【正文】 是C/D轉(zhuǎn)換的過程，： C/D轉(zhuǎn)換過程Figure C/D conversion process其中為采樣沖擊串，是對連續(xù)信號的沖擊采樣。 采樣定理各信號間的對應(yīng)關(guān)系Figure The corresponding relationship between the signals of the sampling theorem 是從沖擊到序列的轉(zhuǎn)換，它們間傅里葉變換的對應(yīng)關(guān)系可以用尺度變換表示，或者說是歸一化的過程。 C/D轉(zhuǎn)換過程中、與之間的關(guān)系Figure The relationship between,andin C/D conversion process 值得注意的是，對于連續(xù)信號，其頻譜分析是對信號進行連續(xù)時間傅里葉變換FT；而對于離散信號，則進行離散時間傅里葉變換DTFT，兩種信號所使用的是不同的變換?？梢院唵伪硎鰹椋喝綦x散時間信號由連續(xù)時間信號進行周期采樣得到，則離散時間信號的DTFT就是連續(xù)時間信號FT進行周期擴展后的尺度變換[1]。采樣序列經(jīng)過離散時間系統(tǒng)處理后進行D/C轉(zhuǎn)換。 利用離散時間濾波器過濾連續(xù)時間信號的系統(tǒng)Figure the system by using discretetime filters processing continuous time signal Figure The description of the system in frequency domain。相應(yīng)于離散時間濾波器輸出的頻譜就是和的乘積，圖中將與重合畫在一起。觀察整個變換過程，對比與的頻譜，顯而易見 （） 這樣，對于輸入是充分帶限的，并滿足采樣定理的條件下，與離散時間頻率響應(yīng)的關(guān)系為 （） 這個等效的連續(xù)時間濾波器的頻率響應(yīng)就是該離散時間濾波器在一個周期內(nèi)的特性，只是頻率軸有一個線性尺度變換。此時可用低通濾波器恢復(fù)原信號。所以在應(yīng)用中通常用序列的抽取序列來替代。為此，有 （） 如果令，那么 （） 而的傅里葉變換 （） 對比（）式與（）式可得 （） 式（）表明，已采樣序列和抽取序列的頻譜差別只在頻率尺度上或歸一化上。 采樣與抽取之間的關(guān)系在頻域中的說明Figure Description the relationship between the sampling and extraction in the frequency domain 與之間的關(guān)系可以從另一個角度進行理解?？梢詫⒃蛄泻统槿⌒蛄卸伎闯墒菍B續(xù)時間信號的采樣，從而序列與的關(guān)系是，序列的采樣間隔是的倍。第四章 數(shù)字信號處理 在傅里葉變換和信號分析中，我們總希望能運用數(shù)值運算的方法對信號進行分析[13]。為了便于數(shù)值計算，我們期望有一種變換對，能夠使其時域是離散、有限長的，頻域同樣是離散、有限長的。 周期序列的離散傅里葉級數(shù) 我們先從周期序列的離散傅里葉級數(shù)（DFS）說起。設(shè)是以周期為N的周期序列，將求和區(qū)間限定在主值序列內(nèi)，有： （） （） 表示周期序列的頻譜系數(shù)。于是有： （） （） 將（）式和（）式稱為一對DFS，、都以N為周期且都為離散序列。對于周期信號而言，只要截取一個周期內(nèi)的內(nèi)容就能完全反映該信號的全部信息，即，只要對該截取周期內(nèi)的信號進行周期擴展就可以得到原來的周期信號。若是以周期為N的拓展序列，將（）、（）式與（）、（）式進行對比，將發(fā)現(xiàn)、分別是、的主值序列，即： （） （） 因此，可以說反映了的周期拓展序列的頻譜特性。由此可見，對于不同的變換區(qū)間長度N，DFT對在區(qū)間上的采樣點數(shù)和采樣間隔是不同的。那么在頻域中是否也有類似的規(guī)律[16]？ 我們設(shè)任意序列的DTFT： 對在上N點等間隔采樣： （） 將看做是長度為N的有限長序列的DFT，即 由DFT與DFS之間的關(guān)系可知，是以N為周期的周期擴展信號的離散傅里葉級數(shù)系數(shù)的主值序列，是的主值序列。若的長度為M，當(dāng)時。 頻域采樣定理的驗證Figure Verification of the frequency domain sampling theorem ，(b)與(a)分別為原序列及其DTFT，序列長度為26。 對恢復(fù)出的信號進行DTFT可得到。 循環(huán)卷積 在DFT中有個及其重要的概念：循環(huán)卷積，并有循環(huán)卷積定理[17]。 設(shè)序列和的長度分別為N和M，定義與的L點循環(huán)卷積為 （） 式中，L稱為循環(huán)卷積區(qū)間長度。直接計算循環(huán)卷積比較麻煩，在計算機中通常采用矩陣相乘或通過循環(huán)卷積定理利用離散傅里葉變換進行計算。由于，所以構(gòu)造循環(huán)卷積矩陣和進行矩陣相乘時需要按情況進行補零。對給定序列進行4點和8點循環(huán)卷積，其卷積結(jié)果是不同的。這是DFT中關(guān)鍵的一個定理。 所以： （）式（）說明，對于有限長序列和的L點循環(huán)卷積是其線性卷積的以L為周期的周期擴展信號的主值序列，由于的長度為N+M1，所以當(dāng)時，的周期擴展不產(chǎn)生時域混疊，故此時。 線性卷積與循環(huán)卷積Figure Linear convolution and cyclic convolution 用DFT計算循環(huán)卷積的原理框圖Figure The principle frame graph of calculating cyclic convolution，因為有循環(huán)卷積定理，我們可以用計算DFT的方式計算循環(huán)卷積，這與在第一章中介紹的可以用計算序列的DTFT來計算系統(tǒng)響應(yīng)的方法類似。（）式說明了循環(huán)卷積與線性卷積之間的關(guān)系，在的情況下，循環(huán)卷積等于線性卷積。從而可以借助計算機計算線性卷積。由于工程中遇到很多信號都為連續(xù)非周期信號，這種信號在時域和頻域均是連續(xù)的，因此無法利用計算機直接對其進行頻譜分析。故我們想到可以利用DFT對連續(xù)信號進行近似的頻譜分析。 信號及其傅里葉變換之間的相互轉(zhuǎn)換關(guān)系Figure the conversion relationship between signal and its Fourier transform 在傅里葉變換理論中我們知道對有限持續(xù)時間的信號其頻譜是無限寬的，同樣對頻譜有限寬的信號其持續(xù)時間為無限長。假設(shè)連續(xù)非周期信號是經(jīng)過預(yù)濾波和截取處理后的有限長帶限信號。這說明在滿足一定條件下連續(xù)信號的等間隔采樣可恢復(fù)原信號。所以在滿足采樣定理的條件下對連續(xù)時間信號的等間隔脈沖采樣信號可通過低通濾波器恢復(fù)原連續(xù)信號；在變換區(qū)間長度N大于采樣序列長度的條件下，對序列傅里葉變換在主值區(qū)間內(nèi)的等間隔采樣可通過IDFT恢復(fù)原序列。 快速傅里葉變換FFT 有限長序列的N點DFT為： （）根據(jù)定義式發(fā)現(xiàn)計算N點的DFT需要進行次復(fù)數(shù)乘法和次復(fù)數(shù)加法運算，當(dāng)N較大時，計算量太大。為了快速計算 DFT，近半個世紀(jì)以來，人們對離散傅立葉變換的計算進行了大量的研究，提出了很多有效的快速計算 DFT 的方法?？焖俨├锶~變換并不是與DFT不同的另外一種變換，而是為減少DFT計算次數(shù)的一種快速有效的算法[19]。如上所述，N點DFT的復(fù)數(shù)乘法次數(shù)為。另外，旋轉(zhuǎn)因子具有明顯的周期性和對稱性。目前，已經(jīng)研究出了多種不同的FFT算法，但基本原理都是相同的。 設(shè)序列的長度為N，且滿足，M為自然數(shù)。由于和均以為周期，且，因此又可表示為 （） （） 這樣，就將N點的DFT分解為兩個點的DFT和（）與（）式。 蝶形運算符號Figure The butterfly putation symbols 采樣這種圖示法，經(jīng)過一次奇偶抽取分解后，圖中，N=8，由（）式給出，而則由（）式給出。 8點DITFFT運算流圖Figure The flow diagram of 8 point DITFFT ，時，其運算流圖應(yīng)有M級蝶形，每一級由N/2個蝶形運算構(gòu)成。 DITFFT算法與直接計算DFT所需復(fù)數(shù)乘法次數(shù)的比較曲線Figure The parison curve of plex multiplications required for DITFFT algorithm and direct DFT calculation ，在圖中我們能直觀的看出FFT算法的優(yōu)越性。第五章 總結(jié) 由于不同頻率的復(fù)指數(shù)信號可疊加成相當(dāng)廣泛的一類有用信號，且對于LTI系統(tǒng)，復(fù)指數(shù)對系統(tǒng)的響應(yīng)十分簡單，其輸出有一個很方便的表達式，所以我們可以運用傅里葉變換，從頻率域?qū)π盘栠M行分析，并且傅里葉變換有多個極其有用的性質(zhì)。對比時域分析，它具有簡化計算、便于分析等優(yōu)勢。如非周期信號的周期性延拓，其傅里葉級數(shù)是原信號傅里葉變換的等間隔采樣；若離散序列由連續(xù)信號周期取樣得到，則離散序列的離散時間傅里葉變換是連續(xù)時間信號傅里葉變換以取樣頻率進行周期性延拓后的尺度變換。 為了使傅里葉變換能夠利用計算機進行分析計算。并且有多種快速算法，使得離散傅里葉變換得到廣泛使用。拉普拉斯變換是連續(xù)時間信號傅里葉變換的推廣，Z變換是離散時間信號離散時間傅里葉變換的推廣，引入拉普拉斯變換和Z變換可將傅里葉分析推廣到更廣泛的信號，并都有其特定的分析理論