圓錐曲線經(jīng)典題目[含答案解析]-閱讀頁
2025-07-08 07:21本頁面
【正文】 的倍．（Ⅰ）求曲線C1的方程；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A是曲線C1的右支上一點(diǎn)，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，連AF交曲線C1的右支于點(diǎn)B，作BC垂直于定直線l：x=，垂足為C，求證：直線AC恒過x軸上一定點(diǎn)．【解答】（Ⅰ）解：由題知：a2+b2=2，曲線C2的離心率為…（2分）∵曲線C1的離心率是曲線C2的離心率的倍，∴=即a2=b2，…（3分）∴a=b=1，∴曲線C1的方程為x2﹣y2=1； …（4分）（Ⅱ）證明：由直線AB的斜率不能為零知可設(shè)直線AB的方程為：x=ny+ …（5分）與雙曲線方程x2﹣y2=1聯(lián)立，可得（n2﹣1）y2+2ny+1=0設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則y1+y2=﹣，y1y2=，…（7分）由題可設(shè)點(diǎn)C（，y2），由點(diǎn)斜式得直線AC的方程：y﹣y2=（x﹣） …（9分）令y=0，可得x=== …（11分）∴直線AC過定點(diǎn)（，0）． …（12分） 15．已知雙曲線Γ：的離心率e=，雙曲線Γ上任意一點(diǎn)到其右焦點(diǎn)的最小距離為﹣1．（Ⅰ）求雙曲線Γ的方程；（Ⅱ）過點(diǎn)P（1，1）是否存在直線l，使直線l與雙曲線Γ交于R、T兩點(diǎn)，且點(diǎn)P是線段RT的中點(diǎn)？若直線l存在，請求直線l的方程；若不存在，說明理由．【解答】解：（Ⅰ）由題意可得e==，當(dāng)P為右頂點(diǎn)時(shí)，可得PF取得最小值，即有c﹣a=﹣1，解得a=1，c=，b==，可得雙曲線的方程為x2﹣=1；（Ⅱ）過點(diǎn)P（1，1）假設(shè)存在直線l，使直線l與雙曲線Γ交于R、T兩點(diǎn)，且點(diǎn)P是線段RT的中點(diǎn)．設(shè)R（x1，y1），T（x2，y2），可得x12﹣=1，x22﹣=1，兩式相減可得（x1﹣x2）（x1+x2）=（y1﹣y2）（y1+y2），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得x1+x2=2，y1+y2=2，可得直線l的斜率為k===2，即有直線l的方程為y﹣1=2（x﹣1），即為y=2x﹣1，代入雙曲線的方程，可得2x2﹣4x+3=0，由判別式為16﹣423=﹣8＜0，可得二次方程無實(shí)數(shù)解．故這樣的直線l不存在． 16．已知雙曲線C：的離心率e=，且b=．（Ⅰ）求雙曲線C的方程；（Ⅱ）若P為雙曲線C上一點(diǎn)，雙曲線C的左右焦點(diǎn)分別為E、F，且?=0，求△PEF的面積．【解答】解：（Ⅰ）∵C：的離心率e=，且b=，∴=，且b=，∴a=1，c=∴雙曲線C的方程；（Ⅱ）令|PE|=p，|PF|=q由雙曲線定義：|p﹣q|=2a=2平方得：p2﹣2pq+q2=4?=0，∠EPF=9017
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