【正文】 正規(guī)矩陣 定義 : 設(shè) , 如果 滿足 WnnAC ?? AHHA A A A?那么稱矩陣 為一個 正規(guī)矩陣 . 設(shè) , 如果 同樣滿足 那么稱矩陣 為一個 實正規(guī)矩陣 . 例 : (1) 為實正規(guī)矩陣 AnnAR ?? ATTAA A A?A1111???????a b c db a d cc d a bd c b a?????????????????? (2) 其中 是不全為零的實數(shù) , 容易驗證這是一個實正規(guī)矩陣 . , , ,a b c d (3) 這是一個正規(guī)矩陣 . (4) H陣 , 反 H陣 , 正交矩陣 , 酉矩陣 , 對角矩陣都是正規(guī)矩陣 . 正規(guī)矩陣的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)定理 4 3 4 6 24 4 3 2 66 2 2 6 1i i ii i iii? ? ?????? ? ? ?? ? ?????引理 1 : 設(shè) 是一個正規(guī)矩陣 , 則與 酉相似的矩陣一定是正規(guī)矩陣 . 引理 2 : 設(shè) 是一個正規(guī)矩陣 , 且又是三角矩陣 , 則 必為對角矩陣 . A AAA11 12 1 1122 2 12 2212,nn Hnn n n nna a a aa a a aAAa a a a? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?HHAA A A?11 11 12 12 1 1 11 1122 22 23 23 2 2 22 22nnnnnn nn nn nna a a a a a a aa a a a a a a aa a a a? ? ? ? ?? ? ? ??A? 是 對 角 矩 陣由上述引理可以得到正規(guī)矩陣的結(jié)構(gòu)定理 定理 : 設(shè) , 則 是正規(guī)矩陣的充要條件是存在一個酉矩陣 使得 nnAC ?? AU12HnU A U????????????????12HnU A U????????????????其中 是矩陣 的特征值 . 推論 1 : 階正規(guī)矩陣有 個線性無關(guān)的特征向量 . 12, , , n? ? ?Ann推論 2 : 正規(guī)矩陣屬于不同特征值的征向量 彼此正交 . 例 1 : 設(shè) 求正交矩陣 使得 為對角矩陣 . 解 : 先計算矩陣的特征值 3 2 42 0 24 2 3A???????????Q 1Q A Q?2( 1 ) ( 8 )IA? ? ?? ? ? ?其特征值為 對于特征值 解線性方程組 求得其一個基礎(chǔ)解系 現(xiàn)在將 單位化并正交化 , 得到兩個標(biāo)準(zhǔn)正交向量 1 2 31 , 8? ? ?? ? ? ?1 1? ??( ) 0I A X? ? ?? ? ? ?12 1 , 2 , 0 , 1 , 0 , 1TTXX? ? ? ?12,XX121 2 4 2 5, , 0 , , ,35 5 3 5 2 5TT?????????? ?????? ??對于特征值 解線性方程組 求得其一個基礎(chǔ)解系 將其單位化得到一個單位向量 2 8? ?(8 ) 0I A X??? ?3 2 , 1 , 2 TX ?32 1 2,333T???? ????將這三個標(biāo)準(zhǔn)正交向量組成矩陣 ? ?1 2 31 4 235 3 52 2 1,35 3 552033Q ? ? ????????????????????????則矩陣 即為所求正交矩陣且有 Q1118Q AQ??????????????求酉矩陣 使得 為對角矩陣 . QHQ A Q例 2 : 設(shè) 4 3 4 6 24 4 3 2 66 2 2 6 1i i iA i i iii? ? ?????? ? ? ? ?? ? ?????解 : 先計算矩陣的特征值 24 3 4 6 24 4 3 2 66 2 2 6 1( 81 ) ( 9)i i iI A i i iii??????? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?解 : 先計算矩陣的特征值 其特征值為 對于特征值 解線性方程組 求得其一個基礎(chǔ)解系 2( 81 ) ( 9 )IA? ? ?? ? ? ?1 2 39 i, 9? ? ?? ? ? ? ?1 9 i? ??( 9 ) 0iI A X? ? ?? ?1 / 2 , 1 , 1 TXi??現(xiàn)在將 單位化 , 得到一個單位向量 1X122,3 3 3Ti????? ????對于特征值 解線性方程組 求得其一個基礎(chǔ)解系 將其單位化得到一個單位向量 2 9 i? ?( 9 ) 0iI A X??? ?2 , 1 / 2 , 1 TXi? ? ?22 1 2,3 3 3Ti????? ????對于特征值 解線性方程組 求得其一個基礎(chǔ)解系 將其單位化得到一個單位向量 3 9? ?( 9 ) 0I A X??? ?3 , 1 , 1 / 2 TXi??32 2 1,3 3 3Ti????? ????將這三個標(biāo)準(zhǔn)正交向量組成矩陣 ? ?1 2 3223 3 32 1 2,3 3 32 2 13 3 3i i iQ ? ? ????????????????????????則矩陣 即為所求酉矩陣且有 Q999HiQ AQ i???????????? 例 3 證明 : (1) H矩陣的特征值為實數(shù) 。與正定的實二次形一樣 , 關(guān)于正定的 Hermite二次形我們有 定理 : 對于給定的 Hermite二次形 下列敘述是等價的 () Hf X X A X? (1) 是正定的 (2) 對于任何 階可逆矩陣 都有 為正定矩陣 (3) 的 個特征值都大于零 (4) 存在 階可逆矩陣 使得 (5) 存在 階可逆矩陣 使得 (6) 存在正線上三角矩陣 使得 , 且此分解是唯一的 . ()fXn P HP APA nn PHP AP I?n Q HA Q Q?R HA R R?例 1 : 設(shè) 是一個正定的 H陣 , 且又是酉矩陣 , 則 證明 : 由于 是一個正定 H陣 , 所以必存在 AAI?A酉矩陣 使得 由于 又是酉矩陣 , 所以 12,0HinA U U R??????????? ? ???????nnUU ??A1i? ?這樣必有 , 從而 例 2 : 設(shè) 是一個正定的 H陣 , 是一個反 H陣 , 證明 : 與 的特征值實部為零 . 證明 : 設(shè) 為矩陣的任意一個特征值 , 那么有 . 由于 是一個正定 H陣 , 所以存在可逆矩陣 使得 將其代入上面的特征多項式有 1i? ? AI?A BAB BA?0I AB? ?? AQHA Q Q?1110( ) ( )()HH H H H HH H HHI AB I Q QBQ Q Q QBQ I QBQ QI QBQ????????? ? ? ???????這說明 也是矩陣 的特征值 . 另一方面注意矩陣 為 H反陣 , 從而 實部為零 . 同樣可以證明另一問 . ? HQ BQHQ BQ ?例 3 : 設(shè) 是一個正定的 H陣 , 是一個反 H陣 , 證明 : 是可逆矩陣 . 證明 : 由于 是一個正定 H陣 , 所以存在可逆矩陣 使得 這表明 是可逆的 . 于是 另一方面注意矩陣 仍然為正定 H陣 , 而矩陣 為 H反陣 , 由上面的例題結(jié)論可知 A BAB?AQHA Q Q?A11A B A A A B A I A B??? ? ? ? ?1A?B矩陣 的特征值實部為零 , 那么矩陣 的特征值中不可能有零 , 從而 1AB?1I A B ??1 0I A B???定理 : 對于給定的 Hermite二次形 下列敘述是等價的 : (1) 是半正定的 () Hf X X A X?()fX(2) 對于任何 階可逆矩陣 都有 為半正定矩陣 (3) 的 個特征值全是非負的 (4) 存在 階可逆矩陣 使得 (5) 存在秩為 的 階矩陣 使得 n P000rH IP A P ???????A nn PHP APHA Q Q?r n Q定理 : 設(shè) 是正定 (半正定 )Hermite矩陣 , 那么存在正定 (半正定 ) Hermite矩陣 使得 例 1 : 設(shè) 是一個半正定的 H陣且 證明 : 證明 : 設(shè) 為 的全部特征值 ,由于 是半正定的 , 所以 . 于是有 AH2AH?A 0A ?1AI??12, , , n? ? ?AA 0i? ?12( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 1nAI ? ? ?? ? ? ? ? ?例 2 : 設(shè) 是一個半正定的 H陣且 是一個正定的 H陣 , 證明 : 證明 : 由于 是一個正定的 H陣 , 所以存在可逆矩陣 使得 這樣有 0A ?BA