【正文】 1） n（ anbn+lnSn） =n（﹣ 2） n+（﹣ 1） n[lnn+ln（ n+1） ]， 記數(shù)列 {（﹣ 1） nanbn}的前 n項和為 An，數(shù)列 {（﹣ 1） nlnSn}的前 n項和為 Bn， 則 An=1?（﹣ 2） 1+2?（﹣ 2） 2+3?（﹣ 2） 3+?+n? （﹣ 2） n， ﹣ 2An=1?（﹣ 2） 2+2?（﹣ 2） 3+?+ （ n﹣ 1） ?（﹣ 2） n+n?（﹣ 2） n+1， 錯位相減得： 3An=（﹣ 2） 1+（﹣ 2） 2+（﹣ 2） 3+?+ （﹣ 2） n﹣ n?（﹣ 2） n+1 = ﹣ n?（﹣ 2） n+1 =﹣ ﹣ ?（﹣ 2） n+1， ∴A n=﹣ ﹣ ?（﹣ 2） n+1； 當 n為偶數(shù)時， Bn=﹣（ ln1+ln2） +（ ln2+ln3）﹣（ ln3+ln4） +?+[lnn+ln （ n+1） ] =ln（ n+1）﹣ ln1 =ln（ n+1）， 當 n為奇數(shù)時， Bn=﹣（ ln1+ln2） +（ ln2+ln3）﹣（ ln3+ln4） +? ﹣ [lnn+ln（ n+1） ] =﹣ ln（ n+1）﹣ ln1 =﹣ ln（ n+1）； 綜上可知： Bn=（﹣ 1） nln（ n+1）， ∴ 數(shù)列 {}的前 n項和 An+Bn=（ ﹣ 1） nln（ n+1）﹣ ﹣ ?（﹣ 2） n+1． 【點評】 本題考查數(shù)列的通項及前 n項和，考查運算求解能力，考查分類討論的思想，考查錯位相減法，注意解題方法的積累，屬于中檔題． 20．已知曲線 E上的任意點到點 F（ 1， 0）的距離比它到直線 x=﹣ 2的距離小 1． （ Ⅰ ）求曲線 E的方程； （ Ⅱ ）點 D的坐標為（ 2， 0），若 P為曲線 E上的動點，求 ? 的最小值； （ Ⅲ ）設(shè)點 A為 y軸上異于原點的任意一點，過點 A作曲線 E的切線 l，直線 x=3分別與直線 l及 x軸交于點 M， N，以 MN 為直徑作圓 C，過點 A作圓 C的切線，切點為 B，試探究：當點 A在 y軸上運動（點 A與原點不重合）時，線段 AB 的長度是否發(fā)生變化？請證明你的結(jié)論． 【考點】 平面向量數(shù)量積的運算． 【專題】 方程思想；綜合法；平面向量及應用． 【分析】 （ 1）根據(jù)拋物線的定義得出軌跡方程； （ 2）設(shè)出 P點坐標（ x， y），將 ? 表示為 x（或 y）的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求出最小值； （ 3）設(shè) A坐標（ 0， b）和直線 l的斜率 k，根據(jù)相切得出 k， b的關(guān)系，求出 M， N坐標得出圓 C的圓心和半徑，利用切線的性質(zhì)得出 AB 的長． 【解答】 解：（ I）由題意可知曲線 E為以 F為焦點，以直線 x=﹣ 1為準線的拋物線， ∴ 曲線 E的方程為 y2=4x． （ II）設(shè) P（ ， y），則 ， ， ∴ =（ 2﹣ ）（ 1﹣ ） +y2= （ y2+2） 2+ ． ∵y 2≥0 ， ∴ 當 y2=0時， 取得最小值 2． （ III）設(shè) A（ 0， b），切線 l的 方程為 y=kx+b， 聯(lián)立方程組 ，消元得 k2x2+（ 2kb﹣ 4） x+b2=0， ∵ 直線 l與曲線 C相切， ∴△= （ 2kb﹣ 4） 2﹣ 4k2b2=0，即 kb=1． ∴k= ﹣ ． ∴ 直線 l的方程為 y=﹣ x+b． 令 x=3得 y=b﹣ ． ∴M （ 3， b﹣ ）， N（ 3， 0）． ∴ 圓 M的圓心為 C（ 3， ），半徑 r=| |， ∴AC 2=9+（ ） 2． ∵AB 是圓 C的切線， ∴AB 2=AC2﹣ BC2=AC2﹣ r2=9． ∴AB=3 ． 即點 A在 y軸上運動（點 A與原點不重合）時，線段 AB 的長度不發(fā)生變化． 【點評】 本題考查了拋物線的定義，向量的數(shù)量積運算，直線與圓錐曲線的關(guān)系，屬于中檔題． 21．定義在 R上的函數(shù) f（ x）滿足 f（ x） =e2x+x2﹣ ax，函數(shù) g（ x） =f（ ）﹣ x2+（ 1﹣ b）x+b（其中 a， b為常數(shù)），若函數(shù) f（ x）在 x=0處的切線與 y軸垂直． （ Ⅰ ）求函數(shù) f（ x）的解析式； （ Ⅱ ）求函數(shù) g（ x）的單調(diào)區(qū)間； （ Ⅲ ）若 s， t， r滿足 |s﹣ r|＜ |t﹣ r|恒成立，則稱 s比 t更靠近，在函數(shù) g（ x）有極值的前提下，當 x≥1 時， 比 ex﹣ 1+b 更靠近，試求 b的取值范圍． 【考點】 函數(shù)恒成立問題；函數(shù)解析式的求解及常用方法；函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明． 【專題】 轉(zhuǎn)化思想；函數(shù)的性質(zhì)及應用；導數(shù)的綜合應用． 【分析】 （ Ⅰ ）求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義即可求函數(shù) f（ x）的解析式； （ Ⅱ ）求函數(shù)的導數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)之間的關(guān)系即可求函數(shù) g（ x）的單調(diào)區(qū)間； （ Ⅲ ）根據(jù)更靠近的定義，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導數(shù)，利用最值和導數(shù)的關(guān)系進行求解即可． 【解答】 解：（ Ⅰ ） ∵f （ x） =e2x+x2﹣ ax， ∴f′ （ x） =2e2x+2x﹣ a， ∵ 函數(shù) f（ x）在 x=0處的切線與 y軸垂直． ∴f′ （ 0） =2﹣ a=0，得 a=2， ∴f （ x） =e2x+x2﹣ 2x； （ Ⅱ ） g（ x） =f（ ）﹣ x2+（ 1﹣ b） x+b=ex﹣ b（ x﹣ 1）， 則 g′ （ x） =ex﹣ b， ① 若 b≤0 ， g′ （ x）＞ 0，則 g（ x）在（﹣ ∞ ， +∞ ）上為增函數(shù)， ② 若 b＞ 0，由 g′ （ x）＞ 0得 x＞ lnb，由 g′ （ x）＜ 0得 x＜ lnb， 即 g（ x）在（﹣ ∞ ， lnb）上為減函數(shù)，則（ lnb， +∞ ）上為 增函數(shù)； （ Ⅲ ） ∵ 函數(shù) g（ x）有極值， ∴b ＞ 0， 由題意知 | ﹣ lnx|＜ |ex﹣ 1+b﹣ lnx|，（ ※ ）， 設(shè) p（ x） = ﹣ lnx， x≥1 ， q（ x） =ex﹣ 1+b﹣ lnx，（ x≥1 ）， ∵p （ x）在 [1， +∞ ）上是減函數(shù)， p（ e） =0， ∴ 當 1≤x≤e 時， p（ x） = ﹣ lnx≥0 ， 當 x＞ e時， p（ x） = ﹣ lnx＜ 0， ∵q′ （ x） =ex﹣ 1﹣ ， ∴q′ （ x）在 [1， +∞ ）上為增函數(shù)， ∴q′ （ x） ≥q′ （ 1） =0，即 q（ x）在 [1， +∞ ）上為增函數(shù)， 則 q（ x） ≥q （ 1） =b+1＞ 0，則 q（ x） =ex﹣ 1+b﹣ lnx＞ 0， ① 當 1≤x≤e 時， ﹣ lnx＜ ex﹣ 1+b﹣ lnx，即 b＞ ﹣ ex﹣ 1， 設(shè) m（ x） = ﹣ ex﹣ 1， ∵m （ x） = ﹣ ex﹣ 1，在 [1， e]上為減函數(shù)， ∴b ＞ m（ 1），即 b＞ e﹣ 1， ② 當 x＞ e時，（ ※ ）即 lnx﹣ ＜ ex﹣ 1+b﹣ lnx，即 b＞﹣ +2lnx﹣ ex﹣ 1， 設(shè) n（ x） =＞﹣ +2lnx﹣ ex﹣ 1， x＞ e， 則 n′ （ x） =＞﹣ + ﹣ ex﹣ 1， x＞ e， 則 n′ （ x）在（ e， +∞ ）上為減函數(shù)， ∴n′ （ x）＜ n′ （ e）， ∵n′ （ e） = ﹣ ee﹣ 1＜ 0， ∴n （ x）在（ e， +∞ ）上為減函數(shù)， n（ x）＜ n（ e） =1﹣ ee﹣ 1， 則 b≥1 ﹣ ee﹣ 1， 綜上 b＞ e﹣ 1． 【點評】 本題主要考查不等式恒成立，利用函數(shù)單調(diào)性最值和導數(shù)之間的關(guān)系，是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，運算量較大，難 度比較大．