全國(guó)通用19屆高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第九章平面解析幾何97拋物線學(xué)案180402433-閱讀頁(yè)
2025-05-01 23:08本頁(yè)面
【正文】 py(p0)，若直線y＝2x被拋物線所截弦長(zhǎng)為4，則拋物線C的方程為( )A．x2＝8y B．x2＝4yC．x2＝2y D．x2＝y(tǒng)答案 C解析 由得或即兩交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)和(4p,8p)，則＝4，得p＝1(舍去負(fù)值)，故拋物線C的方程為x2＝2y.4．(2017汕頭一模)過拋物線C：x2＝2y的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，若拋物線C在點(diǎn)B處的切線的斜率為1，則|AF|等于( )A．1 B．2 C．3 D．4答案 A解析 設(shè)B(x1，y1)，因?yàn)閥＝x2，所以y′＝x，所以＝x1＝1，則B，因?yàn)镕，所以直線l的方程為y＝，故|AF|＝|BF|＝1.6．(2017＝－12，則拋物線C的方程為( )A．x2＝8y B．x2＝4yC．y2＝8x D．y2＝4x答案 C解析 由題意，設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p0)，直線方程為x＝my＋，聯(lián)立消去x得y2－2pmy－p2＝0，顯然方程有兩個(gè)不等實(shí)根．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝2pm，y1y2＝－p2，得河北六校模擬)拋物線C：y2＝2px(p0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)O，F(xiàn)的圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切，且該圓的面積為36π，則拋物線的方程為________．答案 y2＝16x解析 設(shè)滿足題意的圓的圓心為M(xM，yM)．根據(jù)題意可知圓心M在拋物線上．又∵圓的面積為36π，∴圓的半徑為6，則|MF|＝xM＋＝6，即xM＝6－，又由題意可知xM＝，∴＝6－，解得p＝8.∴拋物線方程為y2＝16x.8．(2017江西九校聯(lián)考)拋物線y2＝2px(p0)的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線與雙曲線y2－x2＝1相交于A，B兩點(diǎn)，若△ABF為等邊三角形，則p＝________.答案 2解析 y2＝2px的準(zhǔn)線方程為x＝－.由于△ABF為等邊三角形，因此不妨設(shè)A，B，又點(diǎn)A，B在雙曲線y2－x2＝1上，從而－＝1，又p0，所以p＝2.10．(2017鄭州模擬)已知過拋物線y2＝2px(p0)的焦點(diǎn)，斜率為2的直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)兩點(diǎn)，且|AB|＝9.(1)求該拋物線的方程；(2)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C為拋物線上一點(diǎn)，若＝＋λ，求λ的值．解 (1)直線AB的方程是y＝2，與y2＝2px聯(lián)立，從而有4x2－5px＋p2＝0.由題易知，方程必有兩個(gè)不等實(shí)根．所以x1＋x2＝，由拋物線定義得|AB|＝x1＋x2＋p＝＋p＝9，所以p＝4，從而拋物線方程為y2＝8x.(2)由于p＝4，則4x2－5px＋p2＝0，即x2－5x＋4＝0，從而x1＝1，x2＝4，于是y1＝－2，y2＝4，從而A(1，－2)，B(4,4)．設(shè)C(x3，y3)，則＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4,4)＝(4λ＋1,4λ－2)．又y＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.12．(2017山西五校聯(lián)考)已知拋物線C：y2＝2px(p0)上一點(diǎn)(5，m)到焦點(diǎn)的距離為6，P，Q分別為拋物線C與圓M：(x－6)2＋y2＝1上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)|PQ|取得最小值時(shí)，向量在x軸正方向上的投影為( )A．2－ B．2－1C．1－ D.－1答案 A解析 因?yàn)?＝＋5，所以p＝2，所以拋物線C的方程為y2＝4x.設(shè)P(x，y)，則|PM|＝＝＝，可知當(dāng)x＝4時(shí)，|PM|取最小值，此時(shí)|PQ|取得最小值，最小值為－1＝2－1，此時(shí)不妨取P點(diǎn)的坐標(biāo)為(4，－4)，則直線PM的斜率為2，即tan∠PMO＝2，所以cos∠PMO＝，故當(dāng)|PQ|取得最小值時(shí)，向量在x軸正方向上的投影為(2－1)河南安陽二模)已知拋物線C1：y＝ax2(a0)的焦點(diǎn)F也是橢圓C2：＋＝1(b0)的一個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M，P分別為曲線C1，C2上的點(diǎn)，則|MP|＋|MF|的最小值為________．答案 2解析 將P代入到＋＝1中，可得＋＝1，∴b＝，∴c＝1，∴拋物線的焦點(diǎn)F為(0,1)，∴拋物線C1的方程為x2＝4y，準(zhǔn)線為直線y＝－1，設(shè)點(diǎn)M在準(zhǔn)線上的射影為D，根據(jù)拋物線的定義可知|MF|＝|MD|，∴要求|MP|＋|MF|的最小值，即求|MP|＋|MD|的最小值，易知當(dāng)D，M，P三點(diǎn)共線時(shí)，|MP|＋|MD|最小，最小值為1－(－1)＝2.15．(2018過AB的中點(diǎn)M作拋物線準(zhǔn)線的垂線MN，垂足為N，則的最大值為( )A. B．1 C. D．2答案 A解析 過A，B分別作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為A1，B1，由題意知|MN|＝(|AA1|＋|BB1|)＝(|AF|＋|BF|)，在△AFB中，|AB|2＝|AF|2＋|BF|2－2|AF||BF|＝|AF|2＋|BF|2＋|AF||BF|，∴2＝＝2，又y1＋y2＝2y0，所以y0k＝2.由CM⊥AB，得k18
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