廣西南寧市20xx年高考數(shù)學(xué)一模試卷文科-閱讀頁(yè)
2024-12-01 06:35本頁(yè)面
【正文】 算，即可求得 m 的值，求得 O 到直線 l 的距離；當(dāng)直線 AB 的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程，代入橢圓方程，由韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，點(diǎn)到直線的距離公式，即可求得 O 到直線 l 的距離為定值． 【解答】 解：（ 1）由橢圓的定義可知： |PF1|+|PF2|=2a．由 |PF1|﹣ |PF2|=a． ∴ 丨 PF1丨 = a=3|PF2|， 則 =3 ，化簡(jiǎn)得： c2﹣ 5c+6=0， 由 c＜ a＜ 3， ∴ c=2， 則丨 PF1丨 =3 = a，則 a=2 ， b2=a2﹣ c2=4， ∴ 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： ； （ 2）由題意可知，直線 l 不過原點(diǎn)，設(shè) A（ x1， x2）， B（ x2， y2）， ① 當(dāng)直線 l⊥ x 軸，直線 l 的方程 x=m，（ m≠ 0），且﹣ 2 ＜ m＜ 2 ， 則 x1=m， y1= ， x2=m， y2=﹣ ， 由 ⊥ ， ∴ x1x2+y1y2=0，即 m2﹣（ 4﹣ ） =0， 解得： m=177。 ， ∴ 原點(diǎn) O 到直線 l 的距離 d= ， ② 當(dāng)直線 AB 的斜率存在時(shí)，設(shè)直線 AB 的方程為 y=kx+n， 則 ，消去 y 整理得：（ 1+2k2） x2+4knx+2n2﹣ 8=0， x1+x2=﹣ ， x1x2= ， 則 y1y2=（ kx1+n）（ kx2+n） =k2x1x2+kn（ x1+x2） +n2= ， 由 ⊥ ， ∴ x1x2+y1y2=0，故 + =0， 整理得： 3n2﹣ 8k2﹣ 8=0，即 3n2=8k2+8， ① 則原點(diǎn) O 到直線 l 的距離 d= ， ∴ d2=（ ） 2= = ， ② 將 ① 代入 ② ，則 d2= = ， ∴ d= ， 綜上可知：點(diǎn) O 到直線 l 的距離為定值 ． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，點(diǎn)到直線的距離公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題． 21．（ 12 分）（ 2017?南寧一模）已知函數(shù) f（ x） =x﹣ ， m∈ R，且 m≠ 0． （ 1）討論函數(shù) f（ x）的單調(diào)性； （ 2）若 m=﹣ 1，求證：函數(shù) F（ x） =x﹣ 有且只有一個(gè)零點(diǎn)． 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)零點(diǎn)的判定定理． 【分析】 （ 1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后分 m＜ 0 和 m＞ 0 兩種情況討論原函數(shù)的單調(diào)性； （ 2）把 m=﹣ 1 代入函數(shù)解析式，求出導(dǎo)函數(shù) F′（ x） = ，設(shè) h（ x） =x2﹣ 1+lnx，利用導(dǎo)數(shù)可得 h（ x） =x2﹣ 1+lnx 在（ 0， +∞ ）上為增函數(shù)，結(jié)合 h（ 1）=0，可得 F′（ 1） =0 且 F′（ x）有唯一的零 點(diǎn) 1．從而得到 0＜ x＜ 1 時(shí)， F′（ x）＜ 0， x＞ 1 時(shí)， F′（ x） ＞ 0．可得 F（ x）在（ 0， 1）上為減函數(shù)，在（ 1， +∞ ）上為增函數(shù)，結(jié)合 F（ x）的最小值為 F（ 1） =0 可知函數(shù) F（ x） =x﹣ 有且只有一個(gè)零點(diǎn)． 【解答】 （ 1）解： f′（ x） =1﹣ = ， x＞ 0， 當(dāng) m＜ 0 時(shí)， f′（ x） ＞ 0，則 f（ x）在（ 0， +∞ ）上單調(diào)遞增； 當(dāng) m＞ 0 時(shí)，由 f′（ x） ＞ 0，解得 x＞ ，由 f′（ x） ＜ 0，得 0＜ x＜ ． ∴ f（ x）在區(qū)間（ 0， ）上單調(diào)遞減，在（ ， +∞ ）上單調(diào)遞增； （ 2）證明：由已知， F（ x） =x﹣ ，則 F′（ x） = ， 設(shè) h（ x） =x2﹣ 1+lnx，則 h′（ x） =2x+ ＞ 0（ x＞ 0）， 故 h（ x） =x2﹣ 1+lnx 在（ 0， +∞ ）上為增函數(shù)， 又由于 h（ 1） =0，因此 F′（ 1） =0 且 F′（ x）有唯一的零點(diǎn) 1． 當(dāng) 0＜ x＜ 1 時(shí)， F′（ x） ＜ 0，當(dāng) x＞ 1 時(shí)， F′（ x） ＞ 0． ∴ F（ x）在（ 0， 1）上為減函數(shù)，在（ 1， +∞ ）上為增函數(shù)， ∴ F（ x）的最小值為 F（ 1） =0． ∴ 函數(shù) F（ x） =x﹣ 有且只有一個(gè)零點(diǎn)． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，訓(xùn)練了函數(shù)零點(diǎn)存在性定理的用法，考查邏輯思維能力與運(yùn)算能力 ，是壓軸題． 請(qǐng)考生在第 2 23 題中任選一題作答，如果多做，按所做的第一題計(jì)分 .[選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 ] 22．（ 10 分）（ 2017?南寧一模）已知曲線 C 的極坐標(biāo)方程為 ρ=4cosθ，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為 x 軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)直線 l 的參數(shù)方程為（ t 為參數(shù)）． （ 1）求曲線 C 的直角坐標(biāo)方程與直線 l 的普通方程； （ 2）設(shè)曲線 C 與直線 l 相交于 P， Q 兩點(diǎn)，以 PQ 為一條邊作曲線 C 的內(nèi)接矩形，求該矩形的面積． 【考點(diǎn)】 參數(shù)方程化成普通方程；簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程． 【分析】 （ 1）對(duì)于曲線 C：由 ρ=4cosθ 可得 ρ2=4ρcosθ，坐標(biāo)化即可，對(duì)于 l，消去 t 整理可得；（ 2）由（ 1）可知圓和半徑，可得弦心距，進(jìn)而可得弦長(zhǎng)，可得面積． 【解答】 解：（ 1）對(duì)于曲線 C：由 ρ=4cosθ，得 ρ2=4ρcosθ， ∴ x2+y2=4x． 對(duì)于 l：由 （ t 為參數(shù)），消去 t 可得 ， 化為一般式可得 ； （ 2）由（ 1）可知 C 為圓，且圓心為（ 2， 0），半徑為 2， ∴ 弦心距 ， ∴ 弦長(zhǎng) ， ∴ 以 PQ 為邊的圓 C 的內(nèi)接矩形面積 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程，屬基礎(chǔ)題． [選修 45：不等式選講 ] 23．（ 2017?南寧一模）設(shè)實(shí)數(shù) x， y 滿足 x+ =1． （ 1）若 |7﹣ y|＜ 2x+3，求 x 的取值范圍； （ 2）若 x＞ 0， y＞ 0，求證： ≥ xy． 【考點(diǎn)】 不等式的證明；絕對(duì)值不等式的解法． 【分析】 （ 1）根據(jù)題意，由 x+ =1，則 y=4﹣ 4x，則 |7﹣ y|＜ 2x+3，可得 |4x+3|＜ 2x+3，解可得 x 的范圍，即可得答案； （ 2）根據(jù)題意，由基本不等式可得 1=x+ ≥ 2 = ，即 ≤ 1，用作差法分析可得 ﹣ xy= （ 1﹣ ），結(jié)合 的范圍，可得 ﹣ xy≥ 0，即可得證明． 【解答】 解：（ 1）根據(jù)題意，若 x+ =1，則 4x+y=4，即 y=4﹣ 4x， 則由 |7﹣ y|＜ 2x+3，可得 |4x+3|＜ 2x+3， 即﹣（ 2x+3） ＜ 4x+3＜ 2x+3， 解可得﹣ 1＜ x＜ 0； （ 2）證明： x＞ 0， y＞ 0， 1=x+ ≥ 2 = ，即 ≤ 1， ﹣ xy= （ 1﹣ ）， 又由 0＜ ≤ 1，則 ﹣ xy= （ 1﹣ ） ≥ 0， 即 ≥ xy． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查基本不等式、絕對(duì)值不等式的應(yīng)用，關(guān)鍵是利用 x+ =1 分析變量 x、 y 之間的關(guān)系．
教學(xué)課件相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1