【正文】 一天中進(jìn)入某超市的顧客人數(shù)服從參數(shù)為的泊松分布，而進(jìn)入超市的每一個(gè)人購(gòu)買種商品的概率為，若顧客購(gòu)買商品是相互獨(dú)立的， 求一天中恰有個(gè)顧客購(gòu)買種商品的概率。yx+y=z10–1xD1 解1： 的概率密度為 設(shè)的概率密度為，則 1–1zy0y 當(dāng) 或時(shí) 當(dāng) 時(shí) 所以的密度為 解2：分布函數(shù)法，設(shè)的分布函數(shù)為，則 故的密度為 七、（9分）已知分子運(yùn)動(dòng)的速度具有概率密度 為的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本 （1）求未知參數(shù)的矩估計(jì)和極大似然估計(jì)； （2）驗(yàn)證所求得的矩估計(jì)是否為的無(wú)偏估計(jì)。假設(shè)每臺(tái)機(jī)床發(fā)生故障的概率均為，且相互獨(dú)立，若表示工人修完一臺(tái)后到另一臺(tái)需要檢修的機(jī)床所走的路程，求. 解：設(shè)從左到右的順序?qū)C(jī)床編號(hào)為 為已經(jīng)修完的機(jī)器編號(hào)，表示將要去修的機(jī)床號(hào)碼，則 于是 《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》試題（5）一、 判斷題（每小題3分，本題共15分。n,p), 則EX=p ( )⑷ 樣本均值= 是母體均值EX的一致估計(jì) （ ）⑸ X～N(,) , Y～N(,) ，則 X－Y～N(0, －) （ ） 一 ⑴ ；⑵ √；⑶ ；⑷ √；⑸ 。分布表如下x 0 1 2 3 Ф(x) 解 3分 7分所求概率為 12分 =2Ф（1）1=2=五、（15分） 設(shè)的概率密度為 問是否獨(dú)立？解 邊際密度為 5分 10分因?yàn)? ，六、（20分）設(shè)隨機(jī)變量服從幾何分布，其分布列為 ，求與解1 8分其中 由函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開有 ，所以 12分因?yàn)? 16分所以 20分 七、（15分）設(shè)總體服從指數(shù)分布 試?yán)脴颖?，求參?shù)的極大似然估計(jì).解 8分 由極大似然估計(jì)的定義，的極大似然估計(jì)為15分《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》試題（6）一、 判斷題（本題共15分，每小題3分。n,p),則EX=npq ( )⑷ X~ N（，2 ），X1 ，X 2 ，……Xn是X的樣本，則~ N（，2 ）?。ǎ? ⑸X為隨機(jī)變量，則DX=Cov（X，X）（ ） ⑴ √；⑵ ；⑶ ；⑷ ；⑸ √。 為針與平行線的夾角，則ayay ，不等式確定了平面上xy0yAS 發(fā)生，不等式確定的子域10分 故 15分四、（15分） 從學(xué)校到火車站的途中有3個(gè)交通崗，假設(shè)在各個(gè)交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的，并且概率都是，設(shè)為途中遇到紅燈的次數(shù)，求隨機(jī)變量的分布律、分布函數(shù)和數(shù)學(xué)期望.解 ，分布律為即 5分的分布函數(shù)為 有所不同10分 15分五、（15分）設(shè)二維隨機(jī)變量（，）在圓域x2+y2≤a2上服從均勻分布，（1）求和的相關(guān)系數(shù)；（2）問是否獨(dú)立？ 解 的密度為 3分 （1） 故 （2）關(guān)于的邊緣密度為 關(guān)于的邊緣密度的 因?yàn)椋?、?0分）若隨機(jī)變量序列滿足條件 試證明服從大數(shù)定律.證：由契貝曉夫不等式，對(duì)任意的有 5分所以對(duì)任意的 故服從大數(shù)定律。證 由契貝曉夫不等式，對(duì)任意的有 5分于是 即 依概率收斂于，故是的相合估計(jì)。15分06071《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》試題A一、填空題（每題3分，共15分）1. 設(shè)A，B相互獨(dú)立，且，則__________. 2. 已知，且，則__________.3. 設(shè)X與Y相互獨(dú)立，且，則___ ，則統(tǒng)計(jì)量服從__________分布.5. 設(shè)，且，則__________.一、1. ；2. ；3. 3；4. ；5. 二、選擇題（每題3分，共15分）1. 一盒產(chǎn)品中有只正品，只次品，有放回地任取兩次，第二次取到正品的概率為 【 】(A) ；(B) ；(C) ；(D) . 2. 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為則方差D(X)= 【 】(A) 2； (B) ； (C) 3； (D) . 3． 設(shè)、為兩個(gè)互不相容的隨機(jī)事件，且，則下列選項(xiàng)必然正確的是【 】；；；．4. 設(shè)是某個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)，則的取值范圍是【 】； ； ； ．5. 設(shè)，其中、為常數(shù)，且，則【 】 ； ；； ．二、 (C)； (D)；3．；4；三、（本題滿分8分） 甲乙兩人獨(dú)立地對(duì)同一目標(biāo)射擊一次，現(xiàn)已知目標(biāo)被命中，求它是乙命中的概率.、解：設(shè)表示事件“甲命中目標(biāo)”，表示事件“乙命中目標(biāo)”，則表示“目標(biāo)被命中”，且06071《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》試題A一、填空題（每題3分，共15分）1. 設(shè)A，B相互獨(dú)立，且，則__________. 2. 已知，且，則__________.3. 設(shè)X與Y相互獨(dú)立，且，則___ ，則統(tǒng)計(jì)量服從__________分布.5. 設(shè)，且，則__________.一、1. ；2. ；3. 3；4. ；5. 二、選擇題（每題3分，共15分）1. 一盒產(chǎn)品中有只正品，只次品，有放回地任取兩次，第二次取到正品的概率為 【 】(A) ；(B) ；(C) ；(D) . 2. 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為則方差D(X)= 【 】(A) 2； (B) ； (C) 3； (D) . 3． 設(shè)、為兩個(gè)互不相容的隨機(jī)事件，且，則下列選項(xiàng)必然正確的是【 】；；；．4. 設(shè)是某個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)，則的取值范圍是【 】； ； ； ．5. 設(shè)，其中、為常數(shù)，且，則【 】 ； ；； ．二、 (C)； (D)；3．；4；三、（本題滿分8分） 甲乙兩人獨(dú)立地對(duì)同一目標(biāo)射擊一次，現(xiàn)已知目標(biāo)被命中，求它是乙命中的概率.、解：設(shè)表示事件“甲命中目標(biāo)”，表示事件“乙命中目標(biāo)”，則表示“目標(biāo)被命中”，且 所求概率為四、（本題滿分12分）設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為，求：（1）常數(shù)A； （2）； （3）分布函數(shù).解：（1）由，即所以.（2）（3）分布函數(shù)五、（本題滿分10分）設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為求的概率密度.當(dāng)即時(shí)，；當(dāng)即時(shí)，；當(dāng)即時(shí)，；即 所以六、（本題滿分10分）將一枚硬幣連擲三次，X表示三次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，Y表示三次中出現(xiàn)正面次數(shù)與出現(xiàn)反面次數(shù)之差的絕對(duì)值，求：（1）（X，Y）的聯(lián)合概率分布；（2）.解：由題意知，X的可能取值為：0，1，2，3；Y的可能取值為：1，3. 且，，.于是，（1）（X，Y）的聯(lián)合分布為 YX300102030（2）.七、（本題滿分10分）二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為求：（1）系數(shù)A；（2）X，Y的邊緣密度函數(shù)；（3）問X，Y是否獨(dú)立。設(shè)事件表示“發(fā)現(xiàn)件次品” 。 (B)。 (D) .2．設(shè)事件與互不相容，且，則下面結(jié)論正確的是（ ）(A) 與互不相容。 (C) 。 (B)。 (D).4．設(shè)總體，是未知參數(shù)，是來(lái)自總體的一個(gè)樣本，則下列結(jié)論正確的是（ ）(A) 。 (C)。 (B) 。 (D) .一．1．B；2D．；3．B；4．C；5．A.二．填空（將答案填在空格處，每小題4分，共20分）1．已知兩個(gè)事件滿足條件，且，則_________.2．3個(gè)人獨(dú)立破譯一份密碼，他們能單獨(dú)譯出的概率分別為，則此密碼被破譯出的概率是 .3．設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為，用表示對(duì)的3次獨(dú)立重復(fù)觀察中事件出現(xiàn)的次數(shù)，則 .4．設(shè)兩個(gè)隨機(jī)變量和相互獨(dú)立，且同分布：，則 .5．設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為：，則 .二．1．；2．；3．；4．；5．1.三．計(jì)算1．（8分）盒中放有10個(gè)乒乓球，其中有8個(gè)是新的。第二次比賽時(shí)再?gòu)暮兄腥?個(gè)，求第二次取出的球都是新球的概率。1．解：設(shè)用表示：“第一次比賽取出的兩個(gè)球中有個(gè)新球”，；表示：“第二次取出的兩個(gè)球都是新球”。解（1） 得： （2） （3）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，4．（20分）設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為：（1） 求隨機(jī)變量和的邊緣概率密度；（2） 求和；（3） 和是否獨(dú)立？求和的相關(guān)系數(shù)，并說(shuō)明和是否相關(guān)？（4） 求。 所以和相關(guān)。求參數(shù)的極大似然估計(jì)。每隔一定的時(shí)間，需要檢驗(yàn)機(jī)器的工作情況。假定罐頭的重量，試問機(jī)器的工作是否正常（顯著性水平）？（，）解：假設(shè)， 選擇統(tǒng)計(jì)量： 統(tǒng)計(jì)量的樣本值：由于，接受原假設(shè)。08091《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》試題A一、填空題（每題3分，共15分）已知隨機(jī)變量服從參數(shù)為2的泊松（Poisson）分布，且隨機(jī)變量，則 ____________．設(shè)、是隨機(jī)事件，則 設(shè)二維隨機(jī)變量的分布列為 1 2 31 2 1 2 31 2 若與相互獨(dú)立，則的值分別為 。 (B)。 (D).設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量與分別服從正態(tài)分布和，則【 】 (A)； (B) ； (C)； (D)