【正文】 2，4），（4，0）代入，求出a和b的值即可求出該拋物線的解析式；（2）四邊形PEFM的周長有最大值，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（a，﹣a2+4a）則由拋物線的對稱性知OE=AF，所以EF=PM=4﹣2a，PE=MF=﹣a2+4a，則矩形PEFM的周長L=2[4﹣2a+（﹣a2+4a）]=﹣2（a﹣1）2+10，利用函數(shù)的性質(zhì)即可求出四邊形PEFM的周長的最大值；（3）在拋物線上存在點(diǎn)N，使O（原點(diǎn)）、C、H、N四點(diǎn)構(gòu)成以O(shè)C為一邊的平行四邊形，由（1）可求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，過點(diǎn)C作x軸的平行線，與x軸沒有其它交點(diǎn)，過y=﹣4作x軸的平行線，與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，這兩個(gè)交點(diǎn)為所求的N點(diǎn)坐標(biāo)所以有﹣x2+4x=﹣4，解方程即可求出交點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：（1）因?yàn)镺A=4，AB=2，把△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90176。且OC：OB=1：3，①若△PMA∽△COB，則=，即x+2=3（x2+2x），得x1=，x2=﹣2（舍去）②若△PMA∽△BOC，=，即：x2+2x=3（x+2），得：x1=3，x2=﹣2（舍去）當(dāng)x=3時(shí)，y=15，即P（3，15）．故符合條件的點(diǎn)P有兩個(gè)，分別（，）或（3，15）．【點(diǎn)評】本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，同時(shí)也考查了學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．　5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2﹣3ax﹣4a的圖象經(jīng)過點(diǎn)C（0，2），交x軸于點(diǎn)A、B（A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)），頂點(diǎn)為D．（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；（2）將△ABC沿直線BC對折，點(diǎn)A的對稱點(diǎn)為A′，試求A′的坐標(biāo)；（3）拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使∠BPC=∠BAC？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）將（0，2）代入拋物線解析式求得a的值，從而得出拋物線的解析式，再令y=0，得出x的值，即可求得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；（2）如圖2，作A39。H∥OC，即可得出A′H的長，即可求得A′的坐標(biāo)；（3）分兩種情況：①如圖3，以AB為直徑作⊙M，⊙M交拋物線的對稱軸于P（BC的下方），由圓周角定理得出點(diǎn)P坐標(biāo)；②如圖4，類比第（2）小題的背景將△ABC沿直線BC對折，點(diǎn)A的對稱點(diǎn)為A39。B為直徑作⊙M39。交拋物線的對稱軸于P39。E⊥A39。F，在Rt△M39。F中，由勾股定理得出P39。H⊥x軸于H，因?yàn)?，且∠AOC=∠COB=90176。由A39。C得OH=OA=1，A39。（1，4）；（3）分兩種情況：①如圖3，以AB為直徑作⊙M，⊙M交拋物線的對稱軸于P（BC的下方），由圓周角定理得∠CPB=∠CAB，易得：MP=AB．所以P（，）．②如圖4，類比第（2）小題的背景將△ABC沿直線BC對折，點(diǎn)A的對稱點(diǎn)為A39。B為直徑作⊙M39。交拋物線的對稱軸于P39。B=∠CAB．作M39。H于E，交對稱軸于F．則M39。F==1．在Rt△M39。F中，P39。M=2+．所以P39。所以∠BMN=∠MBN，得到MN=BN，設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為（n，n），代入拋物線y=x2，得n=n2，解得n=1，n=0（舍去），所以B（1，1），求出BM的長度，利用勾股定理，即可解答；②因?yàn)閽佄锞€y=x2+1與y=x2的形狀相同，所以拋物線y=x2+1與y=x2的“完美三角形”的斜邊長的數(shù)量關(guān)系是相等；（2）根據(jù)拋物線y=ax2與拋物線y=ax2+4的形狀相同，所以拋物線y=ax2與拋物線y=ax2+4的“完美三角形”全等，所以拋物線y=ax2+4的“完美三角形”斜邊的長為4，所以拋物線y=ax2的“完美三角形”斜邊的長為4，從而確定B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2）或（2，﹣2），把點(diǎn)B代入y=ax2中，得到．（3））根據(jù)y=mx2+2x+n﹣5的最大值為﹣1，得到，化簡得mn﹣4m﹣1=0，拋物線y=mx2+2x+n﹣5的“完美三角形”斜邊長為n，所以拋物線y=mx2的“完美三角形”斜邊長為n，所以B點(diǎn)坐標(biāo)為，代入拋物線y=mx2，得，mn=﹣2或n=0（不合題意舍去），所以，所以．【解答】解：（1）①過點(diǎn)B作BN⊥x軸于N，如圖2，∵△AMB為等腰直角三角形，∴∠ABM=45176?！唷螹BN=90176。=45176。的坐標(biāo)．（3）在（2）的條件下，連接BD，問在x軸上是否存在點(diǎn)P，使∠PCB=∠CBD？若存在，請求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）將A（﹣1，0）、C（0，﹣3）兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線y=ax2+bx﹣3a中，列方程組求a、b的值即可；（2）將點(diǎn)D（m，﹣m﹣1）代入（1）中的拋物線解析式，求m的值，再根據(jù)對稱性求點(diǎn)D關(guān)于直線BC對稱的點(diǎn)D39。CD′=CD=2，OD′=3﹣2=1，∴點(diǎn)D關(guān)于直線BC對稱的點(diǎn)D39。求E點(diǎn)的坐標(biāo)．【分析】（1）直接利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式得出即可；（2）首先求出△AQD∽△ACB，則，得出DQ=DP的長，進(jìn)而得出答案；（3）首先得出G點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出△BGM∽△BEN，進(jìn)而假設(shè)出E點(diǎn)坐標(biāo)，利用相似三角形的性質(zhì)得出E點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：（1）將A（﹣3，0）、B（4，0）代入y=ax2+bx+4得：，解得：，故拋物線的解析式為：；（2）如圖，連接QD，由B（4，0）和D（，0），可得BD=，∵，∴CO=4，∴BC=4，則BC=BD，∴∠BDC=∠BCD=∠QDC，∴DQ∥BC，∴△AQD∽△ACB，∴，∴，∴DQ==DP，=；（3）如圖，過點(diǎn)G作GM⊥BC于點(diǎn)M，過點(diǎn)E作EN⊥AB于點(diǎn)N，∵S△GCB=S△GCA，∴只有CG∥AB時(shí)，G點(diǎn)才符合題意，∵C（0，4），∴4=﹣x2+x+4，解得：x1=1，x2=0，∴G（1，4），∵∠GBE=∠OBC=45176。再證明△PDE是等腰直角三角形，則PE越大，△PDE的周長越大，再運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式為y=x+3，則可設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，﹣x2﹣2x+3），E點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，x+3），那么PE=（﹣x2﹣2x+3）﹣（x+3）=﹣（x+）2+，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)x=﹣時(shí)，PE最大，△PDE的周長也最大．將x=﹣代入﹣x2﹣2x+3，進(jìn)而得到P點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0），∴，解得，∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3；（2）∵A（﹣3，0），B（0，3），∴OA=OB=3，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAO=45176。﹣45176。又∵PD⊥AB，∴△PDE是等腰直角三角形，∴PE越大，△PDE的周長越大．設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，則，解得，即直線AB的解析式為y=x+3．設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，﹣x2﹣2x+3），E點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，x+3），則PE=（﹣x2﹣2x+3）﹣（x+3）=﹣x2﹣3x=﹣（x+）2+，所以當(dāng)x=﹣時(shí)，PE最大，△PDE的周長也最大．當(dāng)x=﹣時(shí)，﹣x2﹣2x+3=﹣（﹣）2﹣2（﹣）+3=，即點(diǎn)P坐標(biāo)為（﹣，）時(shí)，△PDE的周長最大．【點(diǎn)評】本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點(diǎn)有運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形的周長，綜合性較強(qiáng)，難度適中．　15．如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90176。．∵∠OBA+∠OAB=90176。∴∠OAB=∠ACD，∠OBA=∠CAD．∵在△AOB與△CDA中，∴△AOB≌△CDA（ASA）．∴CD=OA=1，AD=OB=2，∴OD=OA+AD=3，∴C（3，1）．∵點(diǎn)C（3，1）在拋物線y=x2+bx﹣2上，∴1=9+3b﹣2，解得：b=﹣．∴拋物線的解析式為：y=x2﹣x﹣2，；（2）在Rt△AOB中，OA=1，OB=2，由勾股定理得：AB=．∴S△ABC=AB2=．設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，∵B（0，2），C（3，1），∴，解得k=﹣，b=2，∴y=﹣x+2．同理求得直線AC的解析式為：y=x﹣．如答圖1所示，設(shè)直線l與BC、AC分別交于點(diǎn)E、F，則EF=（﹣x+2）﹣（x﹣）=﹣x．△CEF中，EF邊上的高h(yuǎn)=OD﹣x=3﹣x．由題意得：S△CEF=S△ABC，即：EF?h=S△ABC，∴（﹣x）?（3﹣x）=，整理得：（3﹣x）2=3，解得x=3﹣或x=3+（不合題意，舍去），∴當(dāng)直線l解析式為x=3﹣時(shí)，恰好將△ABC的面積分為相等的兩部分．（3）存在．如答圖2所示，過點(diǎn)C作CG⊥y軸于點(diǎn)G，則CG=OD=3，OG=1，BG=OB﹣OG=1．過點(diǎn)A作AP∥BC交y軸于點(diǎn)W，∵四邊形ACBP是平行四邊形，∴AP=BC，連接BP，則四邊形PACB為平行四邊形．過點(diǎn)P作PH⊥x軸于點(diǎn)H，∵BC∥AP，∴∠CBO=∠AWO，∵PH∥WO，∴∠APH=∠AWO，∴∠CBG=∠APH，在△PAH和△BCG中，∴△PAH≌△BCG（AAS），∴PH=BG=1，AH=CG=3，∴OH=AH﹣OA=2，∴P（﹣2，1）．拋物線解析式為：y=x2﹣x﹣2，當(dāng)x=﹣2時(shí)，y=1，即點(diǎn)P在拋物線上．∴存在符合條件的點(diǎn)P，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，1）．【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)綜合題型以及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、全等三角形、平行四邊形、等腰直角三角形等知識點(diǎn)．試題難度不大，但需要仔細(xì)分析，認(rèn)真計(jì)算．　16．如圖所示，二次函數(shù)y=﹣2x2+4x+m的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（3，0），另一個(gè)交點(diǎn)為B，且與y軸交于點(diǎn)C．（1）求m的值及點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求△ABC的面積；（3）該二次函數(shù)圖象上有一點(diǎn)D（x，y），使S△ABD=S△ABC，請求出D點(diǎn)的坐標(biāo)．【分析】（1）先把點(diǎn)A坐標(biāo)代入解析式，求出m的值，進(jìn)而求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）根據(jù)二次函數(shù)的解析式求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，進(jìn)而求出△ABC的面積；（3）根據(jù)S△ABD=S△ABC求出點(diǎn)D縱坐標(biāo)的絕對值，然后分類討論，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．【解答】解：（1）∵函數(shù)過A（3，0），∴﹣18+12+m=0，∴m=6，∴該函數(shù)解析式為：y=﹣2x2+4x+6，∴當(dāng)﹣2x2+4x+6=0時(shí)，x1=﹣1，x2=3，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣1，0）；（2）C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，6），；（3）∵S△ABD=S△ABC=12，∴S△ABD==12，∴|h|=6，①當(dāng)h=6時(shí)：﹣2x2+4x+6=6，解得：x1=0，x2=2∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，6）或（2，6），②當(dāng)h=﹣6時(shí)：﹣2x2+4x+6=﹣6，解得：x1=1+，x2=1﹣∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（1+，﹣6）、（1﹣，﹣6）∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，6）、（2，6）、（1+，﹣6）、（1﹣，﹣6）．【點(diǎn)評】本題主要考查了拋物線與x軸交點(diǎn)的知識，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，解答（3）問需要分類討論，此題難度一般．　17．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=mx2﹣（m+n）x+n（m＜0）的圖象與y軸正半軸交于A點(diǎn)．（1）求證：該二次函數(shù)的圖象與x軸必有兩個(gè)交點(diǎn)；（2）設(shè)該二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)中右側(cè)的交點(diǎn)為點(diǎn)B，若∠ABO=45176。所以A（0，1），即n=1，則可求得直線AB的解析式為：y=﹣x+1．再向下平移2個(gè)單位可得到直線l：y=﹣x﹣1；（3）由（2）得二次函數(shù)的解析式為：y=mx2﹣（m+1）x+1．∵M(jìn)（p，q） 為二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動點(diǎn)，∴q=mp2﹣（m+1）p+1．∴點(diǎn)M關(guān)于軸的對稱點(diǎn)M′的坐標(biāo)為（p，﹣q）．∴M′點(diǎn)在二次函數(shù)y=﹣m2+（m+1）x﹣1上．∵當(dāng)﹣3＜p＜0時(shí)，點(diǎn)M關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)都在直線l的下方，當(dāng)p=0時(shí)，q=1；當(dāng)p=﹣3時(shí)，q=12m+4； 結(jié)合圖象可知：﹣（12m+4）≤2，解得：m≥﹣．∴m的取值范圍為：﹣≤m＜0．【點(diǎn)評】此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及根的判別式和一次函數(shù)圖象的平移等知識，利用數(shù)形結(jié)合得出是解題關(guān)鍵．　18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于點(diǎn)A（﹣3，0）、C（1，0），與y軸交于點(diǎn)B．（1）求此拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P是直線AB上方的拋物線上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)F，交直線AB于點(diǎn)E，作PD⊥AB于點(diǎn)D．①過點(diǎn)P在什么位置時(shí)，△PDE的周長最大，求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；②連接PA，以PA為邊作正方形APMN，當(dāng)頂點(diǎn)M或N恰好落在拋物線對稱軸上時(shí)，求出對應(yīng)的P點(diǎn)的坐標(biāo)．【分析】（1）把點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入拋物線解析式，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答即可；（2）①根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)求出OA=OB，從而得到△AOB是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠BAO=45176?！逷F⊥x軸，∴∠AEF=90176。=45176?！唷螦PF+∠FPM=90176?！唷螦PF=∠QPM，∵在△APF和△MPQ中，∴△APF≌△MPQ（AAS），∴PF=PQ，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為n（n＜0），則PQ=﹣1﹣n，即PF=﹣1﹣n，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（n，﹣1﹣n），∵點(diǎn)P在拋物線y=﹣x2﹣2x+3上，∴﹣n2﹣2n+3=﹣1﹣n，整理得，n2+n﹣4=0，解得n1=（舍去），n2=，﹣1﹣n=﹣1﹣=，所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）；（ii）如圖2，點(diǎn)N在對稱軸上時(shí)，設(shè)拋物線對稱軸與x軸交于點(diǎn)Q，∵∠PAF+∠FPA=90176。∴∠FPA=∠QAN，又∵∠PFA=∠AQN=90176