【正文】 與距離為，由場(chǎng)強(qiáng)疊加原理有 可得（2）兩電荷異號(hào)時(shí)，在其連線內(nèi)側(cè)電場(chǎng)強(qiáng)度方向相同，外側(cè)電場(chǎng)強(qiáng)度方向相反。 電荷均勻地分布在長(zhǎng)為的一段直線上。Odxrlx2l解：建立如圖所示的坐標(biāo)系。求圓心處的電場(chǎng)強(qiáng)度。下面我們來計(jì)算剩下部分在O點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，在帶電直線上取電荷元，它在O點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)輕度大小為由帶電線的對(duì)稱性可知O點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度沿軸負(fù)方向，所以有所以剩下部分在O點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)大小方向水平向左。圖494 S1S2RO 在場(chǎng)強(qiáng)為的均勻靜電場(chǎng)中，取一半徑為的半球面，的方向和半球面的軸平行，如圖494所示，試求通過該半球面的電通量。試分別用場(chǎng)強(qiáng)疊加原理和高斯定理求其電場(chǎng)分布。所以空間的電場(chǎng)為R1R2rP（2）高斯定理由題意可知，兩個(gè)同心均勻帶電球面的電荷分布具有以自身球心為中心的球?qū)ΨQ性，它產(chǎn)生的電場(chǎng)一定是以球心為中心的球?qū)ΨQ性電場(chǎng)。當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)時(shí)，高斯面內(nèi)沒有電荷；當(dāng)點(diǎn)在兩球面之間時(shí)，高斯面內(nèi)電荷為；當(dāng)點(diǎn)在兩球面外時(shí)，高斯面內(nèi)電荷為。解：設(shè)挖去球體半徑為，空腔內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)可視為半徑為、電荷體密度為的帶電球體，與半徑為、電荷體密度為的帶電球體所產(chǎn)生的電場(chǎng)的疊加，其中。 內(nèi)外半徑分別為和的球殼均勻帶電，體電荷密度為，求其電場(chǎng)分布。因此，取通過空間任一點(diǎn)并與帶電球面同心的、半徑為的球面為高斯面。根據(jù)靜電場(chǎng)的高斯定理，有由此可得所求的場(chǎng)強(qiáng)分布為 半徑為的無限長(zhǎng)直圓柱體均勻帶電，體電荷密度為，求其電場(chǎng)分布。由高斯定理有當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)若，的方向沿徑向向外；若，的方向沿徑向指向軸線。解：根據(jù)電荷的軸對(duì)稱分布可知電場(chǎng)應(yīng)是軸對(duì)稱分布的，以圓柱面軸線為軸，作一半徑為，高為的閉合圓柱面為高斯面。EsE解：取電荷面密度為的平面為研究對(duì)象，由該平面電荷分布的對(duì)稱性可知該平面單獨(dú)在空間產(chǎn)生的電場(chǎng)具有面對(duì)稱性，即平面兩側(cè)對(duì)稱點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)大小相等；沿帶電平面具有平移對(duì)稱性，與帶電平面平行平面上場(chǎng)強(qiáng)應(yīng)相等。設(shè)圓柱面的兩個(gè)底面面積為，由于其側(cè)面電通量為零，所以通過整個(gè)高斯面的電通量為圓柱面在帶電面上截取的面積也為，因此圓柱面內(nèi)包圍的電量為。根據(jù)場(chǎng)強(qiáng)疊加原理可得（1）電荷面密度均為時(shí)，在兩平面內(nèi)側(cè)，兩平面各自產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)大小相等，方向相反，和場(chǎng)強(qiáng)；在兩平面外側(cè)，兩平面各自產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)大小相等，方向相同，和場(chǎng)強(qiáng)，方向與帶電平面垂直并指向兩側(cè)。 把單位正電荷從電偶極子軸線的中點(diǎn)沿任意路徑移到無限遠(yuǎn)處，求靜電力對(duì)它所作的功。選取無窮遠(yuǎn)處為系統(tǒng)的電勢(shì)零點(diǎn)，則兩電荷在電偶極子軸線的中點(diǎn)的電勢(shì)分別為，由電勢(shì)疊加原理，電偶極子在其軸線的中點(diǎn)的電勢(shì)為故把單位正電荷從電偶極子軸線的中點(diǎn)沿任意路徑移到無限遠(yuǎn)處，求靜電力對(duì)它所作的功為2l+q qA O B DC圖495 如圖495所示，長(zhǎng)為，是以為圓心，為半徑的半圓。解：在球冠面上取一面元，帶電量為，此面元可看作一點(diǎn)電荷，它在球心處的電勢(shì)由電勢(shì)疊加原理，球冠面在球心出的電勢(shì)為 電荷均勻地分布在半徑為的球體內(nèi)，求其電勢(shì)分布。設(shè)其帶電量分別為和，求兩球面的電勢(shì)及二者之間的電勢(shì)差。設(shè)無限遠(yuǎn)處為電勢(shì)零點(diǎn)，根據(jù)電勢(shì)的定義，球面外任一點(diǎn)的電勢(shì)為球面內(nèi)任一點(diǎn)的電勢(shì)為概括起來，均勻帶電球面內(nèi)外的電勢(shì)分布可寫成由電勢(shì)疊加原理可得，兩個(gè)均勻帶電的同心球面上的電勢(shì)分別為，兩球面之間的電勢(shì)差為IIIIIIσ1σ2σ3AB圖496 如圖496所示，三塊互相平行的均勻帶電大平面，面電荷密度分別為、。求兩點(diǎn)的電勢(shì)差。求導(dǎo)體球的電勢(shì)？解：點(diǎn)電荷在導(dǎo)體球的中心產(chǎn)生的電勢(shì)導(dǎo)體球原來不帶電，放置電量為的點(diǎn)電荷后，會(huì)在導(dǎo)體球的表面產(chǎn)生感應(yīng)電荷，但感應(yīng)電量的代數(shù)和仍然為零。解：根據(jù)電荷的軸對(duì)稱分布可知電場(chǎng)應(yīng)是軸對(duì)稱分布的，以直圓筒軸線為軸，作一半徑為，高為的閉合圓柱面為高斯面。解：設(shè)導(dǎo)體球上的帶電量為，由于導(dǎo)體球是等勢(shì)體，所以其球心電勢(shì)也為零。證明：如圖所示，設(shè)兩導(dǎo)體板各面上電荷面密度分別為。 用兩面夾有鋁箔的聚乙烯膜做一電容為的電容器。略去邊緣效應(yīng)，試求玻璃表面上極化電荷的面密度。略去邊緣效應(yīng)，試問這電容器加上的電壓時(shí)，每個(gè)極板上的電荷量是多少？解：由題意可知， ，則由有介質(zhì)時(shí)的高斯定理，可以求出平行板電容器中電位移大小，所以平行板電容器每個(gè)極板上的電荷量 一平行板電容器兩極板間左半邊是空氣，右半邊是的均勻介質(zhì)。略去邊緣效應(yīng)，試分別求兩極板間空氣中和介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度和電位移的值。然后把電容器兩極板之間的距離增大到，忽略邊緣效應(yīng)，試討論電容器的極板帶電量、板間電場(chǎng)強(qiáng)度、電容及電場(chǎng)能量的變化。充電后把電源斷開，電容器兩極板跟其它導(dǎo)體不接觸，帶電量不變，即。設(shè)電容器本身的電容為，討論在以下兩種情況下電容器電容的變化：1）大平板是金屬導(dǎo)體；2）大平板是相對(duì)介電常數(shù)為的介質(zhì)。由介質(zhì)中的高斯定理有得到電容器兩極板間電位移矢量的大小為則電容器兩極板間有介質(zhì)處電場(chǎng)強(qiáng)度大小為電容器兩極板間無介質(zhì)處電場(chǎng)強(qiáng)度大小為兩極板間的電勢(shì)差為插入大平板后，電容器的電容 空氣中有一半徑為的導(dǎo)體球，電勢(shì)為，求它表面緊鄰處的靜電場(chǎng)能量密度。取半徑為且與導(dǎo)體球同心的球面為高斯面，由高斯定理有導(dǎo)體球表面緊鄰處的電場(chǎng)強(qiáng)度大小，方向沿徑向?qū)w球表面緊鄰處的電勢(shì)為導(dǎo)體球表面緊鄰處的靜電場(chǎng)能量密度為 在介電常數(shù)為的無限大均勻電介質(zhì)中，有一半徑為的導(dǎo)體球，帶電量為，求電場(chǎng)的能量。外部的電場(chǎng)是非均勻的，但具有中心對(duì)稱性，為此取一半徑為、厚為的球殼，如圖所示。解：電容器所儲(chǔ)存的能量為 電荷均勻地分布在半徑為的球體內(nèi)，求它的靜電場(chǎng)能量。其體積為，在此體積內(nèi)可認(rèn)為電場(chǎng)能量密度相等，所以球殼內(nèi)的電場(chǎng)能量為 于是，帶電導(dǎo)體球的電場(chǎng)的靜電能為 一球形電容器由半徑分別為和的兩個(gè)同心金屬薄球殼構(gòu)成，當(dāng)它們帶有等量異號(hào)電荷時(shí)，電勢(shì)差為，求該電容器所儲(chǔ)存的電場(chǎng)能量。因?yàn)殡姾煞植季哂星驅(qū)ΨQ性，故選取取如圖所示的半徑為的同心球面為高斯面。196。由畢奧薩伐爾定律可知，導(dǎo)線上任意電流元在點(diǎn)激發(fā)的磁場(chǎng)方向都是垂直紙面向里。PaIrPIII(a) (b) (c) 圖499 ?PRRI解：（a）點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為兩根半無限長(zhǎng)直導(dǎo)線在點(diǎn)產(chǎn)生磁感應(yīng)強(qiáng)度的疊加由畢奧薩伐爾定律可知，點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度方向垂直紙面向外。（c）點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為兩根直導(dǎo)線和一根圓弧狀導(dǎo)線在點(diǎn)產(chǎn)生磁感應(yīng)強(qiáng)度的疊加由畢奧薩伐爾定律可知，點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度方向垂直紙面向里。求圓心點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。所以點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度方向垂直紙面向里，大小為圖4101 ABOθ 兩根導(dǎo)線沿半徑方向被引到鐵環(huán)上兩點(diǎn)，電流方向如圖4101所示。解：由畢奧薩伐爾定律可知，兩根直導(dǎo)線在點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為零。則左側(cè)圓弧導(dǎo)線在點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為右側(cè)圓弧導(dǎo)線在點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為因?yàn)樽笥覂啥螆A弧導(dǎo)線并聯(lián)，所以其電流大小與電阻大小成反比，而電阻大小與導(dǎo)線長(zhǎng)度成正比左右兩側(cè)圓弧導(dǎo)線在點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相等。r1r2IlIr3d圖4102 如圖4102所示，相距的兩平行直導(dǎo)線載有流向相反的電流。解：（1）兩導(dǎo)線所在平面內(nèi)與兩導(dǎo)線等距離的一點(diǎn)與兩導(dǎo)線距離為，兩直導(dǎo)線各自在該點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為由畢奧薩伐爾定律可知，與方向相同，都垂直紙面向外。設(shè)積分元距左側(cè)直導(dǎo)線距離為，則通過積分元的磁通量為通過圖中斜線所示矩形面積的磁通量為 無限長(zhǎng)導(dǎo)體圓柱沿軸向通以電流，截面上各處電流密度均勻分布，柱半徑為。在長(zhǎng)為的一段圓柱內(nèi)環(huán)繞中心軸線的磁通量是多少？解：（1）由電流的軸對(duì)稱，其產(chǎn)生的磁場(chǎng)也必有軸對(duì)稱性。設(shè)積分元距軸線的距離為，則通過積分元的磁通量為環(huán)繞中心軸線的磁通量為ILROAB圖4103 如圖4103所示，為閉合電流的一直線段，長(zhǎng)為，圓周平面垂直于電流，半徑為且圓心在的中點(diǎn)。解：段電流在環(huán)上產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為方向沿圓的切線方向，并與電流方向滿足右手螺旋定則。 內(nèi)外半徑分別為和的無限長(zhǎng)載流導(dǎo)體直圓管，電流沿軸線方向流動(dòng)，并且均勻分布在圓管的橫截面上，求磁場(chǎng)分布。所以在導(dǎo)體橫截面內(nèi)以導(dǎo)體軸線為圓心作半徑為的圓為積分環(huán)路，根據(jù)安培環(huán)路定理有在區(qū)域在區(qū)域在區(qū)域 某一質(zhì)量為的粒子帶有的電荷，在水平方向獲得一初始速度。即若使粒子沿水平方向運(yùn)動(dòng)，應(yīng)加大小為的磁場(chǎng) 在一磁場(chǎng)為的氣泡室中，一高能質(zhì)子垂直于磁場(chǎng)飛過時(shí)留下一半徑為的圓弧徑跡，求此質(zhì)子的動(dòng)量。解：直徑部分在圓心處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為零，半徑為的半圓形在圓心處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為方向與半圓面垂直。 半徑為的導(dǎo)線圓環(huán)中載有電流，置于磁感應(yīng)強(qiáng)度為的均勻磁場(chǎng)中，若磁場(chǎng)方向與環(huán)面垂直，求圓環(huán)所受的合力及導(dǎo)線所受的張力。在圓環(huán)上取關(guān)于圓心對(duì)稱的兩點(diǎn)和，由對(duì)稱性可知、兩點(diǎn)的張力大小相等，方向沿切線方向，設(shè)張力大小為。、兩點(diǎn)連線右側(cè)半圓導(dǎo)線所受合力為，所以有即導(dǎo)線所受張力為。 180。 180。 180。 180。 180。Rcab dO 如圖4104所示形狀的導(dǎo)線，通有電流，放在一個(gè)與均勻磁場(chǎng)垂直的平面上，求此導(dǎo)線受到的磁場(chǎng)力的大小及方向。 一鑄鋼圓環(huán)上均勻地密繞多匝線圈。解：密繞環(huán)的磁場(chǎng)幾乎全部集中在環(huán)內(nèi)，環(huán)內(nèi)的磁場(chǎng)線都是同心圓，環(huán)外的磁場(chǎng)可以忽略。選取半徑為的磁場(chǎng)線為積分路徑，根據(jù)介質(zhì)中的安培環(huán)路定理，有由此得 因?yàn)閳A環(huán)的橫截面積一般很小，所以，環(huán)內(nèi)任一點(diǎn)的磁場(chǎng)強(qiáng)度大小為 故 一螺繞環(huán)中心周長(zhǎng)為，在環(huán)上均勻繞以200匝導(dǎo)線，螺繞環(huán)內(nèi)充滿相對(duì)磁導(dǎo)率為5000的磁介質(zhì)。介質(zhì)中由傳導(dǎo)電流和磁化電流產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度各是多少？解：由介質(zhì)中的安培環(huán)路定理知 介質(zhì)中由傳導(dǎo)電流產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為介質(zhì)中由磁化電流產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為 在螺繞環(huán)的導(dǎo)線內(nèi)通有電流，環(huán)上所繞線圈共1000匝，環(huán)的平均周長(zhǎng)為，測(cè)得環(huán)內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度是，求環(huán)內(nèi)的磁場(chǎng)強(qiáng)度及磁介質(zhì)的磁導(dǎo)率。設(shè)，時(shí)。解：設(shè)從上往下看逆時(shí)針方向?yàn)榛芈氛较?，則時(shí)刻通過次閉合回路的磁通量為由法拉第電磁感應(yīng)定律，回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為計(jì)算結(jié)果為負(fù)號(hào)表示的方向與規(guī)定的回路繞行方向相反，從上往下沿順時(shí)針方向。若導(dǎo)體在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中以速率在垂直于磁場(chǎng)的平面內(nèi)沿平行于邊的方向運(yùn)動(dòng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度，求間的電勢(shì)差是多少？哪端電勢(shì)高？解：由動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的定義可得wARO圖4107 ，表示電動(dòng)勢(shì)方向與積分方向一致，由指向，即端電勢(shì)高于端。勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度垂直盤面向上，A為盤邊緣一點(diǎn)。在棒上任取一段線元，方向由盤心指向邊緣，這一小段上產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為整個(gè)金屬棒上產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)為，表示電動(dòng)勢(shì)的方向與積分方向一致，由指向，即端電勢(shì)高于端。求回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)并指出感應(yīng)電流的方向。 由兩個(gè)無限長(zhǎng)同軸薄圓筒導(dǎo)體組成的電纜，流過兩圓筒的電流，流向相反，半徑分別為，試求長(zhǎng)為的一段電纜內(nèi)的磁能和自感系數(shù)。解：由電荷分布的面對(duì)稱性可知電位移的分布也是面對(duì)稱性的。設(shè)，兩板的電壓變化率為，求此時(shí)兩板間的位移電流。選取底面積為，與極板平行且一個(gè)底面在極板中的柱面為高斯面，由介質(zhì)中的高斯定理有由位移電流的定義有當(dāng)，兩板的電壓變化率為時(shí)，兩極板間的位移電流為 一平面電磁波電場(chǎng)強(qiáng)度的振幅為，求磁感應(yīng)強(qiáng)