多元正態(tài)總體的假設(shè)檢驗和方差分析-閱讀頁
2025-07-01 02:01本頁面
【正文】 素對試驗結(jié)果影響的結(jié)果的比較，就變成了多個同協(xié)方差陣的多元正態(tài)總體均值向量的比較。多個總體均值向量的比較檢驗，特別是多元方差分析正是本節(jié)的內(nèi)容，這類方法在經(jīng)濟管理，系統(tǒng)控制，生物醫(yī)藥等許多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。 提出問題 例 為了研究某種疾病，對三組人測量：第 1 組是 20 至 35 歲女性、第 2 組是 20 至 25 歲男性、第 3 組是 30 至 55 歲男性。測量結(jié)果見表 33。例 要從每個總體 20 個樣品值出發(fā)，檢驗 是否成立。方差分析是一種處理實驗數(shù)據(jù)的方法，考察一個被稱為因變量或相依變量（dependent variable， ）的連續(xù)響應(yīng)變量，又稱反應(yīng)變量(Response Variable)，其數(shù)值則是連續(xù)的,它在由分類變量識別的幾種試驗條件下被測量，這些分類變量被稱為自變量,獨立變量（independent variable）,定性變量（Qualitative Variable）或分類變量（Classification Variable） ，其數(shù)值多半是不連續(xù)的。例如，某個試驗要測量男人和女人的重量變化（因變量） ，他們采取了三種不同的減肥方法，這個設(shè)計的 6 個單元由性別（男、女）和減肥方法（A、B、C） 6 種組合形成。例如“產(chǎn)地”是一個變量，它取的值是“北京” 、 “上?！?、 “南京”等。 我們所考察的．影響產(chǎn)品指標(biāo)的因素(如產(chǎn)地，溫度)也稱為因子，用大寫字母 A,B,C 表示。水平常以 表示。對第 個水平 進行試驗，獨立觀察 次，整個試驗共作了 次，且完全隨機排列。假定 令于是有模型： 其中 稱為總體均值向量， 為 的主效應(yīng)向量， 為 的第 次觀察的隨機誤差向量，根據(jù)假設(shè) 相互獨立且均服從 。每組取 20 個人，測量第 I 組的第 J 人 4 個指標(biāo)是： 脂蛋白（ ）、甘油三脂（ ）、 脂蛋白（ ）、前 脂蛋白（ ）。問三組人的指標(biāo)間有沒有顯著差別？解 這兒有 3 個總體，建立假設(shè)計算三總體樣本均值計算組內(nèi)差計算組間差計算總方差計算 統(tǒng)計量 ，查得 〉；所以高度顯著否定 ，故三組人身體指標(biāo)有顯著差異。 一個正態(tài)總體協(xié)方差陣的檢驗設(shè) 為取自 維正態(tài)總體 的一個樣本， 未知，且 。在 成立時， 的極限分布是 ，因此當(dāng) ,由樣本值計算出值，若 ，即 ，則拒絕 ，否則不能拒絕 。設(shè)有 個正態(tài)總體分別為 ，…， ， 且未知，從第 個總體中取 個樣本 ，這里 為總樣本容量。 獨立性檢驗一個隨機向量 ，若其中兩子向量相互獨立，則可化為兩個低維隨即向量處理，給統(tǒng)計分析帶來極大的便利，因此檢驗一個隨機向量的子向量之間是否獨立是參數(shù)假設(shè)檢驗中的重大課題，而當(dāng)時， ， 相互獨立 ， 互不相關(guān) ( )。一般情況下，設(shè) ， 正定，將 分割成 個子向量：其中 的維數(shù)為 ， ， ，將 與 也作相應(yīng)的剖分： ，檢驗子向量 之間的相互獨立的假設(shè)問題可寫成：， ，至少有一對也就是說，如果 成立，則現(xiàn)從總體 抽取容量為 的樣本 ， ，…， ，將樣本的總離差陣，剖分成 的形式也可以計算樣本相關(guān)陣,并作相應(yīng)剖分:其中檢驗問題（）式的似然比統(tǒng)計量為 通常取 作為統(tǒng)計量關(guān)于在 成立下的分布,Box（1949）指出 近似服從 ，其中當(dāng) 較大時，可認為 近似服從 （上述證明可參 Andenson（1984））例 據(jù)西北農(nóng)業(yè)大學(xué)育種組 1981 年資料，計算得旱肥組 9 個品種 4 個性狀的相關(guān)陣為(n=27)其中: ——每穗粒數(shù)， ——千粒重（克） ， ——抽穗期， ——成熟期，假定服從 ，試檢驗 與 獨立解：設(shè) ＝ ， ＝ ，則 要檢驗的假設(shè)為 ， 經(jīng)計算：查表得 計算表明，應(yīng)拒絕 ，即認為 ， 是相關(guān)的 練習(xí)三試述多元統(tǒng)計分析中的各種均值向協(xié)方差檢驗的基本思想和步驟。4 測量 15 名兩周歲嬰兒的身高胸圍上半臂圍的數(shù)據(jù)如下表所示，假定這三組都服從正態(tài)總體且協(xié)方差相等，試在顯著性水平 下檢驗?zāi)信畫胗變旱倪@三項指標(biāo)是否有差異。從支持三位候選人的選民中分別抽取了 20 人，登記他們的年齡段（ ）和受教育程度（ ）資料如下表所示：布什的選民佩羅特的選民克林頓的選民1 2 1 1 2 1 1 4 12 1 3 2 1 2 2 4 13 3 3 3 1 0 3 2 14 1 3 4 1 3 4 4 15 3 1 5 3 1 5 2 36 3 1 6 2 1 6 4 07 1 1 7 1 1 7 3 28 2 3 8 1 3 8 4 09 2 1 9 4 1 9 2 110 3 1 10 3 3 10 3 111 1 1 11 2 1 11 3 112 4 1 12 1 3 12 2 313 4 0 13 2 1 13 4 014 3 4 14 1 1 14 2 115 3 3 15 2 1 15 4 116 2 3 16 3 1 16 2 217 2 1 17 1 1 17 3 318 3 1 18 3 1 18 3 219 1 3 19 4 3 19 3 120 1 1 20 2 1 20 4 0假定三組都服從多元正態(tài)分布，檢驗這三組的總體均知是否有顯著性差異（ ） 。
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