圓錐曲線中的探索性問題-閱讀頁(yè)
2025-08-09 00:14本頁(yè)面
【正文】 AC為直徑的圓的方程為(x－0)(x－x1)＋(y－p)(y－y1)＝0，將直線方程y＝a代入得x2－x1x＋(a－p)(a－y1)＝0，則Δ＝x－4(a－p)(a－y1)＝4[(a－)y1＋a(p－a)]．設(shè)直線l與以AC為直徑的圓的交點(diǎn)為P(x3，y3)，Q(x4，y4)，則有|PQ|＝|x3－x4|＝＝2 .令a－＝0，得a＝，此時(shí)|PQ|＝p為定值，故滿足條件的直線l存在，其方程為y＝，即拋物線的通徑所在的直線．點(diǎn)評(píng) (1)定直線由斜率、截距、定點(diǎn)等因素確定．(2)定直線為特殊直線x＝x0，y＝y(tǒng)0等．變式訓(xùn)練2 橢圓C的方程為＋＝1(ab0)，F(xiàn)F2分別是它的左、右焦點(diǎn)，已知橢圓C過點(diǎn)(0,1)，且離心率e＝.(1)求橢圓C的方程；(2)如圖，設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，直線l的方程為x＝4，P是橢圓上異于A、B的任意一點(diǎn)，直線PA、PB分別交直線l于D、E兩點(diǎn)，求＝(4＋2，)＝.(3)證明 設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，R(4，t)，由＝x得(x1－4，y1－t)＝x(1－x1，－y1)，∴(x≠－1)，代入橢圓方程得(4＋x)2＋9t2＝9(1＋x)2， ①同理由＝y(tǒng)得(4＋y)2＋9t2＝9(1＋y)2，② ①－②消去t，得x＋y＝－，∴4x＋4y＋5＝0.題型三 存在性問題例3 (1)已知直線y＝a交拋物線y＝x2于A，B兩點(diǎn)．若該拋物線上存在點(diǎn)C，使得∠ACB為直角，則a的取值范圍為________．解析 以AB為直徑的圓的方程為x2＋(y－a)2＝a，由得y2＋(1－2a)y＋a2－a＝(y－a)[y－(a－1)]＝0，由已知解得a≥1.(2)如圖，已知橢圓C：＋＝1(ab0)的離心率為，以橢圓的左頂點(diǎn)T為圓心作圓T：(x＋2)2＋y2＝r2 (r0)，設(shè)圓T與橢圓C交于點(diǎn)M，N.①求橢圓C的方程；②求S△POR最大的點(diǎn)P？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．解 ①由題意知解之，得a＝2，c＝，由c2＝a2－b2，得b＝1，故橢圓C的方程為＋y2＝1.②點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于x軸對(duì)稱，設(shè)M(x1，y1)，N(x1，－y1)，不妨設(shè)y10，由于點(diǎn)M在橢圓C上，∴y＝1－.由已知T(－2,0)，則＝(x1＋2，y1)，＝(x1＋2，－y1)，∴(x1＋2，－y1)＝(x1＋2)2－y＝(x1＋2)2－＝2－.由于－2x2，故當(dāng)x1＝－時(shí)，xS＝.又點(diǎn)M與點(diǎn)P在橢圓上，故x＝4(1－y)，x＝4(1－y)，得xR|OS|＝|xR|xS|＝4為定值．∵S△POS|OR||yP|＝4y＝y(tǒng)，又P為橢圓上的一點(diǎn)，∴要使S△POS四川)如圖，橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)的離心率是，點(diǎn)P(0,1)在短軸CD上，且＋λ＝－1，于是解得a＝2，b＝，所以橢圓E的方程為＋＝1.(2)當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋1，A，B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，聯(lián)立得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0，其判別式Δ＝(4k)2＋8(2k2＋1)＞0，所以x1＋x2＝－，x1x2＝－，從而，＝x1x2＋y1y2＋λ[x1x2＋(y1－1)(y2－1)]＝(1＋λ)(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＝－－λ－＝1時(shí)，－－λ－2＝－3，此時(shí)＝－3為定值．當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，直線AB即為直線CD，此時(shí)，＝＝－2－1＝－＝1，使得為定值－3.高考題型精練1.(20150，即x1x2＋y1y20，所以x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2)0，所以(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋40，所以(1＋k2)＋40，即0，所以k2，所以k2，解得－k－或k.(3)證明 由題意：C1：＋＝1，設(shè)點(diǎn)P(x1，y1)，M(x2，y2)，N(x3，y3)，因?yàn)镸，N不在坐標(biāo)軸上，所以kPM＝－＝－，直線PM的方程為y－y2＝－(x－x2)，化簡(jiǎn)得x2x＋y2y＝， ①同理可得直線PN的方程為x3x＋y3y＝， ②把P點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入①、②得所以直線MN的方程為x1x＋y1y＝，令y＝0，得m＝，令x＝0，得n＝，所以x1＝，y1＝，又點(diǎn)P在橢圓C1上，所以()2＋3()2＝4，即＋＝為定值．3．(2016因此存在直線l：y＝17
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