多維隨機(jī)變量的數(shù)字特征-閱讀頁
2025-05-14 05:37本頁面
【正文】 維正態(tài)分布 , 即 則 ),(~),( 222211 ?????NYX21),( ????YXC o v??? ???? ???2121),(DYDXYXC o vXY67 若 ( X ,Y ) 為離散型， iji jji pEYyEXxYXC o v ? ????????1 1))((),(若 ( X ,Y ) 為連續(xù)型， ? ??? ?? ?? ?? ??? d x d yyxfEYyEXxYXCo v ),())((),(? ?))((),( EYYEXXEYXC o v ???68 由定義可得),(2)( YXCo vDYDXYXD ????EXEYXYEYXCo v ?? )(),( 協(xié)方差的性質(zhì)：),(),()1( XYCo vYXCo v ?為常數(shù)baXYC o vabbYaXC o v,),(),()2( ?),(),(),()3(2121YXC o vYXC o vYXXC o v???計算協(xié)方差的常用公式 69 相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：1||)1( ?XY?則若 ,)2( baXY ??????????1010XYXYaa??，時，時1)(1)3( ?????? baXYPXY?0,)4( ?XYYX ?則相互獨(dú)立若注 : 密切程度之間的線性關(guān)系的的大小反映了 YXXY ,?之間無線性關(guān)系時 YXXY ,0??之間具有線性關(guān)系時 YXXY ,1??70 不相關(guān)與 YX? 0?? XY?0),( ?? YXC o v EXEYXYE ?? )(注 : ??顯然 相關(guān) YXXY ,0??YXXY ,0??不相關(guān) YXXY ,0??正相關(guān) YXXY ,0?? 負(fù)相關(guān) ),1( YXXY ?? 完全正相關(guān) ),1( YXXY ???完全負(fù)相關(guān) 獨(dú)立YX ,獨(dú)立不相關(guān)不一定有 YXYX ,不相關(guān)獨(dú)立則服從二維正態(tài)分布若YXYXYX,),(?71 求 Cov (X ,Y ), ?XY 1 0 p q X P 1 0 p q Y P 例 1 已知 X ,Y 的聯(lián)合分布為 X Y 1 0 1 0 p 0 0 q 0 p 1 p + q = 1 解 1 0 p q X Y P 72 pqDYpqDXpEYpEX????,pXYE ?)(1),()(),(?????DYDXYXC ovpqE X E YXYEYXC ovXY?73 例 2 設(shè) ( X ,Y ) ~ N ( ?1, ?12,?2,?22,?), 求 ?XY 解 dxdyyxfyxYXCo v ),())((),( 21? ??? ?? ?? ?? ??? ??d s d testttstysx222221121)()1(2122112????????????????? ?????????????令d ud teutttuuts 22221)1(2221 )(12???????????????? ? ? ???????令74 dtetduetu222212)1(222112???????????? ??? ????????? 21??? ?XY若 ( X ,Y ) ~ N ( ?1, ?12, ?2, ?22, ? ) 則 X ,Y 相互獨(dú)立 X ,Y 不相關(guān) 75 例 3 設(shè) ( X ,Y ) ~ N ( 1,4。 ), Z = X + Y , 求 ? XZ 解 4,1 ???? DYDXEYEX2),(,21 ?? YXC o vXY?6),(),(),( ??? YXCo vXXCo vZXCo v12),(2)(??????YXC o vDYDXYXDDZ231226 ??XZ?76 例 4 由是否相互獨(dú)立？說明理與問）（是否相關(guān)？與并問的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)，與求和方差的期望求的概率密度函數(shù)為設(shè)XXXXXXDXEXXxexfXx3)2()1(),(,21)( ???????解 dxexEX x? ??????21)1( 0?77 22 )( EXEXDX ?? 0212 ?? ? ????? dxex xdxex x? ?? ??02212 2?XEEXXXEXXC o v ??? )(),()2(021 ?? ? ????? dxexx x 0?XDDXXXC o vXX),(??0?不相關(guān)與所以 XX78 獨(dú)立性由其定義來判斷)3(),()(,0 aXaXa ???? 事件對于任意的常數(shù)因此有且 ,1)(,0)( ???? aXPaXP)(),( aXPaXaXP ????)()()( aXPaXPaXP ????)()(),( aXPaXPaXaXP ?????所以不獨(dú)立與故 XX79 例 5 的聯(lián)合密度函數(shù)求相互獨(dú)立時，當(dāng)是否相關(guān)？是否獨(dú)立？，問的相關(guān)系數(shù)與求又正態(tài)分布都服從是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量和設(shè)),(,)3()2()1(,),0(,2??????????? bYaXbYaXNYX????解 ),0(~,),0(~)1( 22 ?? NYNX2,0 ????? DYDXEYEX)( bYaXEE ??? b E Ya E X ?? 0?)( bYaXEE ??? b E Ya E X ?? 0?80 也相互獨(dú)立所以相互獨(dú)立已知 bYaXYX ,故有 )( bYaXDD ??? DYbDXa 22 ??222 )( ?ba ??)( bYaXDD ??? DYbDXa 22 ??222 )( ?ba ??)()( 2222 YbXaEE ???? 2222 EYbEXa ??222 )( ?ba ????????? DDC o v ),(?所以??????DDEEE ?? )(2222baba???81 0)2( ?? ???時，當(dāng) ba 不相關(guān)?? ,0?? ???時，當(dāng) ba 相關(guān)?? ,的線性組合為獨(dú)立都服從正態(tài)分布且相互由于YXYX,??))(0(, 222 ??? baN ?，都服從正態(tài)分布所以不相關(guān)與獨(dú)立是等價的在正態(tài)分布中 ,時當(dāng)所以 ba ? 獨(dú)立?? ,時當(dāng) ba ? 不獨(dú)立?? ,82 )3()2,0(,2222?????aNba正態(tài)分布都服從即相互獨(dú)立時當(dāng) ?22222221)( ????aseasf ???22222221)( ????ateatf ???222242241),( ??? ??atseatsf???所以
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