抽象代數(shù)基礎(chǔ)習(xí)題解答-閱讀頁
2025-04-09 02:32本頁面
【正文】 注 :設(shè)是一個(gè)環(huán),是的理想.(1)若是的理想,則。3習(xí)題第5題的結(jié)論可以推知,是的一個(gè)理想.對于任意的,令,其中,.不難驗(yàn)證,是環(huán)到環(huán)的滿同態(tài),并且(驗(yàn)證過程從略).根據(jù)環(huán)的同態(tài)基本定理,.,證明:.證明 定義到的映射如下:,.顯而易見,是到的滿同態(tài),.,是環(huán)的一個(gè)理想,證明:是的理想且.證明 由于是環(huán)到環(huán)的滿同態(tài),因此是加群的(正規(guī))167。6習(xí)題第8題及其解答可知,對于任意的和,由于是環(huán)的理想且,我們有,從而,.因此,從而,.所以在環(huán)的同構(gòu)意義下,有.,證明:.證明 對于任意的和,我們有且且.這樣一來,我們可以定義到的映射如下:對于任意的和任意的,.考察任意的:由可知,存在和,使得,.由和可知,。5 交換環(huán),是的理想,令,證明:也是的理想.證明 ,.于是,存在正整數(shù)和,從而,.所以也是的理想.,是的真理想,證明:是的素理想對的任意兩個(gè)理想,若,則或,其中.證明 ,設(shè)是素理想,并設(shè)和是的理想且:若對于任意的都有,存在,因此,.又因是素理想且,故,或.其次,假設(shè)對的任意兩個(gè)理想,若,:考察任意的,.由于是交換環(huán),我們有 , .考察任意的:不妨設(shè),其中,.通過直接演算可知,.由此可見,.這樣一來,根據(jù)我們對的假設(shè),或,從而,.,證明:也是整環(huán),且若,則.證明 由于是有單位元的交換環(huán)且,所以也是是有單位元的交換環(huán),:不妨假設(shè),并且,其中,.由于無零因子,且,因此,從而,.由此可見,也是整環(huán).,證明:中的可逆元(即存在逆元的元素)恰是中的可逆元.證明 ,存在,.這樣一來,由可知,..證明 在中,.由此可見,的逆元是,與互為逆元,的逆元是.,是中的不可約多項(xiàng)式,證明:是的極大理想.證明 由于是有單位元的交換環(huán),因此.由于是中的不可約多項(xiàng)式,因此與互素,從而,存在,使得.注意到由上式可知,從而,.所以是的極大理想.:是的一個(gè)極大理想.證明 由于是有單位元的交換環(huán),因此,從而,即,.顯然,.所以是的極大理想.:是的極大理想是素?cái)?shù).注 這里應(yīng)假定為正整數(shù).證明 由于是有單位元的交換環(huán),因此,從而,即,.,.任取,因此與互素,從而,存在,.所以是的極大理想.,存在大于的整數(shù),是的真理想,..證明 ,使得是一個(gè)除環(huán),但不是域.對于中的任意向量,我們定義與的乘積為:.容易驗(yàn)證,我們定義的乘法適合結(jié)合律,易見,是環(huán)的單位元。由此可見,:,從而,環(huán)是除環(huán),但不是域.,是的素理想鏈,證明:是的素理想.證明 ,使得不包含于,根據(jù)第2題,是的素理想.注 也可以根據(jù)課本中的素理想的定義直接證明.,是的一個(gè)真理想,證明:存在的極大理想使.證明 :,.于是,存在,使得,.由于是的有序子集,不妨假定從而,.由于是的理想,因此,從而,.,由于的任意性,根據(jù)Zorn引理我們可以斷言,.()的整環(huán),證明:且映射是一個(gè)環(huán)同態(tài).證明 (7),.當(dāng)時(shí),從而,.由于的特征為(),當(dāng)時(shí),.所以.將本題中所說的映射記做,則,.所以是環(huán)的自同態(tài).,假設(shè)沒有零因子,證明:是除環(huán).證明 由于是有限環(huán)且沒有零因子,因此是非空有限集,因此上的乘法(即上的乘法在上的限制),根據(jù)第一章167。6 整環(huán)的因子分解:是中的既約元.證明 考察高斯整數(shù)環(huán):顯然,(其中),.從而,.由此可見,(其中),使得.于是,.由此可見,或,從而,.:,都是中的既約元.注 這里表示的一個(gè)平方根.證明 考察整環(huán):顯然,(其中),使得.于是,.由此可見, ,.假設(shè),(其中),使得.于是,.由此可見,或,從而,或者,.所以是中的既約元.假設(shè),(其中),使得.于是,.顯然,無論是什么整數(shù),.這樣一來由上式可以推知, 且,或者,。當(dāng)時(shí),.所以都是中的既約元.:是域.證明 由于是有單位元的交換環(huán),為了證明是域,只需證明是的極大理想.事實(shí)上,從而,.,存在,從而,.所以是的極大理想.:整數(shù)環(huán)是主理想整環(huán).證明 ,.,:根據(jù)帶余除法,存在整數(shù)和,使得,.由此可見,.假如,從而,.由于的任意性,.,.:不是主理想整環(huán).證明 167。,.,從而, .注意到,由上式可知,.則,并且.當(dāng)時(shí),.,且,證明:僅有有限多個(gè)主理想包含.證明 ,對與任意的,當(dāng)且僅當(dāng)是的因子。當(dāng)時(shí),.證明 ,使得.,則,從而,.,從而,.所以.,對于任意的正整數(shù),從而,.所以.,令,證明:與互素.證明 ,存在,使得,從而,.,因此,從而,存在,使得,從而,..,假設(shè)且與互素,證明:.證明 當(dāng)時(shí),由可知,。從而,不妨設(shè),使得.由于與互素,因此(與(,由上式可知,可以表示成如下形式:.所以.,證明:.證明 顯然,當(dāng)或時(shí),從而,。7 唯一分解整環(huán)上的多項(xiàng)式環(huán),證明:中首項(xiàng)系數(shù)為1的多項(xiàng)式都能分解成一些既約元的乘積.注 首項(xiàng)系數(shù)為1的零次多項(xiàng)式就是,不是既約元,:設(shè)是一個(gè)整環(huán),證明:中首項(xiàng)系數(shù)為1的次數(shù)大于零的多項(xiàng)式都能分解成一些既約元的的乘積.證明 我們已經(jīng)知道,.當(dāng)是首項(xiàng)系數(shù)為1的次多項(xiàng)式時(shí),顯然)是既約元.假設(shè)當(dāng)是首項(xiàng)系數(shù)為1的次數(shù)小于或等于的多項(xiàng)式時(shí), :若是既約元,則存在首項(xiàng)系數(shù)為1的多項(xiàng)式,使得,.所以中首項(xiàng)系數(shù)為1的次數(shù)大于零的多項(xiàng)式都能分解成一些既約元的乘積.,是的分式域,和的首項(xiàng)系數(shù)都為,假設(shè)在中,證明:.注 題中不必假定的首項(xiàng)系數(shù)為.證明 由于在中,因此存在非零多項(xiàng)式,存在和上的本原多項(xiàng)式,使得,.于是, .由于是上的首項(xiàng)系數(shù)為的多項(xiàng)式,因此是本原多項(xiàng)式
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