【正文】 )f?)(ca2?)n!(c)k?)(ca2f(238。)?)f?)(ca2(cank=f?(xa1?)(xan然有+個(gè)同點(diǎn)c,a2an238?！蔭n使得?(238。)0=f(x)kn!，所以(n)=即n!(c)(ca1?)?)=(n)所以結(jié)論成立。238。不含b(x)dx(0,1)(x)xf由積分中值定理得【例題f∈在內(nèi)可導(dǎo)，且(1)2使得f+f=21202f=(x)dx2cf?2，其中∈](1)cf于是有1022′(x)xf+(x) f)2238。f)0 ≠所以有?(c)?由羅爾定理，存在(c,1)(0,1)′(238。)0f+f=【例題f∈在內(nèi)可導(dǎo)，且(1)f=證明：存在(1,2)′(238。)f。=(x)f=12,(2)2=(2)238。∈使得?=于是有′(238。)f。3】設(shè)(x)C[0,1](0,1)f=f)1,(1)c(0,1)f=；（2）對(duì)任意的實(shí)數(shù)存在(0,1)f+f?=12。h(x)f?=h()h(1)? ，121212因?yàn)?h(1)0c(?使得=即(c)c(x)eh(x)h(0)h(c)0(0,?1′(238。)0f+f?=題型五：含兩個(gè)中值1】設(shè)(x)b](a,內(nèi)可導(dǎo)，且′(≠證明：存在(a,4ebea ?231。?′(238。)f令(x)e′(x)e0(a,使得【解答】x xeef?(a)F?(a)=f′(231。(b)fa=f，于是有f?(a)ba=ebea′(231。?e231。238?！蔮)′(238。)(b)f?【例題設(shè)(x)[a,b]在內(nèi)可導(dǎo)f=(b)1：(a,b)f?′(231。)e231。=(x)(a,使得??(a)ba=′(231。)??e?231。[′(231。?(231。)](a,使得e?be?aba=【例題f∈在內(nèi)可導(dǎo)，且(0)0,(1)1a,存在(0,1)′(238。)+bf)=+【解答】因?yàn)?0)+f所以存在∈使得(c)+由拉格朗日中值定理，存在(0,(c,1)(c)f=′(238。)cf?(c)f?整理得結(jié)論。4】設(shè)(x)C[a,在b)a0238。,238?！蔮)′(238。)(ab)f)2238。2=2abb2′(238。)23238?！窘獯稹苛?x)x=≠由柯西定理，存在238。∈b)a3238。3f?(a)3 3=f3(b)f?(a++2′(238。)23238。令(x)x=≠由柯西定理，存在238?！蔮)(b)f2a′(238。2(b)f?(ab)f)2238。2，再由拉格朗日中值定理，存在1(a,使得f?(a)ba=′(238。)【例題ab0(ab)(a,使得?=??238。)ea,及中值a,與【解答】?=??238。)eaebbeaab=?(1令(x)eF=F=02b a，整理得?=??238。)e238?！蔮)(b)f(b)F′(238。)Fa情形二：b238。不可分離【例題fg∈b](a,內(nèi)可導(dǎo)，且≠證明：存在(a,使得f?(238。)g(238。)g(b)=f【解答】f?(238。)g(238。)g(b)=f′(238。)等價(jià)于f′(238。)g(b)′(238。)f′(238。)f=令(x)f+(x)g(b)f因?yàn)?a)F=(a)g(b)238。∈b)F=整理6得f?(238。)g(238。)g(b)=f′(238。)。(x)ef因?yàn)?a)f=(b)0(a)(c)(b)0′(x)ef+′(x)]e0f)f)0f)f 2=（2）令(x)ef+′(x)]F)F 2=所以由羅爾定理，存在題型七：雜例′ ′【例題】設(shè)(x)b]f=(b)0,+f(b)0238。2(a,（1238。）使得f1+′(238。)0f2+′(238。)0(a,使得′′(238。)f【解答】′ ′ ′′（1）設(shè)+f(b)0f(a)0x1(a,使得(x1(a)0f(b)0x2(a,使得(x2(b)0f)(x2所以存在∈b)f=x由羅爾定理，存在1(a,∈b)′(238。)?)0(238。,238。2?b)F=而′(x)e?xf?(x)]e?x0′′(238。)f題型八：二階保號(hào)性問(wèn)題【注解】中值定理問(wèn)題中若出現(xiàn)條件′′(x)0fx)0f0)f單調(diào)增加（單調(diào)減少）。1】設(shè)(x)上連續(xù)，且′′(x)0,(0)0a0,(a)f(ab)ab(a)f=′(238。)a0238。f+?(b)f)ab238。+7因?yàn)椤洹?且1238。所以′(238。)f2從而(a)f(ab)f于是(a)f(ab)′′(x)【例題f=且(x2)3x2f=f=討論f是否是拐點(diǎn)？x→2?1）因?yàn)椤?0228。當(dāng)|?|時(shí)，f?0(x2)20fx)0f單調(diào)增加，又因?yàn)閒=所以當(dāng)∈?時(shí)，f；當(dāng)∈+時(shí)，f于是=f?′′(2) f0x(2時(shí)，fx)0x(2,2f=得00x2228。時(shí)，x2x2f(x)x2=根據(jù)極限的保號(hào)性，存在時(shí)，′′(故f是拐點(diǎn)。3】設(shè)(x)上滿足：(2)?3,′(2)1,′′(證明函數(shù)(x)內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)。fx)0f單調(diào)增加，又因?yàn)椤?2)1，所以′(x)1，從當(dāng)時(shí)f?(2)f?≥?中x于(≥(2)x2lim(x)+∞f=得(x)由′(x)10f單調(diào)增加，故零點(diǎn)是唯一的。設(shè)(x)b]f則(x)f)f)(xx0等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)=；（2）若′′(則(x)f)f)(xx0等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)=【例題f∈b]fx)0xib](1in)ki0(1in)8且+++=證明：f+x2kn)k1(x1+f)kn(xn【解答】令=x1k2++xnf所以(x)f)f)(xx0于是?(x1≥(x0+′(x0?)?(x2≥(x0+′(x0?)????(xn≥(x0+′(x0?)?k1(x1≥f)f)k1?)?k2(x2≥f)f)k2?)，故f)kn(x0+′(x0(xnx0k1(x1+f)kn(xn≥(x0【例題f∈′′(且(x)x=證明：(x)xlimx→0f1f=f=f所以(x)f)f)(xx0取=則有(x)x1】(x)C[a,在b)f=(b)f不是常數(shù)，證明：存在(a,使得′(238。)0f=(b)f不為常數(shù)，所以存在∈b)f≠(a)f(a)238?！蔯)(a,使得f=f?(a)ca【例題f∈b](a,內(nèi)可導(dǎo)，且曲線=(x)(a,使得f|f?(a)ba。yf+f?(a)(xa)(a)(b)0f不為直線，?(x)f?(a)?令baf?(a)ba所以存在∈b)≠不妨設(shè)?(c)0′(238。1=′(238。2=?(c)(a)? (b)(c),′(238。2而?=′(x)f)0|′(238。1||| =238。；baba得f)0由f)???238。∈c),238。2(c,使得ca bcf?(a) f?(a) f?(a)。???(b)f(b)f(b)f(b)f(b)f2取238。=′【例題f∈b](a,內(nèi)二階可導(dǎo)，且(a)f=f+證明：存在(a,使得′′(238。)0f(a)0c(a,使得(c)f由拉格朗日中值定理，存在1(a,∈b)′(238。)(c)f?0f)(b)f?0(238。)(a,使得′′(238。)′(238。2?′(238。)238。2238。04】設(shè)(在[a,b]f≤且(x)(a,b)f||′(b)2(ba)f在b)c(a,使得(c)′(c)0238?！蔯),238。2(c,使得f?′(a)f1?f?′(c)f)(bc)′(b)f)(bc)，取絕對(duì)值得f|≤?f=′′(238。)(ca)???|′(b)2(bc)，兩式相加得結(jié)論。5】設(shè)(x)C[0,1](0,1)f=(1)0f=證明：0≤x≤1存在(0,1)f≥【解答】因?yàn)閒=所以存在∈使得(c)?1且′(c)0 1(0,由泰勒公式得f=(c)′′(238。)(1)f+f)2!(1c)2238。2(c,1)′′(238。)f)?（1）當(dāng)∈]f)2≥；（2）當(dāng)∈,1)?∈)f)?86】設(shè)(x)上二階可導(dǎo)，且f|≤f|≤對(duì)任意的∈證明：f|≤+【解答】由泰勒公式得b2?！洹?238。1(0)f+′(c)(0c),238?！蔯)? 2(c,1)(1)f+′(c)(1c)′′(238。2f?(0)f+12[′′(238。2??′′(238。)c]′(c)f?(0)[′′(238。2??′′(238。12取絕對(duì)值得|′(c)f||(0)+f 2|?+f)c]2a?+2121 b2 2因?yàn)椤仕?c(0,1)cc,?≤?故f|≤+2 2b2。7】一車從開(kāi)始啟動(dòng)（速度為零）到剎車停止用單位時(shí)間走完單位路程，證明至少有一個(gè)時(shí)間點(diǎn)其加速度的絕對(duì)值不小于【解答】設(shè)物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為=(t)S=S=S=S=由泰勒公式得? 1 S)(=(0)()S+′′(238。2?,238。(,1)??22!422! 4 2?1(0,|′′(238。|≥|(b)f|?=′′(238。)S)8S1||′′(238。2|S1≥|′′(238。2||′′(238。)4S1|′′(238。2||′′(238。2|≥【例題f在[a,上二階可導(dǎo)，且′(a)f=證明：存在(a,使2【解答】由泰勒公式得),238。∈(ab2)f+f1(a+22ab2) 2(f+=(b)′′(238。)2!??ab+b)(b)f=(ba)28[′′(238。)f)]f?(a)?f1||′′(238。2|]|′′(238。)f)時(shí)，f1|≥（2）若f1||′′(238。2||′′(238。2|≥4f?(a)?|(b)f|(ba)2；。9】設(shè)(x)x0|x0a|≤(M0)?)|′′(x0?f+(b)2(x0?)2bax0【解答】由泰勒公式得f=(x0+′(x0?)′′(x0?)2′′′(x