構(gòu)造函數(shù)解導數(shù)綜合題-閱讀頁
2025-04-09 04:37本頁面
【正文】 故存在唯一的s∈(1，＋∞)，使得t＝f(s)成立．(3)證明：因為s＝g(t)，由(2)知，t＝f(s)，且s＞1，從而＝＝＝＝，其中u＝ln s．要使＜＜成立，只需0＜ln u＜．當t＞e2時，若s＝g(t)≤e，則由f(s)的單調(diào)性，有t＝f(s)≤f(e)＝e2，矛盾．所以s＞e，即u＞1，從而ln u＞0成立．另一方面，令F(u)＝ln u－，u＞1，F(xiàn)′(u)＝－，令F′(u)＝0，得u＝2．當1＜u＜2時，F(xiàn)′(u)＞0；當u＞2時，F(xiàn)′(u)＜0．故對u＞1，F(xiàn)(u)≤F(2)＜0，因此ln u＜成立．綜上，當t＞e2時，有＜＜．技法四：二次(甚至多次)構(gòu)造函數(shù)[典例] (2017合肥一模)已知函數(shù)f(x)＝ex－xln x，g(x)＝ex－tx2＋x，t∈R，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)．(1)求函數(shù)f(x)的圖象在點(1，f(1))處的切線方程；(2)若g(x)≥f(x)對任意的x∈(0，＋∞)恒成立，求t的取值范圍．解：(1)由f(x)＝ex－xln x，知f′(x)＝e－ln x－1，則f′(1)＝e－1，而f(1)＝e，則所求切線方程為y－e＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x＋1．(2)∵f(x)＝ex－xln x，g(x)＝ex－tx2＋x，t∈R，∴g(x)≥f(x)對任意的x∈(0，＋∞)恒成立等價于ex－tx2＋x－ex＋xln x≥0對任意的x∈(0，＋∞)恒成立，即t≤對任意的x∈(0，＋∞)恒成立．令F(x)＝，則F′(x)＝＝，令G(x)＝ex＋e－－ln x，則G′(x)＝ex－－＝＞0對任意的x∈(0，＋∞)恒成立．∴G(x)＝ex＋e－－ln x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且G(1)＝0，∴當x∈(0,1)時，G(x)＜0，當x∈(1，＋∞)時，G(x)＞0，即當x∈(0,1)時，F(xiàn)′(x)＜0，當x∈(1，＋∞)時，F(xiàn)′(x)＞0，∴F(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，∴F(x)≥F(1)＝1，∴t≤1，即t的取值范圍是(－∞，1]．
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