高一數(shù)學(xué)三角函數(shù)的性質(zhì)-閱讀頁
2024-12-01 21:28本頁面
【正文】 ＋ φ ＝2 k 1 π ＋π2，π2ω ＋ φ ＝ 2 k 2 π ＋3π2， k 1 ， k 2 ∈ Z ，兩式相減得16ω ＝ 2 ( k 2 － k 1 ) ＋ 1 ，又 ω ＞ 0 ，所以當(dāng)k 2 － k 1 ＝ 0 時(shí)， ω ＝ 6. 將其代入π3ω ＋ φ ＝ 2 k 1 π ＋π2得，π3 6 ＋ φ ＝ 2 k 1 π ＋π2( k 1 ∈ Z ) ，所以 φ ＝ 2 k 1 π－3π2( k 1 ∈ Z ) ， 因?yàn)椋?π ＜ φ ＜ π ，所以 φ ＝π2，故選 A. 6 ． 已知函數(shù) f ( x ) ＝ a si n x － b cos x ( a 、 b 為常數(shù) ， a ≠ 0 ， x ∈ R ) 的圖象關(guān)于直線 x ＝π4對稱 ，則函數(shù) y ＝ f (3π4－ x ) 是 ( D ) ( A ) 偶函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn) ( π ， 0 ) 對稱 ( B ) 偶函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn) (3π2， 0 ) 對稱 ( C ) 奇函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn) (3π2， 0 ) 對稱 ( D ) 奇函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn) ( π ， 0 ) 對稱 解析： 依題意， f ( x ) 在 x ＝π4 處取得最值，因此有 177。 a2 ＋ b 2 ＝22 ( a － b ) ，兩邊平方整理得 a ＝－ b ，這時(shí) f ( x ) ＝ a s i n x ＋ a cos x ＝ 2 a s i n ( x ＋π4 ) ， y ＝ f (3π4 － x )＝ 2 a s i n ( π － x ) ＝ 2 a s i n x ，故其是奇函數(shù)，且圖象關(guān)于 ( π ， 0 ) 對稱 ． 故選 D. 二、填空題 7 ． ( 2020 年湖北聯(lián)考 ) 定義在 R 上的函數(shù) f ( x ) 既是偶函數(shù) ， 又是周期函數(shù) ， 若 f ( x ) 的最小正周期是 π ， 且當(dāng) x ∈ [ 0 ， π2 ] 時(shí) ， f ( x ) ＝ s i n x ， 則 f ( 53 π ) 的值為 __ ___ _ __ ． 解析： f (53π ) ＝ f ( π ＋23π ) ＝ f (23π ) ＝ f ( － π ＋23π ) ＝ f ( －π3) ＝ f (π3) ． 由已知當(dāng) x ∈ [ 0 ，π2] 時(shí)， f ( x ) ＝ si n x ， ∴ f (π3) ＝ si n π3＝32.即 f (53π ) ＝32. 答案：32 8 ． ( 2 0 1 0 年浙江五校一模改編 ) 函數(shù) y ＝ t a n (π4x －π2) 的部分圖象如 圖所示 ， 則 ( OA ― → ＋OB ― → ) AB ― → ＝ ( 5 , 1 ) π2， 所以 ω ＝ 2. 故 f ( x ) ＝ 2cos 2 x . 因此 f (π8) ＝ 2cos π4＝ 2 . ( 2 ) 將 f ( x ) 的圖象向右平移π6個(gè)單位后 ， 得到 f ( x －π6) 的圖象 ， 再將所得圖象橫坐標(biāo)伸長到原來的 4 倍 ， 縱坐標(biāo)不變 ， 得到 f (x4－π6) 的圖象 ． 所以 g ( x ) ＝ f (x4－π6) ＝ 2cos [ 2 (x4－π6)] ＝ 2cos (x2－π3) ． 當(dāng) 2 k π ≤x2－π3≤ 2 k π ＋ π ( k ∈ Z ) ， 即 4 k π ＋2π3≤ x ≤ 4 k π ＋8π3( k ∈ Z ) 時(shí) ， g ( x ) 單調(diào)遞減 ． 因此 g ( x ) 的單調(diào)遞減區(qū)間為 [ 4 k π ＋2π3， 4 k π ＋8π3]( k ∈ Z ) ． 10 ． 已知函數(shù) f ( x ) ＝ 2 s i n x cos x ＋ 2 c o s 2 x ( x ∈ R ) ( 1 ) 求 f ( x ) 的最小正周期 ， 并求 f ( x ) 的最小值 ； ( 2 ) 令 g ( x ) ＝ f ( x ＋ π8 ) － 1 ， 若 g ( x ) ＜ a － 2 對于 x ∈ [ － π6 ， π3 ] 恒成立 ， 求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 ． 解： ( 1 ) f ( x ) ＝ s i n 2 x ＋ cos 2 x ＋ 1 ＝ 2 s i n ( 2 x ＋ π4 ) ＋ 1 ， 其最小正周期為 π ， 又當(dāng) 2 x ＋ π4 ＝－ π2＋ 2 k π ， 即 x ＝ k π － 3π8 ( k ∈ Z ) 時(shí) ， f ( x ) 最小 ＝ 1 － 2 ， 此時(shí) x 值的集合為 { x |x ＝ k π － 3π 8 ， k ∈ Z } ． ( 2 ) g ( x ) ＝ f ( x ＋π8) － 1 ＝ 2 s i n [ 2 ( x ＋π8) ＋π4] ＝ 2 s i n ( 2 x ＋π2) ＝ 2 c o s 2 x . 由 x ∈ [ －π6，π3] ， 得 2 x ∈ [ －π3，2π3] ， 則 c o s 2 x ∈ [ －12， 1 ] ， ∴ g ( x ) ＝ 2 c o s 2 x ∈ [ －22， 2 ] ， 若 g ( x ) ＜ a － 2 對于 x ∈ [ －π6，π3] 恒成立 ， 則 a － 2 ＞ g ( x )m a x＝ 2 ， ∴ a ＞ 2 ＋ 2 . 返回目錄 備考指南 考點(diǎn)演練 典例研習(xí) 基礎(chǔ)梳理
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