【正文】 項(xiàng)兩形，只需在(26)式右邊加上 或 與 。 自回歸模型如果一個(gè)隨機(jī)過程可表達(dá)為 12tttpttXX?????????其中 ， 是自回歸參數(shù)， 是白噪聲過程，則稱 為 階自回歸過i?1,2p?? t?tp程，用 表示。??ARt t若用滯后算子表示 ???21PptttLLX????????其中 稱為特征多項(xiàng)式或自回歸算子。對(duì)于自回歸過程 ，如果其特??ARp征方程： ????21 1210Pp PLLGLGL???????????的所有根的絕對(duì)值都大于 1，則 是一個(gè)平穩(wěn)的隨機(jī)過程。/??1?? 移動(dòng)平均模型如果一個(gè)線性隨機(jī)過程可用下式表達(dá)　　 　 　???12ttttqtttXLL??????????????其中 是回歸參數(shù)， 為白噪聲過程，則上式稱為 階移動(dòng)平均過程，記為12,q?? t q 。 “移動(dòng)”指 的變化， “平均”指加權(quán)和。 （2）與移動(dòng)平均過程相聯(lián)系的一個(gè)重要概念是可逆性。 自回歸滑動(dòng)平均模型由自回歸和移動(dòng)平均兩部分共同構(gòu)成的隨機(jī)過程稱為自回歸移動(dòng)平均過程，記為， 其中 ， 別表示自回歸和移動(dòng)平均部分的最大階數(shù)。??L??Lpq表 21 模型特征ARM模型 自相關(guān)系數(shù) 偏自相關(guān)系數(shù)??ARp拖尾 階截尾pMq階截尾q拖尾,拖尾 拖尾 ARIMA 模型建模步驟 數(shù)據(jù)平穩(wěn)化處理 [2]首先要對(duì)時(shí)間序列數(shù)據(jù)進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)。一般采用 ADF 單位根檢驗(yàn)來精確判斷該序列的平穩(wěn)性。重復(fù)以上過程，直至成為平穩(wěn)序列。從理論上而言，足夠多次的差分運(yùn)算可以充分地提取??,ARIMpdqd序列中的非平穩(wěn)確定性信息。因?yàn)椴罘诌\(yùn)算是一種對(duì)信息的提取、加工過程，每次差分都會(huì)有信息的損失，所以在實(shí)際應(yīng)用中差分運(yùn)算的階數(shù)要適當(dāng)，應(yīng)當(dāng)避免過度差分，簡(jiǎn)稱過差分的現(xiàn)象。 數(shù)據(jù)平穩(wěn)化處理后， 模型即轉(zhuǎn)化為 模型。若 平 穩(wěn) 序 列 的 偏 相 關(guān) 函 數(shù) 是 截 尾 的 ， 而 自 相 關(guān) 函 數(shù) 是 拖 尾 的 ， 可斷 定 序 列 適 合 模 型 ； 若 平 穩(wěn) 序 列 的 偏 相 關(guān) 函 數(shù) 是 拖 尾 的 ， 而 自 相 關(guān) 函 數(shù) 是 截 尾 的 ，AR則 可 斷 定 序 列 適 合 模 型 ； 若 平 穩(wěn) 序 列 的 偏 相 關(guān) 函 數(shù) 和 自 相 關(guān) 函 數(shù) 均 是 拖 尾 的 ， 則M序 列 適 合 模 型 。 自相 關(guān) 函 數(shù) 規(guī) 律 復(fù) 雜 的 序 列 ， 可 能 需 要 作 非 線 性 模 型 擬 合 。 AIC 準(zhǔn)則 [3]：最小信息準(zhǔn)則，同時(shí)給出 模型階數(shù)和參數(shù)的最佳估計(jì)，適用于樣本數(shù)據(jù)較少的問題。因?yàn)橹挥挟?dāng)樣本量足夠大時(shí)，樣本的自相關(guān)函數(shù)才非常接近母體的自相關(guān)函數(shù)。關(guān)于 模型，AIC 函數(shù)??,ARMpq定義如下： ??2logAICnpq???式中： 平穩(wěn)序列為樣本數(shù)， 為擬合殘差平方和， ， 為參數(shù)。實(shí)際應(yīng)用中MNARn/10， 一般不超過 2。本文采用最小二乘法 OLS 進(jìn)行AR參數(shù)估計(jì)，需要注意的是， 模型的參數(shù)估計(jì)相對(duì)困難，應(yīng)盡量避免使用高階的移動(dòng)平均模型或包含高階移動(dòng)平均項(xiàng)的 模型。若不合適，應(yīng)該知道下一步作何種修改。一是檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛥?shù)的估計(jì)值是否具有顯著性；二是檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷臍埐钚蛄惺欠駷榘自肼?。Q 統(tǒng)計(jì)量定義為 012kH???： ??2T??近似服從 分布，其中 表示樣本容量， 表示用殘差序列計(jì)算的自相關(guān)系??2kpq??Tkr數(shù)值， 表示自相關(guān)系數(shù)的個(gè)數(shù)， 表示模型自回歸部分的最大滯后值， 表示移動(dòng)平p q均部分的最大滯后值。顯然若殘差序列不是白噪聲，殘差序列中必含有其他成份，自相關(guān)系數(shù)不等于零。Q判別規(guī)則是： 若 ，則接受 。2?0其中 表示檢驗(yàn)水平。將歷年的 GDP 作為時(shí)間序列，根據(jù)過去的數(shù)據(jù)得出其變化規(guī)律，建立預(yù)測(cè)模型，用此來預(yù)測(cè)未來的發(fā)展變化，有著重要的意義。表 31 我國(guó) 1978—2022 年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值 [5]（單位：億元）年份 GDP 年份 GDP 年份 GDP 年份 GDP 年份 GDP1978 1984 1990 1996 2022 1979 1985 9016 1991 1997 78973 2022 1980 1986 1992 1998 2022 1981 1987 1993 1999 2022 1982 1988 1994 2022 2022 1983 1989 1995 2022 2022 我國(guó) GDP 時(shí)間序列分析在 模型中，時(shí)間序列是由一個(gè)零均值的平穩(wěn)隨機(jī)過程產(chǎn)生，即其過程的隨ARM機(jī)性質(zhì)具有時(shí)間上的不變性，在圖形上表現(xiàn)為所有樣本點(diǎn)都在某一水平線上下隨機(jī)波動(dòng)。 平穩(wěn)性檢查首先我們繪制原始 GDP 的時(shí)間序列圖, 從圖 31 可以看出我國(guó) GDP 具有很明顯的上升趨勢(shì)，可以看出原始序列顯然是非平穩(wěn)的。為了能夠?qū)π蛄羞M(jìn)行分析，要使其平穩(wěn)化。 圖 31 原始 GDP 時(shí)序圖 圖 32 原始 GDP 序列 ADF 檢驗(yàn) 平穩(wěn)化處理先對(duì)我國(guó) GDP 數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)數(shù)化處理，繪制 時(shí)序圖 33：??LnGDP圖 33 時(shí)序圖??LnGDP圖 34 時(shí)序 ADF 檢驗(yàn)??LnGDP顯然對(duì)數(shù)處理后序列仍有明顯上升趨勢(shì)，且通過單位根檢驗(yàn)后可知此序列非平穩(wěn)，通常低階（二階或三階）差分就可以提取出曲線趨勢(shì)的影響，我們對(duì)取對(duì)數(shù)后數(shù)據(jù)進(jìn)行一、二階差分，并驗(yàn)證其平穩(wěn)性： 圖 35 一階差分時(shí)序圖??LnGDP圖 36 一階差分 ADF 檢驗(yàn)??LnGDP檢驗(yàn)結(jié)果表明 T 統(tǒng)計(jì)量均大于 1%、5%、10% 下的檢驗(yàn)值，且其 值大于 ，p所以我們可以認(rèn)定差分后的序列是非平穩(wěn)的 [6]。因此可以確p定 序列是 2 階單整序列 [7]，即 ～ 。對(duì)于時(shí)間序列預(yù)測(cè)，首先要找到與數(shù)據(jù)擬合最好的預(yù)測(cè)模型，所以階數(shù)的確定和參數(shù)的估計(jì)是預(yù)測(cè)的關(guān)鍵。??,ARMpq二階差分后自相關(guān)與偏自相關(guān)系數(shù)如圖 39：??LnGDP圖 39 Ln（GDP）二階差分后自相關(guān)圖由圖可以看出，二階差分后序列的自相關(guān)系數(shù)在滯后二期后呈衰減趨于零，表現(xiàn)為拖尾性；在偏自相關(guān)分析圖中，滯后四期的偏自相關(guān)系數(shù)顯著不為零，但之后逐漸衰減趨于零，也可以認(rèn)為序列的偏自相關(guān)系數(shù)也具有拖尾性，因此階數(shù) 可由顯著不為p零的偏自相關(guān)系數(shù)的數(shù)目決定 [8]，觀察圖可以取 1，也可以取 2。??2,3ARI1,2I 模型參數(shù)估計(jì)與建立下面分別對(duì) 和 模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)：??2,3ARIM??1,2ARI 圖 310 模型參數(shù)估計(jì)??2,3ARIM圖 311 模型參數(shù)估計(jì)??1,2ARIM圖312 及圖310，311參數(shù)估計(jì)結(jié)果顯示， 和 模型的??2,3ARIM??1,2ARI滯后多項(xiàng)式倒數(shù)根均落在單位圓內(nèi)，滿足過程的平穩(wěn)要求 [9]。 圖312 和 滯后多項(xiàng)式倒數(shù)根的分布圖??2,3ARIM??1,2ARI 模型檢驗(yàn)首先畫出 模型的殘差序列圖：??2,3I圖 313 模型的殘差圖??2,3ARIM對(duì)模型 做殘差序列檢驗(yàn)，殘差相關(guān)系數(shù)如下：??2,3ARIM圖 314 模型殘差序列檢驗(yàn)??2,3ARIM結(jié)果顯示，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 Q 值均大于對(duì)應(yīng)自由度卡方分布的檢驗(yàn)值，且 Prob 列讀出拒絕原假設(shè)的概率很小，均小于 ，所以殘差序列為非白噪聲序列 [10]，即模型檢驗(yàn)未通過，故只好做出 模型的殘差序列圖進(jìn)行檢驗(yàn)，??2,3ARIM??1,2IA殘差相關(guān)系數(shù)如圖 315，圖 316： 圖 315 模型的殘差圖??1,2ARIM 圖 316 模型殘差序列檢驗(yàn)??1,2ARIM結(jié)果顯示，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 Q 值均小于對(duì)應(yīng)自由度卡方分布的檢驗(yàn)值，且 Prob 列讀出拒絕原假設(shè)的概率較大，均大于 ，所以殘差序列為白噪聲序列 [10]，即模型通過檢驗(yàn)，所以最終選擇 模型對(duì)我國(guó) GDP 進(jìn)行分析??1,2ARIM??1,2ARIM預(yù)測(cè)。因此，選擇最 模型對(duì)我國(guó)未來 5 年的 GDP 作出預(yù)測(cè)：??1,2ARIM表 35 2022 年—2022 年我國(guó) 預(yù)測(cè)值GDP年份 2022 2022 2022 2022 2022Ln（GDP）(億元) GDP（億元） 圖 317 20222022 年我國(guó) GDP 預(yù)測(cè)圖結(jié) 論 本文使用時(shí)間序列分析的方法對(duì)我國(guó)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值的年度數(shù)據(jù)序列進(jìn)行了隨機(jī)性分析，并運(yùn)用 模型預(yù)測(cè)方法對(duì)我國(guó)的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值進(jìn)行了小規(guī)模的預(yù)測(cè)。 由本文得到的較為滿意的擬和結(jié)果可知時(shí)間序列短期預(yù)測(cè)精度是比較高的。在應(yīng)用中，應(yīng)該根據(jù)所要解決的問題及問題的特點(diǎn)等方面因素來綜合考慮并選擇相對(duì)最優(yōu)的模型。因此，本文還有許多不足之處，會(huì)在以后的學(xué)習(xí)工作中將其不斷完善。感謝肖老師在過去的四年中，在我完成學(xué)業(yè)和畢業(yè)論文的寫作過程中，對(duì)我的悉心指導(dǎo)和幫助；在生活上，對(duì)我的關(guān)心和照顧。我被肖老師誠(chéng)懇的待人方式，廣博扎實(shí)的專業(yè)知識(shí)，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度，富有啟發(fā)的思維方式，孜孜不倦的誨人態(tài)度，非凡的人格魅力所折服，使我受益匪淺，令我終生難忘。難忘各位老師的辛勤付出和鼓勵(lì)支持，再次表示感謝