北京市朝陽(yáng)區(qū)屆高三第二次(月)綜合數(shù)學(xué)理試題含答案-閱讀頁(yè)
2025-01-29 16:22本頁(yè)面
【正文】 ……………………14分20．（本小題滿分13分）證明：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，令，,則, 且對(duì)，都有，所以具有性質(zhì)．相應(yīng)的子集為，． ………… 3分（Ⅱ）①若,由已知,又,所以．所以． ②若,可設(shè)，,且， 此時(shí)． 所以，且．所以．③若, ,，則,所以．又因?yàn)?，所以．所以．所以．綜上，對(duì)于，都有． …………… 8分（Ⅲ）用數(shù)學(xué)歸納法證明．（1）由（Ⅰ）可知當(dāng)時(shí)，命題成立，即集合具有性質(zhì)．（2）假設(shè)()時(shí)，命題成立．即，且，都有．那么 當(dāng)時(shí)，記,， 并構(gòu)造如下個(gè)集合：,， 顯然．又因?yàn)?，所以?下面證明中任意兩個(gè)元素之差不等于中的任一元素． ①若兩個(gè)元素,則,所以． ②若兩個(gè)元素都屬于,由（Ⅱ）可知，中任意兩個(gè)元素之差不等于中的任一數(shù)．從而，時(shí)命題成立．綜上所述，對(duì)任意正整數(shù)，集合具有性質(zhì)．………………………13分
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