圓錐曲線的光學性質(zhì)-閱讀頁
2025-07-07 16:01本頁面
【正文】 （一）分析猜想：（1）經(jīng)計算，點在橢圓內(nèi),由于橢圓是封閉圖形，因此應(yīng)該有一個封閉的取值范圍，既有最小值也有最大值。這種情況又分為兩類，一是被上半橢圓反射（，光線從），二是被下半橢圓反射（，光線從），究竟哪種情況距離之和更小呢？顯然，根據(jù)橢圓定義， (為橢圓長軸長)。（二）證明是最小值。猜想得證。分析猜想：經(jīng)計算，點在雙曲線右支開口內(nèi)部。根據(jù)光線的“最近傳播”特點，我們猜想：從射出經(jīng)雙曲線反射后經(jīng)過點的光線所經(jīng)過的路程往往是最短的，再結(jié)合雙曲線的光學性質(zhì)（從一個焦點射出的光線經(jīng)橢圓周反射，反射光線的反向延長線經(jīng)過另一個焦點），可作出從射出被雙曲線反射后經(jīng)過點的光線：連接，與雙曲線的交點即為使得最小的點，設(shè)為點，光線從。（三）計算：由題意知∵，∴===例6．已知拋物線，是其焦點，點，是上的動點，求的取值范圍。根據(jù)拋物線光學性質(zhì)（從焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射，反射光線與對稱軸平行，反之也成立），結(jié)合光線的“最近傳播”特點，我們猜想：過與對稱軸平行的直線與拋物線的交點可能就是使距離之和最小的點，設(shè)為點（）。且 3．3． 圓錐曲線光學性質(zhì)在解決與“切線”相關(guān)問題時起簡捷作用?？梢姡€的切線和與曲線有關(guān)的反射問題有著密切聯(lián)系。例7．已知是過橢圓上一動點的橢圓的動切線，過的左焦點作的垂線，求垂足的軌跡方程。由于是橢圓的切線，切點為，聯(lián)想到橢圓光學性質(zhì)及反射定律，可知：是的外角平分線，關(guān)于直線的對稱點在的延長線上。從而點軌跡是以為圓心、以4為半徑的圓。(,0)．所以應(yīng)距碟底約。圓錐曲線一直是幾何學研究的重要課題之一，在我們的實際生活中也存在著許許多多的圓錐曲線。相對于一個物體，按萬有引力定律受它吸引的另一物體的運動，不可能有任何其他的軌道了。我們生活的地球每時每刻都在環(huán)繞太陽的橢圓軌跡上運行，太陽系其他行星也如此，太陽則位于橢圓的一個焦點上。人類發(fā)射人造地球衛(wèi)星或人造行星就要遵照這個原理。它也有一條軸，即拋物線的軸。這就是我們?yōu)槭裁匆烟秸諢舴垂忡R做成旋轉(zhuǎn)拋物面的道理。人們在設(shè)計高大的立塔時，就采取單葉雙曲面的體形，既輕巧又堅固（比如教材當中的冷卻塔） 由此可見，對于圓錐曲線的價值，無論如何也不會估計過高。我們只有善于觀察，勤于鉆研，及時總結(jié)，才能閃現(xiàn)更多的靈感，才能在奧妙的數(shù)學
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