttX ???可容易地寫出它的自協(xié)方差系數(shù)： 0)1(3221220??????????????????于是 ， MA(1)過程的自相關(guān)函數(shù)為： 0)1(3221????????????可見，當(dāng) k1時(shí)， ?k=0，即 Xt與 Xtk不相關(guān)， MA(1)自相關(guān)函數(shù)是截尾的。 注意 : (*)式只有當(dāng) |?|1時(shí)才有意義，否則意味著距 Xt越遠(yuǎn)的X值，對 Xt的影響越大，顯然不符合常理。 其自協(xié)方差系數(shù)為 一般地， q階移動平均過程 MA(q) qtqtttX ?? ???? ????? ?11??????????????????? ???qkqkkXXEr qkqkkqkttk當(dāng)當(dāng)當(dāng)01)(0)1()( 112222212??????????????相應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)為 ? ? ? ? ? ? ? ?k k k k q k q qrrkk qk q? ??? ? ? ? ? ? ? ? ???????? ?01 1 12 21 01 10當(dāng)當(dāng)當(dāng)( ) / ( )? ? 可見 ， 當(dāng) kq時(shí) ， Xt與 Xtk不相關(guān) ， 即存在截尾現(xiàn)象 ， 因此 ， 當(dāng) kq時(shí) ， ?k=0是 MA(q)的一個(gè)特征 。 與 MA(1)相仿，可以驗(yàn)證 MA(q)過程的偏自相關(guān)函數(shù)是非截尾但趨于零的。 ARMA(p,q)的自相關(guān)函數(shù)，可以看作 MA(q)的自相關(guān)函數(shù)和AR(p)的自相關(guān)函數(shù)的混合物。 ARMA(p, q)過程 表 9 . 2 . 1 A R M A ( p , q ) 模型的 A C F 與 P A C F 理論模式 模型 A C F P A C F 白噪聲 0?k? 0*?k? AR ( p ) 衰減趨于零（幾何型或振蕩型） P 階后截尾： 0*?k? ， k p M A ( q ) q 階后截尾：， 0?k? ， k q 衰減趨于零（幾何型或振蕩 型） A R M A ( p , q ) q 階后衰減趨于零（幾何型或振蕩型） p 階后衰減趨于零（幾何型或振蕩型） 圖 ARMA (p,q) 模型的 ACF 與 PACF 理論模式 ACF PACF 模型 1 ： t t t X X ? ? ? ? 1 7 . 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ACF1 1 2 3 4 5 6 7 8 PACF1 模型 2 ： tttXX ????? 1 模型 3 ： 1???tttX ?? 0 . 8 0 . 6 0 . 4 0 . 20 . 00 . 20 . 40 . 61 2 3 4 5 6 7 8A C F 2 0 . 8 0 . 6 0 . 4 0 . 20. 01 2 3 4 5 6 7 8P A CF 2 0. 5 0. 4 0. 3 0. 2 0. 10 . 01 2 3 4 5 6 7 8A C F 3 0. 5 0. 4 0. 3 0. 2 0. 10 . 01 2 3 4 5 6 7 8P A CF 3 模型 4 ：ttttXXX ?????? 21 模型 5 ： 11??????ttttXX ?? 0. 4 0. 20 . 00 . 20 . 40 . 61 2 3 4 5 6 7 8A CF 4 0. 4 0. 20 . 00 . 20 . 40 . 61 2 3 4 5 6 7 8P A C F 4 1 . 2 0 . 8 0 . 40 . 00 . 40 . 81 2 3 4 5 6 7 8A C F5 1 . 0 0 . 8 0 . 6 0 . 4 0 . 20 . 01 2 3 4 5 6 7 8P A C F 5Thank you for listening!
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