[理學(xué)]第十一章動(dòng)量矩定理-閱讀頁(yè)
2025-02-03 15:13本頁(yè)面
【正文】 ???? dc os1718d lg???兩邊積分，并利用初始條件，可得 0 018d c o s d17gl??? ? ? ????解得桿的角速度 ω為 lg17s i n6 ??? ?? ? A OxF OyF O ? ? gm2 D B C 質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理 如果質(zhì)點(diǎn)系 (如做平面運(yùn)動(dòng)的剛體 )的運(yùn)動(dòng)可分解為隨質(zhì)心的平動(dòng)和相對(duì)于質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)，前者可用動(dòng)量定理或質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理描述，后者能否用動(dòng)量矩定理來描述呢？ C x y z O x39。 39。r im riv ir 以質(zhì)心 C為原點(diǎn)，取一平動(dòng)坐標(biāo)系 Cx39。z39。在此平動(dòng)坐標(biāo)系中，質(zhì)點(diǎn) mi相對(duì)矢徑為 ，相對(duì)速度為 vir。r()C C i i i i im 39。 z39。y Cr i39。 m m 39。 m? ? ? ? ? ? ?? ? ?L r v v r v r v由質(zhì)心坐標(biāo)公式，有 i i Cm 39。?? rr由于 rC39。 ?? r故質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于質(zhì)心點(diǎn) C的動(dòng)量矩為 rC i i i39。39。 z39。y Cr i39。 ed ()d O O it ? ?L M F由質(zhì)點(diǎn)系對(duì)定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理 edd()C C C i imtt? ? ? ??r v L r F可得 ed dd( ) ( )d d dC C C C C C i im m 39。t ???L r F 即質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用 于質(zhì)點(diǎn)系的外力對(duì)于質(zhì)心的主矩。該定理在形式上與質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于固定點(diǎn)的 動(dòng)量矩定理完全相同。r iM Cr 【 例 116】 試證明質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于某定點(diǎn) O的動(dòng)量矩等于總質(zhì)量集中于質(zhì)心時(shí)的動(dòng)量矩，加上各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對(duì)于質(zhì)心矩的矢量和。質(zhì)點(diǎn)Mi的矢徑為 ri，質(zhì)點(diǎn) Mi相對(duì)質(zhì)心 C的矢徑為 ri39。原點(diǎn) O為定點(diǎn) ,如圖所示。 m? ? ? ? ?? ? ?M v r v r r vC i i i i imm ?? ? ? ???r v r v()C C C i imm? ? ???r v M v( ) ( )O C C i imm?? ?M v M v r C ? M NF Ca gm F x 【 例 117】 半徑為 r，質(zhì)量為 m 的均質(zhì)圓輪沿水平直線做純滾動(dòng)，如圖所示。求輪心的加速度。 解：取圓輪為研究對(duì)象。根據(jù)剛體平面運(yùn)動(dòng)的微分方程可列出如下三個(gè)方程 Cxm a F?NCym a F m g??2Cm M F r??? ? ? ? 因?yàn)? ，根據(jù)圓輪滾動(dòng)而不滑動(dòng)的條件，有 0Cx C Cya a a??，Car??CF m a? NF m g?22()CCMramr?? ?22()CFrMr? ??聯(lián)立求解，可得 欲使圓輪滾而不滑，必須有 s N sF f F f m g??22sC rM f m gr? ??于是圓輪滾而不滑的條件為 r C ? M NF Ca gm F x O r r A B B P B? T39。不計(jì)摩擦及繩子自重。 解：分別取輪 A和 B為研究對(duì)象，受力如圖所示。對(duì)輪 A應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程，有 TAAJ F r? ??對(duì)輪 B應(yīng)用平面運(yùn)動(dòng)微分方程，有 T BPP F 39。 r? ?? 由輪的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析可知 raaa BABCCB ????? )( ??代入后求解可得到圓柱體 B下降時(shí)質(zhì)心的加速度 ga B 54? 若在 A輪上作用一逆時(shí)針轉(zhuǎn)矩 M，取輪 A和 B為研究對(duì)象，受力如圖所示。 B P B? T39。 ag??TBBJ F 39。 B P B? T39。在滾子的鼓輪上繞以繩子，其上作用有常力 T，方向與水平線成 α角。 解：滾子做平面運(yùn)動(dòng)。 選滾子為研究對(duì)象，受力分析如圖所示
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