【正文】 慮函數(shù)，由其冪級數(shù)展開式知為幾何凸函數(shù)，所以在上是幾何凸函數(shù)，對于任兩個正數(shù)，有成立。 設(shè)定義在上的函數(shù)是上的二階可微幾何凹函數(shù)，則在上是幾何凹函數(shù)。所以，因此再根據(jù)的單調(diào)性知，對于都有，特別地，所以(44)式成立，定理得證。 證明：由于是連續(xù)函數(shù)，所以又均為上的幾何凸函數(shù)，故為幾何凸函數(shù)，即是幾何凸函數(shù)。討論了幾何凸函數(shù)的一些性質(zhì)，并運用其性質(zhì)證明若干不等式，介紹函數(shù)幾何凸性的幾種判別方法。給出凸集的定義，借助凸集來引入凸函數(shù)的幾何直觀性定義，并借此給出幾何凸函數(shù)的解析式定義，進(jìn)行一系列的分析、類比、歸納，用實例說明用幾何凸函數(shù)解決實際問題的重要意義。如何推廣函數(shù)的凸性概念，使得在更廣泛的函數(shù)范圍內(nèi)，凸函數(shù)的許多重要性質(zhì)仍然得以保留，凸規(guī)則的大多數(shù)結(jié)果能推廣到非凸規(guī)則，已構(gòu)成了數(shù)學(xué)規(guī)劃研究領(lǐng)域的當(dāng)前趨勢之一，所以研究幾何凸函數(shù)的一些定義和性質(zhì)就顯得十分必要了。致 謝在安徽工程大學(xué)的教育下，經(jīng)過四年本科生階段的學(xué)習(xí)和研究，籍論文完成之際，我特向指導(dǎo)和幫助我的老師、同學(xué)、朋友及關(guān)心支持我的家人表示誠摯的謝意。本文是在導(dǎo)師項立群副教授的精心指導(dǎo)下完成的，從論文的選題、設(shè)計方案直至完成論文的整個過程中，都得到了項立群老師耐心細(xì)致的指導(dǎo)。在老師的指導(dǎo)下我的畢業(yè)論文順利通過，他幫我批閱了好多次，提供了這方面的資料和很好的意見，非常感項老師的幫助。也非常感謝我系的各位老師，再他們的教育下，使我在各方面得到了很大的提高，為以后工作打下了良好的基礎(chǔ)。 Complexity, 2007[14] Zhangamp。幾何凸函數(shù)的定義我們假設(shè)與,維的歐氏空間，= {(,), 0,=1, 2n},α = (α,αα), = (,),= (, ), =(ln,lnln),=(,), 其中α∈R, = (,), = (,)。參考文獻(xiàn)([1,2])提出的幾何凸函數(shù)在上的定義。 + = 1. 有 (), (11) , (12) ， (13)如以下三個不等式有一個成立，則稱在上為幾何凸函數(shù)，如果對三個不等式(11) (13)是反方向，稱在上被稱為幾何凹函數(shù)。 ([3])被稱為一個幾何凸集，如果對任意,。([3])延伸的幾何凸函數(shù)的幾何凸集的定義。如果上述不等式是反方向成立，則稱為一個幾何凹函數(shù)。 ([3])設(shè)，則對數(shù)控制=。當(dāng)lnln y，如果下面的不等式對任何成立 . (15)則被稱為S幾何凸函數(shù)。([3]) 設(shè)E是對稱的幾何凸集，E[0,+)是對稱的連續(xù)可微函數(shù)。,)E成立 (ln? ln) (16)則是S幾何凸函數(shù)。問題和引理美國數(shù)學(xué)月刊問題11031：定義一個“奇特”的平均，其中是分?jǐn)?shù)，和證明或反駁：這個“奇特”的平均總是小于或等于它的幾何平均數(shù)。 設(shè)0 t1，則 (21) (22) (23)證明：不等式(21)和(22)的證明很容易。 設(shè)，則在(0,1)上是減函數(shù)。，因此,在開區(qū)間(0,1)是一個遞減函數(shù)。，以前的不等式成立。設(shè)，我們知道，g是一個S幾何凹函數(shù)。參考文獻(xiàn)[1] ,LpLike Paranorms,Selected Topics in Functional Equations and Iteration Theory, Proceedings of the AustrianPolish seminar, Graz (1992),103138.[2] About Definition and Qualities of Generalized Convex Function. Secondary School Mathematics, 1999 (5).(Chinese)[3] , Geometrically Convex Functions. Hefei: An’hui University Press, .(Chinese)[4] , About Inequality of Geometrically Convex Function,Hebei University Learned Journal, (Natural Science Edition ),22 (2002), :325328. (Chinese)[5] , Convexity According to the Geometric Mean, Mathematical Inequalities amp。 Applications,2000【Abstract】We develop a parallel theory to the classical theory of convex functions, based on a change of variable formula, by replacing the arithmetic mean by the geometric one. It is shown that many interesting functions such as exp。 cosh。 csc。 Γ etc illustrate the multiplicative version of convexity when restricted to appropriate subintervals of (0,+). As a consequence, we are not only able to improve on a number of classical elementary inequalities but also to discover new ones.【Keywords】Convex Functions。 Taylor series3【 Title 】 Geometrically Convex Functions and Solution of a Question【Author】 Xiaoming Zhang and Yudong Wu【Journal】 Mathematics Subject Classification,2004【Abstract】 From the properties of geometrically convex functions, this paper presents the solution of question 11031 in American Mathematical Monthly.【Keywords】 Geometrically Convex Functions。【 關(guān)鍵詞 】凸函數(shù)；幾何凸函數(shù)；不等式；控制；對數(shù)控制6【篇 名】 幾何凸函數(shù)平方凸函數(shù)與凸函數(shù)的關(guān)系【作 者】 胡英武，胡曉飛【刊 名】 文山師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報，2006年3月【機(jī) 構(gòu)】 南開大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，金華職業(yè)技術(shù)學(xué)院【摘 要】 給出了一定條件下幾何凸函數(shù)，平方凸函數(shù)與凸函數(shù)的等價關(guān)系，以及幾何凸函數(shù), 平方凸函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)判別法。【 關(guān)鍵詞 】 凸函數(shù)；Jensen不等式；三角形；圓；命題8【篇 名】 若干凸函數(shù)不等式在幾何凸函數(shù)中的移植【作 者】 張小明，李世杰【刊 名】 徐州師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2004年6月【機(jī) 構(gòu)】 浙江廣播電視大學(xué)海寧學(xué)院，衢州市教育局【摘 要】 介紹了幾何凸函數(shù)中與凸函數(shù)不等式相平行的幾個不等式?！?關(guān)鍵詞 】 凸函數(shù)；不等式；幾何凸函數(shù)；單調(diào)函數(shù)10【篇 名】 關(guān)于幾何凸函數(shù)的Jensen不等式的加細(xì)【作 者】 王良成，白?！究? 名】 數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識，2010年12月【機(jī) 構(gòu)】 重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院，重慶理工大學(xué)數(shù)理學(xué)院【摘 要】 利用幾何凸函數(shù)的Jensen不等式建立一個由到上的一個映射，研究了這個映射的單調(diào)性，獲得一個該Jensen不等式的加細(xì)，并得到幾何股函數(shù)的一些新