概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第三章-閱讀頁(yè)
2025-02-04 07:41本頁(yè)面
【正文】 c c ? ? 2 2 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 其它 ， 0 0 y x xe y x f y 1 ? c 所以， 時(shí)， ⑵ ．當(dāng) 0 ? x ? ? ? ? ? ?? ? ? ? dy y x f x f X ， 的邊緣密度函數(shù)為 所以， X ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 0 0 x x xe x f x X ? ?? ? ? x y dy xe x xe ? ? 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 例 6（續(xù)） xy xy?時(shí)， ⑶ ．當(dāng) 0 ? y ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 其它 ， 0 0 y x xe y x f y ? ? ? ? ? ?? ? ? ? dx y x f y f Y ， ? ? ? y y dx xe 0 y e y ? ? 2 2 1 的邊緣密度函數(shù)為 所以， Y ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 0 0 2 1 2 y y e y y f y Y 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 設(shè)隨機(jī)變量 X與 Y的 聯(lián)合分布 律 為 (X, Y)～ P{X＝ xi, Y＝ yj,}＝ pij ， (i, j＝ 1, 2, … ) ， X和 Y的邊緣分布律分別為 ,...2,1}{1???? ??? ippxXPjijii167。 ,...2,1,}|{.| ???? jppyYxXPpjijjiji ＝若對(duì)固定的 j, 0, 則稱(chēng) 同理， 對(duì)固定的 i, pi. 0, 稱(chēng) ,...2,1,}|{.| ???? jppxXyYPPiijijij ＝為 X＝ xi的 條件下， Y的 條件分布律 。)|(),|()2(。當(dāng),01||,||11)(),()|(,1||)2( |xyyyfyxfyxfyYYX例 7（續(xù)） xy0 1xy?xy ?? 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 ??????????其它。 定理 隨機(jī)變量 X與 Y獨(dú)立的充分必要條件 是 F(x,y)=FX(x)FY(y) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 定理 設(shè) (X,Y)是二維 連續(xù)型 隨機(jī)變量 ， X與 Y獨(dú)立的充分必要條件 是 f(x,y)=fX(x)fY(y) 定理 設(shè) (X,Y)是二維 離散型 隨機(jī)變量 ， 其分布律為Pi,j=P{X=xi,Y=yj},i,j=1,2,...， 則 X與 Y獨(dú)立的充分必要條件 是對(duì)任意 i,j， Pi,j=Pi?.P?j 。 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 對(duì)于離散型隨機(jī)變量的情形，若對(duì)任意整數(shù) i1, i2, …, i n及實(shí)數(shù) 有 則稱(chēng)離散型隨機(jī)變量 X1, X2, …, X n相互獨(dú)立。 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 定義 設(shè) n維隨機(jī)變量 (X1,X2,...,Xn)的分布函數(shù)為FX(x1,x2,...,xn)； m維隨機(jī)變量 (Y1,Y2,…,Y m)的分布函數(shù)為FY(y1,y2,…y m), X1,X2,...,Xn ,Y1,Y2,…,Y m組成的 n+m維隨機(jī)變量（ X1,X2,...,Xn ,Y1,Y2,…,Y m)的分布函數(shù)為 F（ x1,x2,...,xn, y1,y2,…,y m). 如果 F（ x1,x2,...xn, y1,y2,…y m).= FX(x1,x2,...xn) FY(y1,y2,…y m) 則稱(chēng) n維隨機(jī)變量 (X1,X2,...Xn)與 m維隨機(jī) 變量 (Y1,Y2,…Y m)獨(dú)立。 ? ? ? ? ? ? 247。 ? ? ? ? ? ? ? 5 arctan 2 1 x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， x 的邊緣分布函數(shù)為 Y ? ? ? ? y x F y F x Y ， ?? ? ? lim 247。 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 10 arctan 2 5 arctan 2 1 lim 2 y x x ? ? ? 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 例 8（續(xù)） ? ? ? ?yFxF YX?247。 ? ? ? ? ? ? 247。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 10 arctan 2 1 5 arctan 2 1 y x ? ? ? ? ． 是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 與 所以 Y X 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 167。...),...,(... 11),...,( 1nnyxxgdxdxxxfn????.dy )y(dF)y(F)y(f YYY ???然后再求出 Y的密度函數(shù) : 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 幾個(gè)常用函數(shù)的密度函數(shù) (1)和的分布 已知 (X, Y)～ f(x, y), (x, y)?R2, 求 Z＝ X＋ Y的密度。 ? ???? .),(||)( dyyyzfyzf Z y G1 0 x G2 特別，當(dāng) X， Y相互獨(dú)立時(shí)，上式可 化為 ? ???? ,dy)y(f)yz(f|y|)z(f YXZ 其中 fX(x), fY(y)分別為 X和 Y的密度函數(shù)。 FN(z)＝ 1－ [1－ F(z)]n. 進(jìn)一步地，若 X1, X2, …, X n獨(dú)立且具相同的密度函數(shù) f (x)， 則 M和 N的密度函數(shù)分別由以下二式表出 fM(z)＝ n[F(z)]n－ 1f (z)； fN(z)＝ n[1－ F(z)]n－ 1f (z). 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 例 11 解：? ? ? ?? ? ? ?，nnnXXXXXXXX??21211m a xm i n??? ? ? ? 的密度函數(shù)．與試求隨機(jī)變量 nXX 1? ? ? ? ? ?? ? ? ?．為，密度函數(shù)的分布函數(shù)為設(shè)隨機(jī)變量xfxFX111? ? ? ? ．令： ，密度函數(shù)為 的分布函數(shù)為 隨機(jī)變量， 是獨(dú)立同分布的連續(xù)型 ， ， ， 設(shè) x f x F X X X X n 1 2 1 ? 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 則? ?? ? ? ?? ?xXPxF nn ??? ?? ?xXXXP n ?? ， ?21max? ?xXxXxXP n ???? ， ?21? ? ? ? ? ?xXPxXPxXP n ???? ?21? ?? ? nxF?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ． 為 ，密度函數(shù) 的分布函數(shù)為 設(shè)隨機(jī)變量 x f x F X n n n 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 ? ? ? ? ? ?? ?xXPxF ?? 11? ? ? ? ? ? ? ?xFxf nn ??所以，? ?? ?xXXXP n ?? ， ?21m i n? ?xXxXxXP n ????? ， ?211? ?? ?? ?nxFdxd?? ?? ? ? ?xFxFn n ?? ? 1 ? ?? ? ? ?xfxFn n 1??? ?? ?xXXXP n ??? ， ?21m i n1 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 1 要理解二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)的定義及性質(zhì)。 3 掌握二維均勻分布和二維正態(tài)分布。 5 要會(huì)求二維隨機(jī)變量的和、商分布及多維隨機(jī) 變量的極值分布和函數(shù)的分布。
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