【正文】 圓的半徑是常規(guī)的利用勾股定理或三角形相似中對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)成比例等性質(zhì)解直角三角形求邊長(zhǎng)的題目．一般都先設(shè)出所求邊長(zhǎng)，而后利用關(guān)系代入表示其他相關(guān)邊長(zhǎng)，方案二中可利用△O1O2E為直角三角形，則滿足勾股定理整理方程，方案三可利用△AOM∽△OFN后對(duì)應(yīng)邊成比例整理方程，進(jìn)而可求r的值．（3）①類似（1）截圓的直徑需不超過(guò)長(zhǎng)方形長(zhǎng)、寬中最短的邊，雖然方案四中新拼的圖象不一定為矩形，但直徑也不得超過(guò)橫縱向方向跨度．則選擇最小跨度，取其，即為半徑．由EC為x，則新拼圖形水平方向跨度為3﹣x，豎直方向跨度為2+x，則需要先判斷大小，而后分別討論結(jié)論．②已有關(guān)系表達(dá)式，則直接根據(jù)不等式性質(zhì)易得方案四中的最大半徑．另與前三方案比較，即得最終結(jié)論．解答：解：（1）方案一中的最大半徑為1．分析如下：因?yàn)殚L(zhǎng)方形的長(zhǎng)寬分別為3，2，那么直接取圓直徑最大為2，則半徑最大為1；（2）如圖1，方案二中連接O1，O2，過(guò)O1作O1E⊥AB于E，方案三中，過(guò)點(diǎn)O分別作AB，BF的垂線，交于M，N，此時(shí)M，N恰為⊙O與AB，BF的切點(diǎn)．方案二：設(shè)半徑為r，在Rt△O1O2E中，∵O1O2=2r，O1E=BC=2，O2E=AB﹣AO2﹣CO1=3﹣2r，∴（2r）2=22+（3﹣2r）2，解得 r=．方案三：設(shè)半徑為r，在△AOM和△OFN中，∴△AOM∽△OFN，∴，∴，解得 r=．比較知，方案三半徑較大；（3）①∵EC=x，∴新拼圖形水平方向跨度為3﹣x，豎直方向跨度為2+x．類似（1），所截出圓的直徑最大為3﹣x或2+x較小的．a(chǎn)．當(dāng)3﹣x＜2+x時(shí)，即當(dāng)1＞x＞時(shí)，y=（3﹣x）；b．當(dāng)3﹣x=2+x時(shí)，即當(dāng)x=時(shí)，y=（3﹣）=；c．當(dāng)3﹣x＞2+x時(shí)，即當(dāng)0＜x＜時(shí)，y=（2+x）．②當(dāng)x＞時(shí)，y=（3﹣x）＜（3﹣）=；當(dāng)x=時(shí)，y=（3﹣）=；當(dāng)x＜時(shí)，y=（2+x）＜（2+）=，∴方案四中，當(dāng)x=時(shí)，y最大為．∵1＜＜＜，∴方案四時(shí)可取的圓桌面積最大．點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的基本性質(zhì)及通過(guò)勾股定理、三角形相似等性質(zhì)求解邊長(zhǎng)及分段函數(shù)的表示與性質(zhì)討論等內(nèi)容，題目雖看似新穎不易找到思路，但仔細(xì)觀察每一小問(wèn)都是常規(guī)的基礎(chǔ)考點(diǎn)，所以總體來(lái)說(shuō)是一道質(zhì)量很高的題目，值得認(rèn)真練習(xí)．　12．（2014?徐州）如圖，矩形ABCD的邊AB=3cm，AD=4cm，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿射線AD移動(dòng)，以CE為直徑作圓O，點(diǎn)F為圓O與射線BD的公共點(diǎn)，連接EF、CF，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥EF，EG與圓O相交于點(diǎn)G，連接CG．（1）試說(shuō)明四邊形EFCG是矩形；（2）當(dāng)圓O與射線BD相切時(shí)，點(diǎn)E停止移動(dòng)，在點(diǎn)E移動(dòng)的過(guò)程中，①矩形EFCG的面積是否存在最大值或最小值？若存在，求出這個(gè)最大值或最小值；若不存在，說(shuō)明理由；②求點(diǎn)G移動(dòng)路線的長(zhǎng)．考點(diǎn)：圓的綜合題；垂線段最短；直角三角形斜邊上的中線；矩形的判定與性質(zhì)；圓周角定理；切線的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：壓軸題；存在型．分析：（1）只要證到三個(gè)內(nèi)角等于90176。．∵EG⊥EF，∴∠FEG=90176。．∴四邊形EFCG是矩形．（2）①存在．連接OD，如圖2①，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=∠ADC=90176?！唷鰿FE∽△DAB．∴=（）2．∵AD=4，AB=3，∴BD=5，S△CFE=（）2?S△DAB=34=．∴S矩形EFCG=2S△CFE=．∵四邊形EFCG是矩形，∴FC∥EG．∴∠FCE=∠CEG．∵∠GDC=∠CEG，∠FCE=∠FDE，∴∠GDC=∠FDE．∵∠FDE+∠CDB=90176。．∴∠GDB=90176?！唷鱀CG″∽△DAB．∴=．∴=．∴DG″=．∴點(diǎn)G移動(dòng)路線的長(zhǎng)為．點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、垂線段定理等知識(shí)，考查了動(dòng)點(diǎn)的移動(dòng)的路線長(zhǎng)，綜合性較強(qiáng)．而發(fā)現(xiàn)∠CDG=∠ADB及∠FCE=∠ADB是解決本題的關(guān)鍵．　13．（2014?東昌府區(qū)三模）已知：如圖，在△ABC中，AB=BC，D是AC中點(diǎn)，BE平分∠ABD交AC于點(diǎn)E，點(diǎn)O是AB上一點(diǎn)，⊙O過(guò)B、E兩點(diǎn)，交BD于點(diǎn)G，交AB于點(diǎn)F．（1）求證：AC與⊙O相切；（2）當(dāng)BD=6，sinC=時(shí)，求⊙O的半徑．考點(diǎn)：切線的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；解直角三角形．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：幾何綜合題；壓軸題．分析：（1）連接OE，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出BD⊥AC，推出∠ABE=∠DBE和∠OBE=∠OEB，得出∠OEB=∠DBE，推出OE∥BD，得出OE⊥AC，根據(jù)切線的判定定理推出即可；（2）根據(jù)sinC=求出AB=BC=10，設(shè)⊙O 的半徑為r，則AO=10﹣r，得出sinA=sinC=，根據(jù)OE⊥AC，得出sinA===，即可求出半徑．解答：（1）證明：連接OE，∵AB=BC且D是AC中點(diǎn)，∴BD⊥AC，∵BE平分∠ABD，∴∠ABE=∠DBE，∵OB=OE∴∠OBE=∠OEB，∴∠OEB=∠DBE，∴OE∥BD，∵BD⊥AC，∴OE⊥AC，∵OE為⊙O半徑，∴AC與⊙O相切．（2）解：∵BD=6，sinC=，BD⊥AC，∴BC=10，∴AB=BC=10，設(shè)⊙O 的半徑為r，則AO=10﹣r，∵AB=BC，∴∠C=∠A，∴sinA=sinC=，∵AC與⊙O相切于點(diǎn)E，∴OE⊥AC，∴sinA===，∴r=，答：⊙O的半徑是．點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定，解直角三角形，切線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解（1）小題的關(guān)鍵是求出OE∥BD，解（2）小題的關(guān)鍵是得出關(guān)于r的方程，題型較好，難度適中，用了方程思想．　14．（2014?安徽模擬）閱讀材料：如圖，△ABC中，AB=AC，P為底邊BC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P到兩腰的距離分別為r1，r2，腰上的高為h，連接AP，則S△ABP+S△ACP=S△ABC，即：AB?r1+AC?r2=AB?h，∴r1+r2=h（1）理解與應(yīng)用如果把“等腰三角形”改成“等邊三角形”，那么P的位置可以由“在底邊上任一點(diǎn)”放寬為“在 三角形內(nèi)任一點(diǎn)”，即：已知邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)P到各邊的距離分別為r1，r2，r3，試證明：．（2）類比與推理邊長(zhǎng)為2的正方形內(nèi)任意一點(diǎn)到各邊的距離的和等于　4??；（3）拓展與延伸若邊長(zhǎng)為2的正n邊形A1A2…An內(nèi)部任意一點(diǎn)P到各邊的距離為r1，r2，…rn，請(qǐng)問(wèn)r1+r2+…rn是否為定值（用含n的式子表示），如果是，請(qǐng)合理猜測(cè)出這個(gè)定值．考點(diǎn)：正多邊形和圓；等腰三角形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：壓軸題；探究型．分析：（1）由條件可以求出邊長(zhǎng)為2的等邊三角形的高為，連接PA，PB，PC，仿照面積的割補(bǔ)法，得出S△PBC+S△PAC+S△PAB=S△ABC，而這幾個(gè)三角形的底相等，故化簡(jiǎn)后可得出高的關(guān)系．（2）如圖正方形過(guò)正方形內(nèi)的任一點(diǎn)P向四邊做垂線就可以求出到正方形四邊的距離和為正方形邊長(zhǎng)的2倍，從而得出結(jié)論．（3）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為正n邊形時(shí)，根據(jù)正n邊形計(jì)算面積的方法，從中心向各頂點(diǎn)連線，可得出n個(gè)全等的等腰三角形，用邊長(zhǎng)2為底，邊心距為高，可求正n邊形的面積，然后由P點(diǎn)向正n多邊形，又可把正n邊形分割成n個(gè)三角形，以邊長(zhǎng)為底，以rr…、rn為高表示面積，列出面積的等式，可求證r1+r2+…+rn為定值．解答：解：（1）分別連接AP，BP，CP，作AD⊥BC于D，∴∠ADB=90176?！唷螧AD=30176。AB=BC=CD=AD=2．∵PE⊥AB，PF⊥BC，PG⊥DC，PH⊥AD，∴四邊形PEBF是矩形，四邊形PFCG是矩形，四邊形PGDH是矩形，四邊形PHAE是矩形，∴PE=AH，PF=BE，PG=HD，PH=AE，∴PE+PF+PG+PH=AH+BE+HD+AE=AD+AB=4．故答案為4．（3）設(shè)正n邊形的邊心距為r，且正n邊形的邊長(zhǎng)為2，∴S正n邊形=2nr．r=，∵S正n邊形=2r1+2r2+2r1+…+2rn，∴2r1+2r2+2r1+…+2rn=n，∴r1+r2+…+rn=nr=（為定值）．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)及利用面積分割法，求線段之間的關(guān)系，充分體現(xiàn)了面積法解題的作用．　15．（2014?安徽名校一模）如圖△ABC中∠A=90176。即可．解答：證明：連接AD、DO；∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=∠ADC=90176。．∴OD⊥DE．DE是⊙O的切線．點(diǎn)評(píng)：本題考查的是切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心和這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．　16．（2014?灌南縣模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，∠ACD=∠AOC，AD⊥CD于點(diǎn)D．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若AB=10，AD=2，求AC的長(zhǎng)．考點(diǎn)：切線的判定；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理；矩形的判定與性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計(jì)算題；壓軸題．分析：（1）由半徑OA=OC，根據(jù)等邊對(duì)等角得到∠OCA=∠OAC，又根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到三角形AOC三個(gè)內(nèi)角和等于180176。在等式兩邊同時(shí)2，把∠ACD=∠AOC代入得到∠ACD與∠OCA相加為90176。又OC為半徑，根據(jù)切線的性質(zhì)可得CD為圓O的切線；（2）過(guò)A作AE垂直于OC，交OC于點(diǎn)E，再由（1）得到DC與CO垂直，且AD垂直于CD，根據(jù)垂直定義得到四邊形ADCE三個(gè)角為直角，可得此四邊形為矩形，根據(jù)矩形的對(duì)邊相等可得AD=CE，由AD的長(zhǎng)得到CE的長(zhǎng)，再由直徑AB的長(zhǎng)求出半徑OA的長(zhǎng)，在直角三角形AOE中，由OA及OE的長(zhǎng)，利用勾股定理求出AE的長(zhǎng)，由AE及CE的長(zhǎng)，利用勾股定理即可求出AC的長(zhǎng)．解答：解：（1）∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∵∠AOC+∠OCA+∠OAC=180176?！唷螦OC+∠OCA=90176。即∠DCO=90176。由（1）得∠DCO=90176?！嗨倪呅蜠CEA是矩形，又AD=2，∴CE=AD=2，…（4分）∵AB是直徑，且AB=10，∴OA=OC=5，∴OE=OC﹣CE=5﹣2=3，∴在Rt△AEO中，OA=5，OE=3，根據(jù)勾股定理得：AE==4，…（5分）∴在Rt△ACE中，CE=2，AE=4，根據(jù)勾股定理得：AC==2．…（6分）點(diǎn)評(píng)：此題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，以及切線的判定與性質(zhì)，利用了轉(zhuǎn)化的思想，證明切線的方法有兩種：有點(diǎn)連接圓心與此點(diǎn)，證明垂直；無(wú)點(diǎn)作垂線，證明垂線段長(zhǎng)等于圓的半徑．　17．（2014?普陀區(qū)二模）如圖，在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，點(diǎn)D為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），過(guò)D作射線DE交AB邊于E，使∠BDE=∠A，以D為圓心、DC的長(zhǎng)為半徑作⊙D．（1）設(shè)BD=x，AE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域．（2）當(dāng)⊙D與AB邊相切時(shí)，求BD的長(zhǎng)．（3）如果⊙E是以E為圓心，AE的長(zhǎng)為半徑的圓，那么當(dāng)BD的長(zhǎng)為多少時(shí)，⊙D與⊙E相切？考點(diǎn)：圓的綜合題．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：壓軸題．分析：（1）通過(guò)相似三角形△BDE∽△BAC的對(duì)應(yīng)邊成比例得到=，把相關(guān)線段的長(zhǎng)度代入并整理得到y(tǒng)=5﹣x（0＜x≤）；（2）如圖，假設(shè)AB與⊙D相切于點(diǎn)F，連接FD．通過(guò)相似三角形△BFD∽△BGA的對(duì)應(yīng)邊成比例得到=．DF=6﹣BD，由勾股定理求得AG=4，BA=5，所以把相關(guān)線段的長(zhǎng)度代入便可以求得BD的長(zhǎng)度；（3）分類討論：⊙D與⊙E相外切和內(nèi)切兩種情況．由（1）的相似三角形推知BD=ED．所以如圖2，當(dāng)⊙D與⊙E相外切時(shí)．AE+CD=DE=BD；如圖3，當(dāng)⊙D與⊙E相內(nèi)切時(shí)．CD﹣AE=DE=BD．解答：解：（1）如圖，∵∠B=∠B，∠BDE=∠A，∴△BDE∽△BAC，∴=，∵AB=AC=5，BC=6，BD=x，AE=y，∴=，即y=5﹣x．∵0＜x≤6，且0≤y≤5，∴0＜x≤．綜上所述，y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及其定義域?yàn)椋簓=5﹣x（0＜x≤）；（2）如圖，假設(shè)AB與⊙D相切于點(diǎn)F，連接FD，則DF=DC，∠BFD=90176。．∴在△BFD和△BGA中，∠BFD=∠BGA=90176?！?，求出α與n的關(guān)系式；（2）在P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段EB與EP有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)予證明；（3）在P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，F(xiàn)點(diǎn)在直線CD上的位置隨著α的變化而變化，當(dāng)F點(diǎn)在線段CD上時(shí)、在CD的延長(zhǎng)線上時(shí)、在DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，對(duì)應(yīng)的α值分別是多少？（參考數(shù)據(jù)：176?？汕蟪觥螾OB，進(jìn)而求出∠PAB，用同樣的方法就可求出α與n的關(guān)系．（2）運(yùn)用切線長(zhǎng)定理即可解決問(wèn)題．（3）先考慮各種臨界位置下α的值，就能得出點(diǎn)F分別在線段CD上、CD的延長(zhǎng)線上、DC的延長(zhǎng)線上時(shí)對(duì)應(yīng)α的取值范圍．（4）分點(diǎn)E在線段BC上和點(diǎn)E在線段BC的延長(zhǎng)線上兩種情況進(jìn)行討論，利用等邊三角形和直角三角形的有關(guān)性質(zhì)即可解決問(wèn)題．解答：解：（1）連接OP，如圖1，由題可知：∠AOP=136176。．∴∠PAB=22176。∴∠POB=180176。．∴∠PAB=α=∠POB=（180176。）=90176。．故答案為：22176。﹣n176。．∴EB與半圓O相切．又∵EP與半圓O相切，∴由切線長(zhǎng)定理得：EB=EP．（3）①如圖2，此時(shí)點(diǎn)F與點(diǎn)D重合，連接DO．由切線長(zhǎng)定理得：DP=DA=3，∠ADO=∠PDO．∴DO⊥AP．∴∠DAP=90