動(dòng)態(tài)優(yōu)化模型完整版(已修改)
2025-05-11 05:05 本頁(yè)面
【正文】 動(dòng)態(tài)優(yōu)化模型（完整版） ? 連續(xù)動(dòng)態(tài)過(guò)程的優(yōu)化歸結(jié)為求泛函的極值 . ? 求泛函極值的常用方法 : 變分法、 最優(yōu)控制論 . ? 離散動(dòng)態(tài)過(guò)程的優(yōu)化 ~ 動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型 . 靜態(tài)優(yōu)化問(wèn)題 優(yōu)化目標(biāo)是數(shù)值 最優(yōu)策略是數(shù)值 ? 函數(shù)對(duì)應(yīng)的數(shù)值稱為泛函 (函數(shù)的函數(shù) ). 動(dòng)態(tài)優(yōu)化問(wèn)題 優(yōu)化目標(biāo)是數(shù)值 最優(yōu)策略是 函數(shù) 1 速降線與短程線 通過(guò)兩個(gè)古典問(wèn)題介紹變分法的基本概念 , 給出主要結(jié)果 . 速降線問(wèn)題 給定豎 直 平面內(nèi)不在一條垂直線上的兩個(gè)點(diǎn) A, B, 求連接 A, B的光滑曲線，使質(zhì)點(diǎn)在重力作用下沿該曲線以 最短時(shí)間 從 A滑到 B (摩擦力不計(jì) ). . A . B 若沿陡峭曲線下滑 , 雖路徑加長(zhǎng)，但速度增長(zhǎng)很快 . 若沿直線段 AB下滑 , 路徑雖短 , 但速度增長(zhǎng)慢 。 速降線問(wèn)題 . A . B 建立坐標(biāo)系 xOy, x y y=y(x) O 曲線弧長(zhǎng) 2d 1 ds y x???能量守恒 21d()2dsm m g yt ?質(zhì)點(diǎn)在曲線 y(x)上的速度 ds/dt 21dd2 ytxgy ???質(zhì)點(diǎn)沿曲線 y(x)從 A到 B的時(shí)間 1 201( ( ) ) d2x yJ y x xgy??? ?11 )(,0)0(yxyy??求 y(x) 使 J(y(x)) 達(dá)到最小 . m~質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量，g~重力加速度 A(0,0), B(x1,y1), 曲線 AB ~y=y(x) 滿足條件 短程線問(wèn)題 . A . B x y z o 給定曲面上的兩個(gè)點(diǎn) A, B, 求曲面上連接 A, B的最短曲線 . 建立坐標(biāo)系 A(x0, y0, z0 ), B(x1, y1 , z1 ) 曲線的弧長(zhǎng) 22d 1 ds y z x??? ? ?曲線的長(zhǎng)度 1022( ( ) , ( ) ) 1 dxxJ y x z x y z x??? ? ??求 y =y(x), z =z(x) 使 J(y(x) , z(x))達(dá)到最小 . 0))(),(,( ?xzxyxf滿足條件 曲面方程 f(x,y,z)=0 f(x,y,z)=0 曲面上連接 A, B的曲線 y =y(x), z =z(x) y =y(x) z =z(x) 泛函、泛函的變分和極值 自變量 t，函數(shù) x(t), y(t) 函數(shù)、函數(shù)的微分和極值 泛函、泛函的變分和極值 1. 對(duì)于 t在某域的任一個(gè)值 , 有 y的一個(gè)值與之對(duì)應(yīng) , 稱 y是t的函數(shù)，記作 y=f(t) 數(shù) x(t), 有 J的一個(gè)值與之對(duì)應(yīng) , 稱 J是 x(t)的泛函 , 記作 J(x(t)) 2. t在 t0的增量記作 ?t= t t0, 微分 dt= ?t 2. x(t)在 x0(t)的增量記作 ?x(t)= x(t)x0(t)， ?x(t)稱 x(t)的變分 3. y在 t0的增量記作 ?f= f(t0+?t) f(t0)， ? f的線性主部是函數(shù)的微分 , 記作 dy， dy = f? (t0)dt 3. 泛函 J(x(t))在 x0(t)的增量記作 ?J = J(x0(t)+ ?x(t)) J(x0(t)), ?J的線性主部稱 泛函的變分 ,記作 ?J(x0(t)) 泛函、泛函的變分和極值 函數(shù)、函數(shù)的微分和極值 泛函、泛函的變分和極值 4. 若函數(shù) y在域內(nèi) t點(diǎn)達(dá)到極值，則在 t點(diǎn)的微分 dy(t)=0 4. 若泛函 J(x(t))在函數(shù)集合內(nèi)的 x(t)達(dá)到極值 , 則在 x(t)的 變分 ?J(x(t))=0 0d ( ) ( )y t f t t ??? ??? ? ??5. y在 t的微分的另一表達(dá)式 5. 泛函 J(x(t))在 x(t)的變分可以表為 0))()(())(( ?????????? txtxJtxJ泛函 J(x(t))在 x(t)達(dá)到極值的必要條件 0))()(( 0 ???? ????? txtxJ歐拉方程 (最簡(jiǎn)泛函極值的必要條件 ) 21( ( ) ) ( , ( ) , ( ) )dttJ x t F t x t x t t?? ?最簡(jiǎn)泛函 F具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)， x(t)為二階可微函數(shù) 固定端點(diǎn)條件下的泛函 J(x(t))在 x(t)達(dá)到極值的必要條件 : x(t)滿足二階微分方程 d 0dxxFFt?? 0x t x x x x xF F F x F x? ? ? ?? ??? ? ? ?2211 )(,)( xtxxtx ??兩個(gè)任意常數(shù)由 確定 歐拉方程 用歐拉方程解速降線問(wèn)題 0x tx x x x xF F F x F x? ? ? ?? ??? ? ? ?11 )(,0)0( yxyy ??1201( ( ) ) d2x yJ y x xgy??? ?求 y(x) 使 達(dá)到最小 , 且 歐拉方程 yyyyF 21),( ????0??????? ???? yFyFFF yyyyyxyd ( ) 0d yF y Fx ????cFyF y ??? ?cyyyyy ???????)1(122222 /1)1( cyy ???????????)co s1()s in(121tcycttcx 圓滾線方程 c2=0, c1由 y(x1)=y1確定 . 橫截條件 (變動(dòng)端點(diǎn)問(wèn)題 ) 容許函數(shù) x(t)的一個(gè)端點(diǎn)固定 : x(t1)=x1，另一個(gè)端點(diǎn)在給定曲線 x=?(t) 上變動(dòng) : x(t2)= ?(t2) (t2可變 ). x(t) . A . B x=?(t) t x o t2 歐拉方程在 變動(dòng)端點(diǎn)的定解條件 2[ ( ) ] 0x t tF x F? ? ???? ? ?? x=?(t)垂直于橫軸 (t2固定 ) 2 0x t tF ? ? ?? x=?(t)平行于橫軸 2[ ] 0x t tF x F ? ????包含多個(gè)未知函數(shù)泛函的歐拉方程 21( ( ) , ( ) ) ( , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) ) dttJ x t u t F t x t x t u t u t t??? ?dd 0 , 0x x u uF F F Ftt??? ? ? ?歐拉方程 泛函的條件極值 21( ( ) ) ( , ( ) , ( ) ) dttJ u t F t x t u t t? ?))(),(,()( tutxtftx ??求 u(t)?U (容許集合 ) 使 J(u(t))在條件 下達(dá)到極值 , 且 x(t)?X (容許集合 ) 最優(yōu)控制問(wèn)題 : u(t)~控制函數(shù) , x(t)~狀態(tài)函數(shù) (軌線 ). 泛函的條件極值 21( ( ) ) ( , ( ) , ( ) ) dttJ u t F t x
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