河南省鄭州市20xx年高考數(shù)學(xué)三模試卷理科-閱讀頁
2024-12-01 05:32本頁面
【正文】 線 l的斜率存在，設(shè)其方程為 y=kx+m，設(shè) P（ x1， y1）， Q（ x2， y2）， 聯(lián)立 ，可得（ 1+2k2） x2+4kmx+2m2﹣ 8=0． 由求根公式得 ．（ *） ∵ 以 PQ為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn) O， ∴ ．即 ． ∴ x1x2+y1y2=0．即 ∴ x1x2+（ kx1+m）（ kx2+m） =0． 化簡可得， ． 將（ *）代入可得 ，即 3m2﹣ 8k2﹣ 8=0． 即 ，又 ． 將 代入，可得 = ． ∴ 當(dāng) 且 僅 當(dāng) ，即 時 等 號 成 立 ． 又 由 ， ∴， ∴ ． （ 2）若直線 l 的斜率不存在，因以 PQ 為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn) O，故可設(shè) OP所在直線方程為 y=x， 聯(lián)立 解得 ，同理求得 ， 故 ．綜上，得 ． 21．已知函數(shù) f（ x） =（ x+a） ln（ x+a）， g（ x） =﹣ +ax． （ 1）函數(shù) h（ x） =f（ ex﹣ a） +g39。（ x） ≥ 0， h（ x）遞增， h（ x）的最小值為 ． ② 當(dāng)﹣ 1＜ a﹣ 1＜ 1 即 0＜ a＜ 2 時，在 x∈ 上 h39。（ x） ≥ 0， h（ x）為增函數(shù)． ∴ h（ x）的最小值為 h（ a﹣ 1） =﹣ ea﹣ 1+a． ③ 當(dāng) a﹣ 1≥ 1 即 a≥ 2 時，在上 h39。（ x） =ln（ x﹣ 1） +1+a（ x﹣ 1）（ x≥ 2）． ① 當(dāng) a≥ 0時，在 x∈ [2， +∞ ）上 F39。（ x）在 [2， +∞ ）上遞減． ∵ F39。（ 2） =a+1≤ 0， ∴ F（ x）遞減． ∴ F（ x）的最大值為 F（ 2） =0， 即 f（ x﹣ a﹣ 1）﹣ g（ x） ≤ 0成立． ③ 當(dāng)﹣ 1＜ a＜ 0時，此時 ，當(dāng) 時， F39。（ x） ＞ 0， F39。39。（ x）遞減． ∴ =﹣ ln（﹣ a） ＞ 0，又由于 F39。（ x） ＞ 0， F（ x）遞增， 又 ∵ F（ 2） =0，所以在 上 F（ x） ＞ 0，顯然不合題意． 綜上所述： a≤ ﹣ 1． 22．以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn) O為極點(diǎn)， x軸正半軸為極軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位，已知直線 l 的參數(shù)方程為 ，（ t 為參數(shù)， 0＜ θ ＜ π ），曲線 C 的極坐標(biāo)方程為 ρsin 2θ ﹣ 2cosθ=0 ． （ 1）求曲線 C的直角坐標(biāo)方程； （ 2）設(shè)直線 l與曲線 C相交于 A， B兩點(diǎn) ，當(dāng) θ 變化時，求 |AB|的最小值． 【考點(diǎn)】 QH：參數(shù)方程化成普通方程； Q4：簡單曲線的極坐標(biāo)方程． 【分析】（ 1）利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化方法，求曲線 C的直角坐標(biāo)方程； （ 2）將直線 l的參數(shù)方程代入 y2=2x，得 t2sin2θ ﹣ 2tcosθ ﹣ 1=0，利用參數(shù)的幾何意義，求 |AB|的最小值． 【解答】解：（ 1）由 ρsin 2θ ﹣ 2cosθ=0 ，得 ρ 2sin2θ=2ρcosθ ． ∴ 曲線 C的直角坐標(biāo)方程為 y2=2x； （ 2）將直線 l的參數(shù)方程代入 y2=2x，得 t2sin2θ ﹣ 2tcosθ ﹣ 1=0． 設(shè) A， B兩點(diǎn) 對應(yīng)的參數(shù)分別為 t1， t2， 則 ， ， = = ． 當(dāng) 時， |AB|的最小值為 2． 23．已知函數(shù) f（ x） =|x﹣ 5|﹣ |x﹣ 2|． （ 1）若 ? x∈ R，使得 f（ x） ≤ m成立，求 m的范圍； （ 2）求不等式 x2﹣ 8x+15+f（ x） ≤ 0的解集． 【考點(diǎn)】 R5：絕對值不等式的解法． 【分析】（ 1）通過討論 x的范圍，求出 f（ x）的分段函數(shù)的形式，求出 m的范圍即可； （ 2）通過討論 x的范圍，求出不等式的解集即可． 【解答】解：（ 1） ， 當(dāng) 2＜ x＜ 5時，﹣ 3＜ 7﹣ 2x＜ 3， 所以﹣ 3≤ f（ x） ≤ 3， ∴ m≥ ﹣ 3； （ 2）不等式 x2﹣ 8x+15+f（ x） ≤ 0， 即﹣ f（ x） ≥ x2﹣ 8x+15由（ 1）可知， 當(dāng) x≤ 2時，﹣ f（ x） ≥ x2﹣ 8x+15 的解集為空集； 當(dāng) 2＜ x＜ 5時，﹣ f（ x） ≥ x2﹣ 8x+15， 即 x2﹣ 10x+22≤ 0， ∴ ； 當(dāng) x≥ 5時，﹣ f（ x） ≥ x2﹣ 8x+15， 即 x2﹣ 8x+12≤ 0， ∴ 5≤ x≤ 6； 綜上，原不等式的解集為 ． 2017 年 5月 23日
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