【正文】 （一）全同粒子和全同性原理 （二）波函數(shù)的對(duì)稱性質(zhì) （三）波函數(shù)對(duì)稱性的不隨時(shí)間變化 （四） Fermi 子和 Bose 子 167。 （ 2）經(jīng)典粒子的可區(qū)分性 經(jīng)典力學(xué)中，固有性質(zhì)完全相同的兩個(gè)粒子，是可以區(qū)分的。 軌道速度位置 ????可判斷哪個(gè)是第一個(gè)粒子哪個(gè)是第二個(gè)粒子 1 2 1 2 （一）全同粒子和全同性原理 （ 3）微觀粒子的不可區(qū)分性 微觀粒子運(yùn)動(dòng) 服從 量子力學(xué) 用 波函數(shù)描寫 在波函數(shù)重疊區(qū) 粒子是不可區(qū)分的 （ 4）全同性原理 全同粒子所組成的體系中，二全同粒子互相代換不引起體系物理狀態(tài)的改變。 （ 1） Hamilton 算符的對(duì)稱性 N 個(gè)全同粒子組成的體系，其 Hamilton 量為： 個(gè)粒子的坐標(biāo)和自旋。 即： ),(?),(? 2121 tqqqqqHtqqqqqH NjiNij ?????? ?表明， N 個(gè)全同粒子組成的體系的 Hamilton 量具有交換對(duì)稱性，交換任意兩個(gè)粒子坐標(biāo)（ q i , q j ) 后不變。 根據(jù)全同性原理： ???????),(),(2121tqqqqqtqqqqqNijNji?????? 描寫同一狀態(tài)。 ),(),( 2121 tqqqqqtqqqqq NjiNij ?????? ??? ?再做一次（ q i , q j ) 調(diào)換 ),(),(),(2122121tqqqqqtqqqqqtqqqqqNjiNijNji????????????????112 ???? ??所以),(),(12121 tqqqqqtqqqqq NijNji ?????? ???? 變，即二粒子互換后波函數(shù)不?),(),(12121 tqqqqqtqqqqq NijNji ?????? ?????? 號(hào)，即二粒子互換后波函數(shù)變?對(duì)稱波函數(shù) 反對(duì)稱波函數(shù) 引入粒子坐標(biāo)交換算符 ),(),(?),(??),(?),(),(),(?22jijijijijiijjiijijijijij????????????????????的本征態(tài)。 證 方法 I 設(shè)全同粒子體系波函數(shù) ?s 在 t 時(shí)刻是對(duì)稱的，由體系哈密頓量是對(duì)稱的，所以 H ?s 在 t 時(shí)刻也是對(duì)稱的。中式右的方程是一樣的，所以因?yàn)榈仁絻蛇厡?duì)稱性應(yīng)sss tHtiShr o d i ng e r???????? ??在 t+dt 時(shí)刻，波函數(shù)變化為 dtt ss ?????對(duì)稱 對(duì)稱 二對(duì)稱波函數(shù)之和仍是對(duì)稱的 依次類推，在以后任何時(shí)刻，波函數(shù)都是對(duì)稱的。 （三）波函數(shù)對(duì)稱性的不隨時(shí)間變化 方法 II ? ?變。如果體系在某一時(shí)刻處于對(duì)稱（或反對(duì)稱）態(tài)上，則它將永遠(yuǎn)處于對(duì)稱（或反對(duì)稱）態(tài)上。 （ 1） Bose 子 凡自旋為 ? 整數(shù)倍（ s = 0， 1， 2， ……) 的粒子，其多粒子波函數(shù)對(duì)于交換 2 個(gè)粒子總是對(duì)稱的，遵從 Bose統(tǒng)計(jì)，故稱為 Bose 子 如： ? 光子 （ s =1）； ? 介子 （ s = 0）。 例如：電子、質(zhì)子、中子（ s =1/2）等粒子。 如果在所討論或過程中，內(nèi)部狀態(tài)保持不變，即內(nèi)部自 由度完全被凍結(jié)，則全同概念仍然適用，可以作為一類 全同粒子來處理。 7 全同粒子體系波函數(shù) Pauli 原理 返回 （ 1）對(duì)稱和反對(duì)稱波函數(shù)的構(gòu)成 I 2 個(gè)全同粒子 Hamilton 量 )(?)(?)()(22?202221222212qHqHqVqVH????????????????????)()()?)()()??222011100qqqHqqqHHiiiiii??????（（設(shè)其不顯含時(shí)間，則對(duì)全同粒子是一樣的，II 單粒子波函數(shù) 稱為單粒子波函數(shù)。故稱該簡(jiǎn)并為交換簡(jiǎn)并互換得到，狀態(tài)可通過兩種能量是簡(jiǎn)并的，由于這（和（狀態(tài)211221 ),),qqqqqq???)()()](?)(?[),)](?)(?[ 212022212022 qqqHqHqqqHqH ji ?????? （)]()(?)[()()]()(?[ 22022110 qqHqqqqH jiji ???? ??)()()()( 2121 qqqq jijjii ?????? ??)()()( 21 qq jiji ???? ?? ), 21 qqE （??IV 滿足對(duì)稱條件波函數(shù)的構(gòu)成 全同粒子體系要滿足對(duì)稱性條件，而 ? (q1,q2) 和 ? (q2,q1) 僅當(dāng) i = j 二態(tài)相同時(shí)，才是一個(gè)對(duì)稱波函數(shù)； 當(dāng) i ? j 二態(tài)不同時(shí)，既不是對(duì)稱波函數(shù)，也不是反對(duì)稱波函數(shù)。 構(gòu)造具有對(duì)稱性的波函數(shù) )],),[),)],),[),122121122121qqqqCqqqqqqCqqAS（（（（（（??????????C 為歸一化系數(shù) 顯然 ?S (q1,q2) 和 ?A (q1,q2) 都是 H 的本征函數(shù)，本征值皆為 ： jiE ?? ??V ?S 和 ?A 的歸一化 若單粒子波函數(shù)是正交歸一化的， 則 ? (q1,q2) 和 ? (q2 , q1) 也是正交歸一化的 證： 1)()()))())()),),222*111*21212*1*212121*?????? ?????dqqqdqqqdqdqqqqqdqdqqqqqjjiijiji????????（（（（（（同理： 1),),211212* ????? dqdqqqqq （（0)()()))())()),),222*111*21211*2*212112*?????? ?????dqqqdqqqdqdqqqqqdqdqqqqqjiijjiji????????（（（（（（而 同理： 0),), 211221* ????? dqdqqqqq （（證畢 首先證明 21122112*21*221*)],),)][,),[1dqdqqqqqqqqqCdqdqSS（（（（ ??????????????然后考慮 ?S 和 ?A 歸一化 211212*1221*2112*2121*2)],),),),),),),),[dqdqqqqqqqqqqqqqqqqqC（（（（（（（（????????????? ??212]1001[ 22 ???????? CCC則歸一化的 ?S )],),[21),122121 qqqqqqS （（（ ?????同理對(duì) ?A 有： )],),[21),122121 qqqqqqA （（（ ?????上述討論是適用于二粒子間無相互作用的情況，當(dāng)粒子間有互作用時(shí)， ?????????)()(),)()(),12122121qqqqqqqqjiji????（（ 但是下式仍然成立 ???????????),),),?),),),?121221212121qqEqqqqHqqEqqqqH（（（（（（)],),[21), 122121 qqqqqqAS （（（ ?????歸一化的 ?S ?A 依舊 因 H 的對(duì)稱性式 2成立 （ 1） Shrodinger 方程的解 上述對(duì) 2個(gè)全同粒子的討論可以推廣到 N個(gè)全同粒子體系，設(shè)粒子間無互作用，單粒子 H0 不顯含時(shí)間，則體系 )(?)(?)(?)(?? 0102022 nNnNqHqHqHqHH ??????? ???????????)()()?)()()?)()()?022201110NkkNkNjjjiiiqqqHqqqHqqqH?????????（（（????????????????????????)()()(),(?2121 NkjiNkjiqqqqqqEEHS h r od i n ge r?????????其解為：方程：體系單粒子本征方程： （二） N 個(gè)全同粒子體系波函數(shù) （ 2） Bose 子體系和波函數(shù)對(duì)稱化 )]())()[21)],),[21),1221122121qqqqqqqqqqjijiS???? （（（（（???????2 個(gè) Bose 子體系，其對(duì)稱化波函數(shù)是： 1， 2 粒子在 i， j態(tài)中的一種排列 N 個(gè) Bose 子體系，其對(duì)稱化波函數(shù)可類推是： )]()()[), 2121 NkjipNSqqqpCqqq ??? ?? （（ ???N 個(gè) 粒子在 i， j … k 態(tài)中的一種排列 歸一化系數(shù) 對(duì)各種可能排列 p 求和 !!1NnC kk???歸一化系數(shù)： nk 是單粒子態(tài) ?k 上的粒子數(shù) 例 : N = 3 Bose 子體系 ,，設(shè)有三個(gè)單粒子態(tài)分別記為 ?1 、 ?2 、 ?3 ，求：該體系對(duì)稱化的波函數(shù)。 n1=n2=n3=1 II。 n1=2， n2=1， n3=0。 應(yīng)用重復(fù)組合，計(jì)算全同 Bose 子體系可能狀態(tài)總數(shù)是很方便的。 10)!35(!3!53531333~3????? ?? CCC（ 3） Fermi 子體系和波函數(shù)反對(duì)稱化 2 個(gè) Fermi 子體系，其反對(duì)稱化波函數(shù)是： )()()()(21)],),[21),2121122121 qqqqqqqqqqjjiiA ?????????? （（（行列式的性質(zhì)保證了波函數(shù)反對(duì)稱化 推廣到 N 個(gè) Fermi 子體系： )()()()()()()()()(!1),21212121NkkkNjjjNiiiNAqqqqqqqqqNqqq????????????????? ?? （兩點(diǎn)討論 I。交換任意兩個(gè)粒子，等價(jià)于行列式中相應(yīng)兩列對(duì)調(diào)， 由行列式性質(zhì)可知，行列式要變號(hào)，故是反對(duì)稱 化波函數(shù)。 （ 1）二 Fermi 子體系 其反對(duì)稱化波函數(shù)為： )()()()(21)]())()[21),2121122121 qqqqqqqqqqjjiijijiA ???????? ???? （（（若二粒子處于相同態(tài)，例如都處于 i 態(tài)，則 0)]())()[21), 122121 ???? qqqqqq iiiiA ???? （（（)()()()(212121qqqqiiii?????寫成 Slater 行列式 兩行相同，行列式為 0 （ 2） N Fermi 子體系 )()()()()()()()()(!1),21212121NkkkNjjjNiiiNAqqqqqqqqqNqqq????????????????? ?? （（三） Pauli 原理 0)()()()()()()()()(!1),21212121 ???NkkkNiiiNiiiNAqqqqqqqqqNqqq?????????????????（如果 N 個(gè)單粒子態(tài) ? i ?j …… ?k 中有兩個(gè)相同，則行列式中有兩行相同，于是行列式為 0，即 兩行同態(tài) 上述討論表明， N Fermi 子體系中，不能有 2 個(gè)或 2 個(gè)以上Fermi 子處于同一狀態(tài)，這一結(jié)論稱為 Pauli 不相容原理。 （ 3）無自旋 ——軌道相互作用情況 在無自旋 ——軌道相互作用情況，或該作用很弱，從而可略時(shí)，體系總波函數(shù)可寫成空間波函數(shù)與自旋波函數(shù)乘積形式： ),),),。 對(duì) 2 粒子情況，反對(duì)稱化可分別由 ? ? 的對(duì)稱性保證。 ? 對(duì)稱， ? 反對(duì)稱； II。