數(shù)學(xué)二次函數(shù)綜合(定值)問題與解析-閱讀頁
2025-04-19 04:25本頁面
【正文】 解方程組：，解得，∴P（m，m﹣1），Q（m﹣2，m﹣3）．過點(diǎn)P作PE∥x軸，過點(diǎn)Q作QE∥y軸，則PE=m﹣（m﹣2）=2，QE=（m﹣1）﹣（m﹣3）=2．∴PQ==AP0．若△MPQ為等腰直角三角形，則可分為以下兩種情況：①當(dāng)PQ為直角邊時：點(diǎn)M到PQ的距離為（即為PQ的長）．由A（0，﹣1），B（4，﹣1），P0（2，1）可知，△ABP0為等腰直角三角形，且BP0⊥AC，BP0=．如答圖1，過點(diǎn)B作直線l1∥AC，交拋物線y=x2+2x﹣1于點(diǎn)M，則M為符合條件的點(diǎn)．∴可設(shè)直線l1的解析式為：y=x+b1，∵B（4，﹣1），∴﹣1=4+b1，解得b1=﹣5，∴直線l1的解析式為：y=x﹣5．解方程組，得：，∴M1（4，﹣1），M2（﹣2，﹣7）．②當(dāng)PQ為斜邊時：MP=MQ=2，可求得點(diǎn)M到PQ的距離為．如答圖1，取AB的中點(diǎn)F，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，﹣1）．由A（0，﹣1），F(xiàn)（2，﹣1），P0（2，1）可知：△AFP0為等腰直角三角形，且點(diǎn)F到直線AC的距離為．過點(diǎn)F作直線l2∥AC，交拋物線y=x2+2x﹣1于點(diǎn)M，則M為符合條件的點(diǎn)．∴可設(shè)直線l2的解析式為：y=x+b2，∵F（2，﹣1），∴﹣1=2+b2，解得b1=﹣3，∴直線l2的解析式為：y=x﹣3．解方程組，得：，∴M3（1+，﹣2+），M4（1﹣，﹣2﹣）．綜上所述，所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為：M1（4，﹣1），M2（﹣2，﹣7），M3（1+，﹣2+），M4（1﹣，﹣2﹣）．ii）存在最大值．理由如下：由i）知PQ=為定值，則當(dāng)NP+BQ取最小值時，有最大值．如答圖2，取點(diǎn)B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)B′，易得點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（0，3），BQ=B′Q．連接QF，F(xiàn)N，QB′，易得FN∥PQ，且FN=PQ，∴四邊形PQFN為平行四邊形．∴NP=FQ．∴NP+BQ=FQ+B′P≥FB′==．∴當(dāng)B′、Q、F三點(diǎn)共線時，NP+BQ最小，最小值為．∴的最大值為=．點(diǎn)評：本題為二次函數(shù)中考壓軸題，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、一次函數(shù)、幾何變換（平移，對稱）、等腰直角三角形、平行四邊形、軸對稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題等知識點(diǎn)，考查了存在型問題和分類討論的數(shù)學(xué)思想，試題難度較大．第 13 頁 共 13 頁
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