【正文】 . B x y z o 給定曲面上的兩個點(diǎn) A, B, 求曲面上連接 A, B的最短曲線 . 建立坐標(biāo)系 A(x0, y0, z0 ), B(x1, y1 , z1 ) 曲線的弧長 22d 1 ds y z x??? ? ?曲線的長度 1022( ( ) , ( ) ) 1 dxxJ y x z x y z x??? ? ??求 y =y(x), z =z(x) 使 J(y(x) , z(x))達(dá)到最小 . 0))(),(,( ?xzxyxf滿足條件 曲面方程 f(x,y,z)=0 f(x,y,z)=0 曲面上連接 A, B的曲線 y =y(x), z =z(x) y =y(x) z =z(x) 泛函、泛函的變分和極值 自變量 t，函數(shù) x(t), y(t) 函數(shù)、函數(shù)的微分和極值 泛函、泛函的變分和極值 1. 對于 t在某域的任一個值 , 有 y的一個值與之對應(yīng) , 稱 y是t的函數(shù)，記作 y=f(t) 數(shù) x(t), 有 J的一個值與之對應(yīng) , 稱 J是 x(t)的泛函 , 記作 J(x(t)) 2. t在 t0的增量記作 ?t= t t0, 微分 dt= ?t 2. x(t)在 x0(t)的增量記作 ?x(t)= x(t)x0(t)， ?x(t)稱 x(t)的變分 3. y在 t0的增量記作 ?f= f(t0+?t) f(t0)， ? f的線性主部是函數(shù)的微分 , 記作 dy， dy = f? (t0)dt 3. 泛函 J(x(t))在 x0(t)的增量記作 ?J = J(x0(t)+ ?x(t)) J(x0(t)), ?J的線性主部稱 泛函的變分 ,記作 ?J(x0(t)) 泛函、泛函的變分和極值 函數(shù)、函數(shù)的微分和極值 泛函、泛函的變分和極值 4. 若函數(shù) y在域內(nèi) t點(diǎn)達(dá)到極值，則在 t點(diǎn)的微分 dy(t)=0 4. 若泛函 J(x(t))在函數(shù)集合內(nèi)的 x(t)達(dá)到極值 , 則在 x(t)的 變分 ?J(x(t))=0 0d ( ) ( )y t f t t ??? ??? ? ??5. y在 t的微分的另一表達(dá)式 5. 泛函 J(x(t))在 x(t)的變分可以表為 0))()(())(( ?????????? txtxJtxJ泛函 J(x(t))在 x(t)達(dá)到極值的必要條件 0))()(( 0 ???? ????? txtxJ歐拉方程 (最簡泛函極值的必要條件 ) 21( ( ) ) ( , ( ) , ( ) )dttJ x t F t x t x t t?? ?最簡泛函 F具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)， x(t)為二階可微函數(shù) 固定端點(diǎn)條件下的泛函 J(x(t))在 x(t)達(dá)到極值的必要條件 : x(t)滿足二階微分方程 d 0dxxFFt?? 0x t x x x x xF F F x F x? ? ? ?? ??? ? ? ?2211 )(,)( xtxxtx ??兩個任意常數(shù)由 確定 歐拉方程 用歐拉方程解速降線問題 0x tx x x x xF F F x F x? ? ? ?? ??? ? ? ?11 )(,0)0( yxyy ??1201( ( ) ) d2x yJ y x xgy??? ?求 y(x) 使 達(dá)到最小 , 且 歐拉方程 yyyyF 21),( ????0??????? ???? yFyFFF yyyyyxyd ( ) 0d yF y Fx ????cFyF y ??? ?cyyyyy ???????)1(122222 /1)1( cyy ???????????)co s1()s in(121tcycttcx 圓滾線方程 c2=0, c1由 y(x1)=y1確定 . 橫截條件 (變動端點(diǎn)問題 ) 容許函數(shù) x(t)的一個端點(diǎn)固定 : x(t1)=x1，另一個端點(diǎn)在給定曲線 x=?(t) 上變動 : x(t2)= ?(t2) (t2可變 ). x(t) . A . B x=?(t) t x o t2 歐拉方程在 變動端點(diǎn)的定解條件 2[ ( ) ] 0x t tF x F? ? ???? ? ?? x=?(t)垂直于橫軸 (t2固定 ) 2 0x t tF ? ? ?? x=?(t)平行于橫軸 2[ ] 0x t tF x F ? ????包含多個未知函數(shù)泛函的歐拉方程 21( ( ) , ( ) ) ( , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) ) dttJ x t u t F t x t x t u t u t t??? ?dd 0 , 0x x u uF F F Ftt??? ? ? ?歐拉方程 泛函的條件極值 21( ( ) ) ( , ( ) , ( ) ) dttJ u t F t x t u t t? ?))(),(,()( tutxtftx ??求 u(t)?U (容許集合 ) 使 J(u(t))在條件 下達(dá)到極值 , 且 x(t)?X (容許集合 ) 最優(yōu)控制問題 : u(t)~控制函數(shù) , x(t)~狀態(tài)函數(shù) (軌線 ). 泛函的條件極值 21( ( ) ) ( , ( ) , ( ) ) dttJ u t F t x t u t t? ? ( ) ( , ( ) , ( ) )x t f t x t u t? ?用拉格朗日乘子化為無條件極值 21( ( ) , ( ) ) [ ( , , ) ( ) ( ( , , ) ) ] dttI x t u t F t x u t f t x u x t? ?? ? ??),()(),(),( uxtftuxtFuxtH ???21( )dtt H x t? ????歐拉方程 d( ) ( ) 0dd( ) ( ) 0dxxuuH x H xtH x H xt????????? ? ? ???? ? ? ?( ) 00HtxHu?????????()0( , , )HtxHux f t x u??? ??????? ?由方程組和端點(diǎn)條件解出最優(yōu)控制 u(t)和最優(yōu)軌線 x(t). Hamilton函數(shù) 2 生產(chǎn)計劃的制訂 問題 ? 生產(chǎn)任務(wù)是在一定時間內(nèi)提供一定數(shù)量的產(chǎn)品 . ? 生產(chǎn)費(fèi)用隨著生產(chǎn)率 (單位時間的產(chǎn)量 )的增加而變大 . ? 貯存費(fèi)用隨著已經(jīng)生產(chǎn)出來的產(chǎn)量的增加而變大 . ? 生產(chǎn)計劃用每一時刻的累積產(chǎn)量表示 . 建模目的 尋求 最優(yōu)生產(chǎn)計劃 , 使完成生產(chǎn)任務(wù)所需的總費(fèi)用(生產(chǎn)費(fèi)用與貯存費(fèi)用之和 )最小 . 分析與假設(shè) 生產(chǎn)任務(wù) : t=0開始生產(chǎn) , t=T提供數(shù)量為 Q的產(chǎn)品 . 生產(chǎn)計劃 (累積產(chǎn)量 ): x(t) 生產(chǎn)率 (單位時間產(chǎn)量 ): ))(( txf ?ddf xx ??amp。能直接或間