【正文】 用最大沖力 F跑全程 , 可取得最好成績 最長的短跑賽程以體內(nèi)能量 E(t)不小于零為標(biāo)準(zhǔn) / ( )v v f t???? F?()E t fv?? ?? 2/( 1 e )tF ??? ?? ? ? 0)0( EE ?2 2 2 /0( ) ( ) ( 1 e )tE t E F t F ?? ? ? ?? ? ? ? ?t E E0 O tc te /( ) ( 1 e )tv t F ?? ???(單調(diào)增 ) ,),( Fvtt e ?? ?v小 E增加 ,),( Fvtt e ?? ?v大 E減少 0)( ?? tEc tt/20 ( ) d ( e / 1 )c ct tccD v t t F t????? ? ? ?? 最遠距離 (最長的短跑賽程 )為 短跑模型 )1/( /2 ??? ? ?? ? ctc teFD cKeller根據(jù)當(dāng)時的世界記錄得到 F, τ的估計值 : s8 9 ,N / k ?? ?F m291, ?? cc Dt后來根據(jù) 1987年約翰遜的百米成績 ()修正參數(shù) : 估計用最大沖力跑全程時最長的短跑賽程 ,N / k ?? ?F m369, ?? cc Dt中長跑模型 當(dāng)賽程超過 Dc時不能用最大沖力跑全程 將賽程分為 3個階段 : 初始階段 (0?t ?t1) 用最大沖力跑 , 在短時間獲得高速度 . 中間階段 (t1 ?t ? t2) 保持勻速 . 最后階段 (t2 ?t ? T) 把體內(nèi)能量用完 , 靠慣性沖刺 . 問題 : 確定 t1 ,t2 及 3個階段的速度 v1(t), v2(t), v3(t) 中長跑模型 初始階段 用最大沖力跑 , 與短跑模型相同 /11( ) ( 1 e ) , 0tv t F t t?? ?? ? ? ?t1待定 最后階段 把體內(nèi)能量用完 , E(t)=0 / ( )v v f t????()E t fv?? ??中間階段 保持勻速 2122 ,)( tttvtv ???t2, v2待定 223 )( vtv ?22 331d2dvvt ????22 ( ) /2 1 / 23 2 2( ) [ ( ) e ] ,ttv t v t t T?? ? ? ???? ? ? ? ?中長跑模型 中間階段 2122 ,)( tttvtv ???121 2 2 1 30( ( ) ) ( )d ( ) ( )dtTtD v t v t t v t t v t t? ? ? ???()E t fv?? ?? 2 /v v v???? ? ? 0)0( EE ?/ 1( ) ( 1 e ) , 0tv t F t t?? ?? ? ? ?max?220 0( ) / 2 ( ) d /tE t E t v v t t??? ? ? ? ?12 2 / 2 22 0 2 2 2 2 10( ) / 2 ( 1 e ) d ( ) /t tE t E t v F t v t t?? ? ??? ? ? ? ? ? ??在條件 E(t2)=0下求 v(t)使 D(v(t))最大 t1, t2, v2待定 222 /)())(()),(( tEtvDttvI ???中長跑模型 引入乘子 ?化為無 條件極值 泛函極值必要條件 確定 t1, t2, v2 1 /1( ) ( 1 e )tv t F ?? ??? ?? /2 ?? v2222 ( ) /2 ( ) /22ed2( ) ettTttttv???? ? ? ?????????,/2 ???v1 /( 1 e ) 1tF ?? ???12 2 2 / 2 22 0 2 2 10( ) / 2 ( 1 e ) d ( ) / 0t tE t E t F t t t?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ??22 ( ) /2 2 2 22 ( ( ) e )Tt ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ?模型解釋 t v t1 t2 O T v2 中長跑模型 3段速度示意圖 ? 賽跑的最佳策略是最后把體內(nèi)能量全部用完 , 靠慣性 沖刺 ,這必然導(dǎo)致速度的短暫下降 , 單從賽跑的時間看 (不考慮比賽的策略 ), 這樣做是最優(yōu)的 . ? Keller對一般模型提出分段解法 , 不能證明是最優(yōu)的 , 但它是合理的簡化 , 在將動力學(xué)與生理學(xué)相結(jié)合 , 用 建模方法探討體育問題上提供了范例 . 最后一段 (通常一兩秒鐘 )速度有所下降 6 多階段最優(yōu)生產(chǎn)計劃 離散動態(tài)優(yōu)化問題 動態(tài)規(guī)劃模型是有效方法 問題 考察 T個 時段某產(chǎn)品的 生產(chǎn)計劃 生產(chǎn)準(zhǔn)備費 c0 單件生產(chǎn)成本 k 單件每時段 存貯費 h0 每時段最大生產(chǎn)能力 Xm 每時段最大存貯量 Im 第 1時段初有庫存量 i1 制訂產(chǎn)品生產(chǎn)計劃 (每時段產(chǎn)量 )使 T個時段的總費用最小 已知需求量 dt (t=1,2,?,T) 例 T =3, d1=2, d2=1, d3=2, Xm =4, c0=3, k=2, h0=1, Im =3, i1=1 確定需求問題 優(yōu)化模型 (最短路 ) 隨機需求問題 分析與 求解 生產(chǎn)費用 時段 t初的 存貯量 it, 時段 t+1初的存貯量 it+1= it+ xtdt 時段 t的 存貯費 h(it)= h0(it+ xtdt) = it+xtdt 時段 t的 產(chǎn)量 xt (t=1,2,3) ?????????0,00,23)( 0ttttt xxxkxcxcxt≤ Xm=4， it≤ Im=3 需求量 dt 準(zhǔn)備費 c0=3 成本 k=2 存貯費 h0=1 最大生產(chǎn)能力 Xm=4 最大存貯量 Im=3 將多時段生產(chǎn)計劃問題簡化為多個單時段問題 由后向前分解 時段 3初的存貯量 i3, 產(chǎn)量 x3(i3), 最小費用 f3(i3) 1. 最后時段 (時段 3) 需求量 d3=2 f3(0)=c(2)= 3+2?2=7 為使 3個時段的總費用最小，時段 3末的存貯量應(yīng)為 0 i3= 0 f3(1)=c(1)= 3+2?1=5 f3(2)=c(0)=0 x3(0)=2 i3= 1 x3(1)=1 i3= 2 x3(2)=0 分析與 求解 2. 時段 2 需求量 d2=1 時段 2初存貯量 i2, 產(chǎn)量 x2(i2), 時段 2,3最小費用之和 時段 2的費用 : c(x2)+h(i2) i3=i2+x21 )}1()()({m i n)( 22322222????? xifihxcif x1≤i2+x2≤3 i2 x2 c(x2) h(i2) f3(i2+x21) c+ h+ f3 f2(i2)， x2(i2) 0 1 5 0 7 12 f2(0)=11 x2(0)=3 0 2 7 1 5 13 0 3 9 2 0 11* 1 0 0 0 7 7* f2(1)=7 x2(1)=0 1 1 5 1 5 11 1 2 7 2 0 9 2 0 0 1 5 6 f2(2