高三數(shù)學一輪復習精品導學案：第五章數(shù)列(51等差數(shù)列及等比數(shù)列)-閱讀頁
2025-06-22 23:16本頁面
【正文】 （1）定義法：若，則是等比數(shù)列；（2）中項公式法：若數(shù)列中，則數(shù)列是等比數(shù)列；（3）通項公式法：若數(shù)列通項公式可寫成，則數(shù)列是等比數(shù)列；（4）前n項和公式法：若數(shù)列的前n項和，則數(shù)列是等比數(shù)列；注：（1）前兩種方法是判定等比數(shù)列的常用方法，而后兩種方法常用于選擇、填空中的判定；（2）若要判定一個數(shù)列不是等比數(shù)列，則只需判定其任意的連續(xù)三項不成等比數(shù)列即可。（1） 證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2） 求數(shù)列的前n項和；（3） 證明不等式對任意皆成立。解答：（1）由題設(shè)得。（2）由（1）可知，于是數(shù)列的通項公式為。（3）對任意的，所以不等式對任意皆成立。解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式，并靈活運用，在運算過程中，還應(yīng)善于運用整體代換思想簡化運算的過程?！}解析※〖例〗設(shè)數(shù)列的前n項和為，且=22；數(shù)列為等差數(shù)列，且。思路解析：（1）得結(jié)論；（2）放縮得結(jié)論。（2）∵為等差數(shù)列，∴，∴從而∴………………………………③∴…………………④③④得=∴∴（三）等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用※相關(guān)鏈接※在等比數(shù)列中常用的性質(zhì)主要有：（1）對于任意的正整數(shù)若，則特別地，若；（2）對于任意正整數(shù)有；（3）若數(shù)列是等比數(shù)列，則也是等比數(shù)列，若是等比數(shù)列，則也是等比數(shù)列；（4）數(shù)列仍成等比數(shù)列；（5）數(shù)列是等比數(shù)列（q≠1）；（6）等比數(shù)列的單調(diào)性注：等比數(shù)列中所有奇數(shù)項的符號相同，所有偶數(shù)項的符號也相同。思路解析：由已知條件，根據(jù)前n項和公式列出關(guān)于首項和公比及n的兩個方程，應(yīng)能解出和關(guān)于n的表達式，這樣可能較繁瑣又不便于求出結(jié)果，若采用整體處理的思想，問題就會變得簡單，也可采用等比數(shù)列的性質(zhì)問題簡化。由已知，.注意到也成等比數(shù)列,其公比為,于是,問題轉(zhuǎn)化為已知:方法二:利用求和公式.如果公比q=1,則由于,可知,與條件不符,∴q≠1,由求和公式,得…………………………………………①又……………………………………………………………………②②式除以①式得，又再往后3n項的和為………………………………………………………………………………③③式除以①式得。已知a2a4=1, ,則（A） (B) (C) (D) 【答案】B【命題立意】本題考查了等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式，考查了同學們解決問題的能力。4. （2010遼寧文數(shù)）（14）設(shè)為等差數(shù)列的前項和，若，則 。記設(shè)為數(shù)列{}的最大項，則= 。因為≧8，當且僅當=4，即n=4時取等號，所以當n0=4時Tn有最大值。已知數(shù)列的前項和為，且，(1)證明：是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項公式，并求出使得成立的最小正整數(shù).解析：(1) 當n=1時，a1=14；當n≥2時，an=SnSn1=5an+5an1+1，所以，又a11=15≠0，所以數(shù)列{an1}是等比數(shù)列；(2) 由(1)知：，得，從而(n206。（2） 存在無窮多個互不相似的三角形△，其邊長為正整數(shù)且成等差數(shù)列。 （1）考慮到結(jié)構(gòu)要證，；類似勾股數(shù)進行拼湊。結(jié)合第一問的特征，將等差數(shù)列分解，通過一個可做多種結(jié)構(gòu)分解的因式說明構(gòu)成三角形，再證明互不相似，且無窮。下證互不相似?！究键c精題精練】一、選擇題設(shè)｛an｝（n∈N*）是等差數(shù)列，Sn是其前n項的和，且，則下列結(jié)論錯誤的是（C）＜0 ＝0＞S5 解析：由S5S6得a1+a2+a3+…+a5a1+a2+…+a5+a6，∴a60，又S6=S7，∴a1+a2+…+a6=a1+a2+…+a6+a7，∴a7=0，由S7S8，得a80，而C選項S9S5，即a6+a7+a8+a902（a7+a8）0，由題設(shè)a7=0，a80，顯然C選項是錯誤的。遼寧錦州高三期末考試（理））公差不為零的等差數(shù)列中，數(shù)列是等比數(shù)列，且 （D）（A）2 （B）4 （C）8 （D）16（2010屆廣東高三六校聯(lián)考（理））設(shè)，則函數(shù)的最大值為（D）A． B． C． D．（2010屆 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4二、填空題1已知數(shù)列是等差數(shù)列，a1=9，S3=S7，那么使其前n項和Sn最小的ｎ是___5_____. 1已知方程的四個根組成一個首項為的等差數(shù)列，則 。若是等差數(shù)列，則q = 1 。三、解答題（福建泉州七中●2009高二月考）(本小題12分)已知等差數(shù)列的前項和為（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）若a1與a5的等差中項為18，bn滿足，求數(shù)列的{bn}前n項和。所以數(shù)列的前項和.有四個互不相等實數(shù)，前個成等比數(shù)列，它們的積為，后個數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為，求這四個
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