【正文】 2)從而，f(h(2`(h由拉格朗日中值定理有：$h,2)206。=具體證明方法在上面已經(jīng)說到，如果要在開區(qū)間內(nèi)用積分中指定理，必須來構(gòu)造函數(shù)用拉格朗日中值定理證明其在開區(qū)間內(nèi)符合。0證明：先看第一小問題：如果用積分中指定理似乎一下子就出來了，但有個問題就是積分中值定理是針對閉區(qū)間的。f206。=使$h+(x)dx2設(shè)a)fb)$x=而a=baf`(x(a,由拉格朗日中值定理有：242。）。(x)f206。=xafa)242。fb)xa)Ps：該定理課本中給的結(jié)論是在閉區(qū)間上成立。fb]x)Ps：對于羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理結(jié)論都是開開區(qū)間內(nèi)取值。(b)f(x)及f`(x)=0。0.羅爾定理：如果函數(shù)f(b)異號，即零點定理：設(shè)函數(shù)mM，最小值（m,若介值定理的推論：設(shè)函數(shù)C，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一點ξ使得f(ξ)=C(aξb).Ps:cA的問題題型七：雜例題型八：二階保號性問題題型九：中值定理證明不等式問題第一部分：中值定理結(jié)論總結(jié)介值定理：設(shè)函數(shù)a,導(dǎo)數(shù)的差距為一階題型五：含兩個中值ξ=f((ξf 3第二部分：定理運用......................................................................................................................... 3第三部分：構(gòu)造函數(shù)基本方法........................................................................................................ 2羅爾定理..............................................................................................................................目 錄第一部分：中值定理結(jié)論總結(jié)........................................................................................................ 2拉格朗日中值定理.............................................................................................................. 9一、要證明的等式是一階導(dǎo)數(shù)與原函數(shù)之間的關(guān)系.......................................................... 10二、二階導(dǎo)數(shù)與原函數(shù)之間關(guān)系.......................................................................................... 11第四部分：中值定理重點題型分類匯總（包含所有題型).......................................................... 14題型一：中值定理中關(guān)于()nC0不含ξbf(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且在該區(qū)間的端點取不同的函數(shù)值與是介于m≤C≤M,則必存在ξ∈[a,b],閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必取得介于最大值之間的任何值。f(a).f(b)0,f(x)滿足：（1）、在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；（2）、在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)。拉格朗日中值定理：如果函數(shù)g(x)滿足（1）、在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；（2）、在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)。g(a)=f242。206。使得baf(x但是在開區(qū)間上也是滿足的，下面我們來證明下其在開區(qū)間內(nèi)也成立，即定理變?yōu)椋喝艉瘮?shù)206。使得baf(x證明：設(shè)(x)dx(x)在閉區(qū)間上連續(xù)且在開區(qū)間上可導(dǎo)（導(dǎo)函數(shù)即為則對$xb))F(x)dxbFf206。使得baf(x在每次使用積分中值定理的時候，如果想在開區(qū)間內(nèi)使用，我們便構(gòu)造該函數(shù)，運用拉格朗日中值定理來證明下使其在開區(qū)間內(nèi)成立即可。ff=f206。ff``(x有的人明知這樣還硬是這樣做，最后只能是242。F[0,2]則由題意可知內(nèi)可導(dǎo).則對206。))0)2242。)(0),hmM[2,3],f第一問中已經(jīng)在(0,2)內(nèi)找到一點，那么能否在(2,3)內(nèi)也找一點滿足結(jié)論一的形式呢，有了這樣想法，就得往下尋找了，2f(3)上連續(xù)，則在[2,3]m(2),fM)(f==(0,h),=2c),=(x1,x2(0,3),=f(0)=0,f(1)=1.證明:(0,1)使得f11本題第一問較簡單，用零點定理證明即可。=x206。=1=1QF==在想想高數(shù)定理中的就這么些定理，第一問用到的零點定理，從第二問的結(jié)論來看，也更本不涉及什么積分問題，證明此問題也只可能從三大中值定理出發(fā)，具體是哪個定理，得看自己的情況，做題有時候就是慢慢試，一種方法行不通，就換令一種方法，有想法才是最重要的，對于一道題，你沒想法，便無從下手。0xx1運用拉格朗日中值定理似乎有些線索。)=f(x(fx==1x,h),z,1)證明：206。206。`(h+h 2\=(0,x(0,1),z,1)05f(x)在閉區(qū)間[0,1]上連續(xù)，在開區(qū)間(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且放在兩個范圍內(nèi)，不像上一題中直接來個h、x這個分界點1是否要用到拉格朗日中值定理呢，這是我們的一個想法。)`(xfh =`(xfx 3f(1)=1/3,貌似這樣有點想法了），本題會不會也像上一題那樣，運用拉格朗日中值定理后相互消掉變?yōu)?x) x3==(0)=)F(`(h)2F`(h`(x剛好證明出來。的作用就知道了，如果只給h、x那就更難了)``(x=`(0)1!x`(0)f(x)代入看看有什么結(jié)果出來242。242。dx無aaaaf題目中說道M,mfM163。)163。3163。dx)dx3222323aa3\242。fMaaa所以由介值定理有結(jié)論成立。f242。fxdxf(x)在[0,p內(nèi)至少存在兩個不同點))0，很容易讓我們想到羅爾定理，我們?nèi)绻苷业饺齻€點處函數(shù)值相等，那么是不是就能有些思路了呢。=(t)dt,]，F(xiàn)0Qcos=F+sin(x)dx0拉格朗日中值定理來證明其在開區(qū)間內(nèi)成立。tx需一可一們證完但是積分中值定理中，是取閉區(qū)間，如果要用的話得先構(gòu)造函數(shù)用x0具體的證明步驟和上面涉及到的一樣，自己去證。(0,pc===F0,(0,p年左右的數(shù)一一道證明題，看看題目很簡潔，但具體來做，如果對定理的運用不熟練，還是不好弄出來。本題關(guān)鍵的就是尋找這個點一般都會構(gòu)造出n為任意常數(shù)對于中值定理這章，就先給出上面一些經(jīng)典的題目，大家好好體會下，多做些題，多思考?；蛘遝f(x)f`(x)==ef可構(gòu)造(x)x242。f=`(x)f=lf(x)也成了導(dǎo)函數(shù)和原函數(shù)之間關(guān)系，如是可以構(gòu)造：從而要構(gòu)造的函數(shù)就是：fX，想想構(gòu)造+0=xfff`(x)==x+0ff+cln(x)e=2x2二、二階導(dǎo)數(shù)與原函數(shù)之間關(guān)系構(gòu)造帶有=+f(x)fxg(x)`(x)(f0構(gòu)造函數(shù)如下：f(x))如果題目給了f(x)x)則可以考慮第二種構(gòu)造方法。)(h``(hf`(h)(he2xf(x))+0這個函數(shù)確實不好構(gòu)造，如果用微分方程來求會遇到復(fù)數(shù)根。2fff(x))實際做的時候還得看題目是否給了0，而構(gòu)造出來的函數(shù)在閉區(qū)間端點取值相等，便可用羅而定理來證明。206。f證明：12（2）、存在h),f1（1）、對一問直接構(gòu)造函數(shù)用零點定理：f具體詳細步驟就不寫了。=h))hfxex\f(h)+x=C(x)C把常數(shù)退換掉之后就是要構(gòu)造的函數(shù)G(x)(x)ex函數(shù)構(gòu)造出來了，具體步驟自己去做。`(x)0證明：（1）存在(a,=ff==ex（2）、第二問中函數(shù)構(gòu)造有兩種構(gòu)造方法，上面講解中說道了我們在這用第一種g(x)`(x)符合此題構(gòu)造。(x)在[1,1]x使得f1(2)(1,1),使得f`(h)(x)從而用羅爾定理就出來了。+=ef也即(1,0),=(z130.第二問關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，函數(shù)構(gòu)造出來了就一步步往下做，缺什么條件就去找什么條件或者證明出來，13f(ξf(=ξ導(dǎo)數(shù)的差距為一階題型五：含兩個中值a,的問題題型七：雜例題型八：二階保號性問題題型九：中值定理證明不等式問題【例題=C[0,(a)= 。=，由ff得232。=a中值定理題型題型一：中值定理中關(guān)于232。xa2 2lima→0+a→0+a1alima→0+a3=3題f連≠f=fh)h（證明：hxh(x)(xh)h(x)(x)h =f′(x) f) f′(x) f)=232。(xf′(x)h21h→。)f(1)H(0,1)1】設(shè)C[0,3]f(1)==f=(x)fm3m+f得≤介∈得f因為f238。?′(238。0=(x)fH再由羅爾定理，存在238。 1=H6xf+所(0)由理H=(0)=1H=∈)H=(≠(x)在238。b)(a)2+?) 1=b2)+b2))2!(a22a(f(af?a′′(238。?a+(b)(afa)24?f+2∈f,238。上有最小值顯然1′′(238。M∈2b))′′(238。ff+?ffff證明：存在(?1,1)【解答】由泰勒公式得2f(0)1(?1,0)f′′′(238。兩式相減得f(?1)) 2′′′(238。1′′′(238。6∈f,238。上取到最小值由′′′(238。f)mM∈(?1,1)【例題a2))n在[a1,n)c存在(a1,(c))(c?(238。c≤時，任取(a1結(jié)論顯然成立；（2）當(1n)=(c?an(c)(c?a