【正文】 時(shí)不等式的恒成立就轉(zhuǎn)化為新疆王新敞特級(jí)教師 源頭學(xué)子小屋htp:/:/新疆 函數(shù) f(n)的最小值大于［ logm(m－ 1)］ 2－2022［ log(m－ 1)m］ 2新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ 解新疆王新敞特級(jí)教師 源頭學(xué)子小屋htp:/:/新疆 ∵ Sn=1+3121?+? +n1新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ (n∈ N*) 0)421321()421221(42232122121321221)()1(1213121)(112????????????????????????????????? ??nnnnnnnnnnnfnfnnnSSnf nn又? ∴ f(n+1)＞ f(n) ∴ f(n)是關(guān)于 n的增函數(shù) ∴ f(n) min=f(2)= 20932 122 1 ???? ∴要使 一切大于 1 的自然數(shù) n，不等式 f(n)＞［ logm(m－ 1)］ 2－ 2022 ［ log(m－ 1)m］ 2恒成立 只要 209 ＞［ logm(m－ 1)］ 2－ 2022 ［ log(m－ 1)m］ 2成立即可 由??? ???? ?? 11,01 1,0 mm mm得 m＞ 1且 m≠ 2 此時(shí)設(shè)［ logm(m－ 1)］ 2=t 則 t＞ 0 于是????????0 2011209tt 解得 0＜ t＜ 1 由此得 0＜［ logm(m－ 1)］ 2＜ 1 解得 m＞ 251? 且 m≠ 2新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ 例 3 已知二次函數(shù) y=f(x)在 x= 22?t 處取得最小值－ 42t (t＞ 0),f(1)=0新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ (1)求 y=f(x)的表達(dá)式； (2)若任意實(shí)數(shù) x 都滿足等式 f(x){rn}是各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列，記 Sn為前 n個(gè)圓的面積之和，求 rn、 Sn新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ 解新疆王新敞特級(jí)教師 源頭學(xué)子小屋htp:/:/新疆 (1)設(shè) f(x)=a(x－22?t)2－ 42t ，由 f(1)=0 得 a=1新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ ∴ f(x)=x2－ (t+2)x+t+1新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ (2)將 f(x)=(x－ 1)［ x－ (t+1)］代入已知得新疆王新敞特級(jí)教師 源頭學(xué)子小屋htp:/:/新疆 (x－ 1)［ x－ (t+1)］ g(x)+anx+bn=xn+1， 上式對(duì)任意的 x∈ R 都成立， 取 x=1和 x=t+1分別代入上式得新疆王新敞特級(jí)教師 源頭學(xué)子小屋htp:/:/新疆 ????? ???? ?? ?1)1()1( 1 nnnnn tbat ba且 t≠ 0， 解得 an=t1 ［ (t+1)n+1－ 1］， bn= tt 1? ［ 1－ (t+1] n) (3)由于圓的方程為 (x－ an)2+(y－ bn)2=rn2， 又由 (2)知 an+bn=1，故圓 Cn的圓心 On在直線 x+y=1上， 又圓 Cn與圓 Cn+1相切，故有 rn+rn+1= 2 ｜ an+1－ an｜ = 2 (t+1)n+1 設(shè) {rn}的公比為 q，則 12112 ( 1 )2 ( 1 )nnnnnnr r q tr r q t????? ? ? ???? ? ???　 　 　 ①　 　 ② ②247。五”期間 (2022 年 ~2022 年 )每年的國內(nèi)生產(chǎn)總值都按此年增長率增長，那么到“十 (2)設(shè) an=xn+1－ xn，計(jì)算 a1,a2,a3，由此推測(cè)數(shù)列 {an}的通項(xiàng)公式 ，并加以證明； (3)求 lim??nxn新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ 參考答案 : 1新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ 解析新疆王新敞特級(jí)教師 源 頭 學(xué) 子 小 屋htp:/:/新疆 當(dāng) a=n 時(shí) y=n(n+1)x2－ (2n+1)x+1 由｜ x1－ x2｜ = a? ，得 dn=)1( 1?nn， ∴ d1+d2+? +dn 1 1 11 2 2 3 ( 1 )nn? ? ? ?? ? ? 1 1 1 1 1 1112 2 3 1 1n n n? ? ? ? ? ? ? ? ??? 12 1( ) ( 1 ) 1l im l im 1nnnd d d n? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? 答案新疆王新敞特級(jí)教師 源頭學(xué)子小屋htp:/:/新疆 A 2新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ 解析新疆王新敞特級(jí)教師 源 頭 學(xué) 子 小 屋htp:/:/新疆 由 1,x1,x2,4 依次成等差數(shù)列得新疆王新敞特級(jí)教師 源頭學(xué)子小屋htp:/:/新疆 2x1=x2+1,x1+x2=5 解得 x1=2,x2=3新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ 又由 1， y1,y2,8依次成等比數(shù)列，得 y12=y2,y1y2=8,解得 y1=2,y2=4, ∴ P1(2,2),P2(3,4)新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ ∴ 21 ),2,2( OPOP ? =(3,4) ∴ ,5||,22,1486 2121 ????? OPOPOPOP 121 2 1 2121 4 7 2 2c o s , s in1 0 1 0| || | 5 2 2O P O PP O P P O PO P O P? ? ? ? ? ?? 12 1 2 1 21 1 2| || | s in 2 2 5 12 2 1 0O P PS O P O P P O P?? ? ? ? ? ? ?新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ 答案新疆王新敞特級(jí)教師 源頭學(xué)子小屋htp:/:/新疆 1 3新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ 解析新疆王新敞特級(jí)教師 源 頭 學(xué) 子 小 屋htp:/:/新疆 第一次容器中有純酒精 a－ b即 a(1－ ab )升， 第二次有純酒精 a(1－ ab )－ ba aba )1( ? ，即 a(1－ ab )2升， 故第 n次有純酒精 a(1－ ab )n升新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ 答案新疆王新敞特級(jí)教師 源頭學(xué)子小屋htp:/:/新疆 a(1－ ab )n 4新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ 解析新疆王新敞特級(jí)教師 源 頭 學(xué) 子 小 屋htp:/:/新疆 從 2022年到 2022年每年的國內(nèi)生產(chǎn)總值構(gòu)成以 95933為首項(xiàng)，以 7新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ 3%為公比的等比數(shù)列，∴ a5=95933(1+7新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ 3%)4≈ 120220(億元 )新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ 答案新疆王新敞特級(jí)教師 源頭學(xué)子小屋htp:/:/新疆 120220 5新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ 解新疆王新敞特級(jí)教師 源頭學(xué)子小屋htp:/:/新疆 (1)由題意得 rqn－ 1+rqn＞ rqn+1新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ 由題設(shè) r＞ 0,q＞ 0,故從上式可得新疆王新敞特級(jí)教師 源頭學(xué)子小屋htp:/:/新疆 q2－ q－ 1＜ 0，解得 251? ＜ q＜ 251? ,因 q＞ 0,故 0＜q＜ 251? 。lim lim(1 )nnnS n r? ? ? ???? (1 ) (1 )0 1 , ,1 nn rqqS q??? ? ? ?當(dāng) 時(shí) 1 1 1 。 (2)ak－ ak+1=21n(1－n1)k－ 1b＞ 0，此獎(jiǎng)金分配方案體現(xiàn)了“按勞分配”或“不吃大鍋飯”的原則新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ (3)設(shè) fk(b)表示獎(jiǎng)金發(fā)給第 k 位職工后所剩余數(shù)， 則 f1(b)=(1－ n1 )b,f2(b)=(1－ n1 )2b,? ,fk(b)=(1－ n1 )kb新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ 得 Pn(b)=fn(b)=(1－ n1 )nb, 故 ebbPnn ??? )(lim新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ 7新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ 解新疆王新敞特級(jí)教師 源頭學(xué)子小屋htp:/:/新疆 設(shè) an表示第 n年的廢舊物資回收量， Sn表示前 n年廢舊物資回收總量，則數(shù)列{an}是以 10 為首項(xiàng)， 1+20%為公比的等比數(shù)列新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ (1)a6=10(1+20%)5=10 =≈ 25(萬噸 ) (2)S6= %)201( ]1%)201[(10 66 ????? ??=≈ (萬噸 ) ∴從 1996年到 2022年共節(jié)約開采礦石 20 99新疆源頭學(xué) 子小屋 特級(jí)教 師 王新敞htp::/ 3≈ 1986(萬噸 ) (3）由于從 1996 年到 2022年共減少工業(yè)廢棄垃圾 4 =(萬噸 )， ∴從 1996年到 2022年共節(jié)約新疆王新敞特級(jí)教師 源頭學(xué)子小屋htp:/:/新疆 8 ? ?? ≈ 3 平方公里新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ 8新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ 解新疆王新敞特級(jí)教師 源頭學(xué)子小屋htp:/:/新疆 (1)當(dāng) n≥ 3時(shí)， xn= 2 21 ?? ? nn xx 。 當(dāng) a1=2 時(shí) ,a3=12, a15=72, 有 a32=a1a15 , ∴ a1=2, ∴ an=5n－ 3. 2.（ 2022 山東理） 設(shè)數(shù)列 ??na 滿足 a1+3a2+32a3+? +3n1an= N*,3 ?nn . (Ⅰ )求數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)； （Ⅱ）設(shè) bn=nan ，求數(shù)列 ??nb 的前 n項(xiàng)和 Sn. : (I) 211 2 33 3 ...3 ,3n n na a a a?? ? ? ? 221 2 3 1 13 3 . . . 3 ( 2 ) ,3n n na a a a n? ? ?? ? ? ? ? 1 113 ( 2 ) .3 3 3n n nnan? ?? ? ? ? 1 ( 2).3n nan?? 驗(yàn)證 1n? 時(shí)也滿足上式， *1 ( ).3n na n N?? (II) 3nnbn?? ， 231 3 2 3 3 3 .. . 3 nnSn? ? ? ? ? ? ? ? 2 3 12 3 3 3 3 3nnnSn ?? ? ? ? ? ? ? 1 1332313n nnSn? ??? ? ? ?? ， 1113332 4 4nnn nS ??? ? ? ? ? ? 3.（ 2022 全國Ⅰ卷理） 設(shè)數(shù)列 ??na 的前 n 項(xiàng)的和， 14 1 223 3 3nnnSa ?? ? ? ?， ?,3,2,1? （Ⅰ）求首項(xiàng) 1a 與通項(xiàng) na ；（Ⅱ）設(shè) 2nn nT S?， ?,3,2,1?n ，證明：132n ii T? ?? : (Ⅰ )由 Sn=43an－ 13 2n+1+23, n=1,2,3，? , ① 得 a1=S1= 43a1－ 13 4+23 所以 a1=2. 再由 ① 有 Sn－ 1=43an－ 1－ 13 2n+23, n=2,3， 4,? 將 ① 和 ② 相減得 : an=Sn－ Sn－ 1= 43(an－ an－ 1)－ 13 (2n+1－ 2n),n=2,3, ? 整理得 : an+2n=4(an－ 1+2n－ 1),n=2,3, ? , 因而數(shù)列 { an+2n}是首項(xiàng)為 a1+2=4,公比為 4 的等比數(shù)列 ,即 : an+2n=4 4n－ 1= 4n, n=1,2,3, ? , 因而 an=4n－ 2n, n=1,2,3, ? , (Ⅱ )將 an=4n－ 2n代入 ① 得 Sn= 43 (4n－ 2n)－ 13 2n+1 + 23 = 13 (2n+1－ 1)(2n+1－ 2) = 23 (2n+1－ 1)(2n－ 1) Tn= 2nSn = 322n (2n+1－ 1)(2n－ 1) = 32 (12n－ 1 －