信號(hào)檢測(cè)與估計(jì)-閱讀頁(yè)
2025-08-02 07:51本頁(yè)面
【正文】 函數(shù) 估計(jì)量的性質(zhì) ： 1 估計(jì)的一致性 2 估計(jì)的無(wú)偏性 3 估計(jì)的有效性 4 克拉美 — 羅不等式 克拉美 — 羅不等式 它表示估計(jì)的均方誤差的界限 ,也就是它的最好可能性是什么 )|,......,()|( 21 ?? NZZZfZf ?)()](1[})]?(?{[ 22????IbEE ???})|(ln)]?(?{[)(1?????????? ZfEEb2])|(ln[)(?????? ZfEI最小二乘估計(jì) 對(duì)參數(shù) θ 進(jìn)行 N此測(cè)量， N次測(cè)量中： NinZ ii ,......2,1??? ?若對(duì) θ 進(jìn)行估計(jì)，第 i次測(cè)量值與估計(jì)值之間的誤差： ?iiZ????測(cè)量 N次，誤差的平方和為： 2211?( ) ( )NNiiiiJZ? ? ???? ? ???使上式取最小值的估計(jì)叫最小二乘估計(jì)，既 1() ?2 ( ) 0?LSNiiJZ????? ? ??? ? ? ???例 5: 對(duì)參數(shù) θ 進(jìn)行 N此測(cè)量， N次測(cè)量中： NinZ ii ,......2,1??? ?其中噪聲為高斯分布 N(0,σ 2） , 未知參數(shù) θ 的最小二乘估計(jì) 解 : N次測(cè)量的似燃函數(shù) )]2)((e x p [21)|( 22???????? jiZZf)|()(1?? iNiZZfL???取對(duì)數(shù) : 常量??????? 212 )(21)(ln ??? iNiZ ZLl常量??????? 212 )(21)(ln ??? iNiZ ZLl使 l取最大值的估計(jì)叫最大似燃估計(jì) , 這等價(jià)于 : m i n)()?(12 ??? ??Niii ZJ ??使上式取最小值的估計(jì)叫最小二乘估計(jì) , 因此 : NZNLSNiiLS/1?221????? ??線(xiàn)性最小均方誤差估計(jì) 對(duì)參數(shù) θ 進(jìn)行 N此測(cè)量， N次測(cè)量中： NinZ ii ,......2,1??? ?假定估計(jì)量 θ 是測(cè)量值的線(xiàn)性函數(shù) ： 1?NL i iiaZ??? ?估計(jì)誤差為： 1?NL i iiaZ? ? ? ??? ? ? ? ?估計(jì)誤差的均方值為： 221[ ] [ ( ) ]NiiiE E a Z????? ?要確定 N個(gè)系數(shù)，使均方誤差最小，既 221[ ] [ ( ) ] m inNiiiE E a Z???? ? ??進(jìn)行微分 , 求解每個(gè)系數(shù) 0]~~[2]~[)~( 22?????????iii aEaEaE ????上式等效于求解下式 NjZE j , . . . . . . ,2,1,0]~[ ???NjZZEaZEZZaEZEjiNiiijNiiij,......,2,10][][0])[(0]~[11?????????????令 : ][][iijiijZEbZZER???NNNNNNNNjNijiibaRaRaRbaRaRaRNjbRa????????????.........,......,2,12211112211111,ZABRABARTL M S*?**1????? 波形的線(xiàn)性最小均方誤差估計(jì) 待估計(jì)量是一個(gè)時(shí)間的函數(shù) (即一個(gè)波形 ),就稱(chēng)為波形估計(jì) . )()()( tntStZ ??如果待估計(jì)波形不是 , ,則有 : )()()( tntgtZ ??這時(shí)存在三種情況 : 0),()( ??? ??tStg)()( tStg ?)()( ??? tStgA) 叫預(yù)測(cè) B) 叫濾波 C) 叫內(nèi)插 )(tS一般情況下 ,估計(jì)總是有估計(jì)誤差 : )(?)()(~ tgtgtg ??誤差的均方值 : })](?)({[])(~[ 22 tgtgEtgE ??我們希望選擇一種估計(jì) ,使得 m in])(~[ 2 ?tgE例 6: 已知測(cè)量信號(hào)為 : )()()( tntStZ ??根據(jù)測(cè)量波形 ,求它的濾波問(wèn)題 解 : 采用線(xiàn)性最小均方誤差估計(jì) )0()0(),0()0(0)}()]()({[)()(?)(ZZSZZZSZRRaaRRtZtaZtSEtaZtStg??????)()()](*)[()()()](*[)(?????nnSSZZSSSZRRZSZSERRZSSER????????因?yàn)?: 所以 : )()()( ??? nnZZSZ RRR ??最后 : )0()0()0(ZZnnZZRRRa ??維納濾波器 濾波器 H(t) 估計(jì)量 測(cè)量數(shù)據(jù) ( ) ( ) ( )?( ) ( ) ( ) ( )Z t S t n tg t g t g t e t?????誤差的均方值為： 22 ?[ ( ) ] { [ ( ) ( ) ] } m i nE g t E g t g t R? ? ? ?卡爾曼濾波器 ( 1 ) ( ) ( )( 1 ) 1()()S k aS k W kS k kS k kW k ka? ? ??? 時(shí)刻的信號(hào)時(shí)刻的信號(hào)時(shí)刻的白噪聲過(guò)程的時(shí)間常數(shù)信號(hào)模型： 測(cè)量模型： ( ) ( ) ( )Z k C S k V k??a 延遲 C ??V(k) W(k1) S(k) Z(k) 作業(yè) 1. 在相加性噪聲 ni中 , 對(duì)參數(shù) 進(jìn)行估計(jì) , 進(jìn)行 N次測(cè)量得 : 假設(shè) 為高斯分布 , 它的均值為零 , 方差為 ,噪聲為N(0,σ n ） , N次測(cè)量相互獨(dú)立 ,求平方損失函數(shù)的貝葉斯估計(jì) . NinZ ii ,......,2,1??? ? θ 進(jìn)行 N此測(cè)量， N次測(cè)量中： NinZ ii ,......2,1??? ?其中噪聲為高斯分布 N(0,σ 2） , 并滿(mǎn)足 : 未知參數(shù) θ 的線(xiàn)性最小均方誤差估計(jì) CEEnEnnE iijji ???? ][,0][,0],[,],[ 22 ????
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