【正文】 ? ? ?，且 0n DA x? ? ? ， 所以取 3(0, 1, ).2n ? ? ? 又 ∵ 面 ABD的法向量 (0,0,1)m? ， ∴||||,c os nm nmnm ???? ( 或323114??? ) = 217? . 廣東省 2022年數學高考試題解法研究（理科） 11 證法 4： （ 1） ∵ AD=AB=1， ∠ DAB=60176。 ABCD是邊長為 1的菱形 ∴△ ABD， △ CBD均為邊長為 1的正三角形 . ∵ E為 BC的中點， ∴ BC⊥ DE 又 ∵ AD∥ BC ∴ AD⊥ DE 廣東省 2022年數學高考試題解法研究（理科） 12 OHG EFPD CBA 取 PB的中點 H，連結 AH， DH 在 △ APB中， PA= 2 ， AB=1， PB=2 由三角形的中線長公式得 AH= 22 ，同理可得 DH= 22 . 取 AD的中點 G 則 HG⊥ AD ∵ AD⊥ BG AD⊥ HG ∴ AD⊥ 平面 HGB AD⊥ PB 又 EF∥ PB ∴ AD⊥ EF 由 AD⊥ DE AD⊥ EF得 AD⊥ 平面 DEF OHG EFPD CBA （證 FD⊥ AD的另法： ∴ 1)232(2 2222 ?????? OBPBPO ∴ 5)11(1 2222 ?????? OCPOPC ∴ FD=21 PO=21 廣東省 2022年數學高考試題解法研究（理科） 13 在 △ APC中， ∵ PA= 2 ， AC= 232? = 3 ， PC= 5 ， F為 PC的中點 ∴ 由三角形的中線長公式，得 AF= 25 。,△ ABD為等邊三角形，因此， BG⊥ AD, 從而 AD⊥ 平面 PBG 延長 BG到 O且使得 PO⊥ OB, 又 PO?平面 PBG, PO⊥ AD, AD∩OB=G, 所以， PO⊥ 平面 ABCD. 以點 O為坐標原點， 1為單位長度， ,OB OP AD 的方向分別為 x軸， z軸， y軸的正向，建立如圖所示的空間直角坐標系 . 設 P(0,0,m） ,G(n,0,0) 則 11( , , 0 ), ( , , 0 )22A n D n? GyzxOEFPD CBA ∵ 3s in 6 0 2G B A B??, ∴ 3 3 3 1 3 1( , 0 , 0 ) , ( , 1 , 0 ) , ( , , 0 ) , ( , , )2 2 2 2 2 4 2 2nmB n C n E n F? ? ? ? 于是， 33( , 0 , 0 ) , ( , 0 , ) ,2 2 4 2nmD E F E? ? ? ? 廣東省 2022年數學高考試題解法研究（理科） 14 得 0 , 0 ,A D D E A D F E? ? ? ? AD⊥ DE, AD⊥ FE, 而 DE∩FE=E, ∴ AD⊥ 平面 DEF. (2)∵ 13( , , ) , ( , 0 , ) ,22P A n m P B n m? ? ? ? ? ? ∴ 2 2 2 2132 , ( ) 2 ,42m n n m? ? ? ? ? ? 解之得 31, 2mn??. 設平面 PAD的法向量 2 ( , , )n a b c? ， 由于 2 0PA n??，得 3 022bac? ? ?，由 2 0PD n??，得 3 022bac? ? ?， 取2 3(1,0, ).2n ? 取平面 ABD的法向量 1 (0,0, 1)n ??， ∴ 1212123212c os ,7714nnnnnn??? ? ? ? ? ??? 證法 7：（ 1） ∵ AD=AB=1， ∠ DAB=60176。 ABCD是邊長為 1的菱形 . ∴△ ABD， △ CBD均為邊長為 1的正三角形 . ∵ E為 BC的中點， ∴ BC⊥ DE. 又 ∵ AD∥ BC， ∴ AD⊥ DE. 取 AD的中點 G，連結 PG， BG， BD， GC. ∵ PA=PD= 2 ， G為 AD的中點， ∴ PG⊥ AD. 設 GC交 DE于 H，連結 FH. ∵ 四邊形 DGEC是平行四邊形， ∴ H為 GC的中點 . 又 ∵ F是 PC的中點 . ∴ FH∥ PG. ∴ AD⊥ FH. 由 AD⊥ DE， AD⊥ FH、 FH∩DE=H 知 AD⊥ 平面 DEF. (2)與證法 1的證明相同。 ∴ BD=1 AC= 3 A )0,0,23( ,C )0,0,23(? , B )0,21,0( , D )0,21,0( ? 設 P（ x,y,z）則 3( , , )2A P x y z?? 1( , , )2DP x y z?? 1( , , )2DP x y z?? ????????????????????????????????2)21(2)21(223222222222222zyxDPzyxDPzyxAP ∴???????????1123zyx ∴ P（ )1,1,23( ? ∴ E )0,41,43(? F )21,21,0( ? DE = )0,43,43(? DF = )21,0,0( DA = )0,21,23( 0??DEDA 0??DFDA ∴ AD⊥ 平面 DEF (2) 設平面 PAD的法向量 ( , , )m a b c? DA = )0,21,23( DP = )1,21,23( ? ????????????????0212302123cbaDPmbaDAm ∴(1, 3, 3 )m ? ? ? 平面 ABD的一個法向量 (0,0,1)n? 廣東省 2022年數學高考試題解法研究（理科） 20 3 21c os , 71 3 3 1mnmnmn??? ?? ? ? ?? ? ?? ∴ 面 PADB的平面角的余弦為 217? 19. (本小題滿分 14分 ) 設圓 C 與兩圓 ? ? ? ?22225 4 , 5 4x y x y? ? ? ? ? ?中的一個內切 ,另一個外切 . (1) 求 C 的 圓心軌跡 L 的方程 。5 1 5xx?? 故 l 與 L 的交點為126 5 2 5 1 4 5 2 5, , , .5 5 1 5 1 5TT? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 因 1T 在線段 MF 外 ,11 | | 2 。 (2)證 明 : 對于一切正整數 n , 11 12nn nba????. （本小題主要考查等差、等比數列的通項公式與前 n 項和公式、基本不等式等基礎知識，考查推理論證和運算求解能力，以及分類與整合、化歸與轉化的廣東省 2022年數學高考試題解法研究（理科） 23 數學思想方法 ) 第一問：求數列 ??na 的通項公式；（本小題滿分 8分） (1)解法 1(國標 ): 由 1 ,ab? 知 11 22nnnnbaa an??? ??0? , 11221 nnnana nba????? 11 2 1nna b b a ???? 令1 1,n nnAAab??, 當 2n? 時 , 112nnAAbb ??? 21 2 1 2nAb b b b ???? ? ????? 2112 1 11 2 2 2nn Ab b b b??? ? ? ? ? 21211 2 2 2nnb b b b???? ? ? ? ?. ① 當 2b? 時 ,12121nnbbAb??????????????? ? ?22nnnbbb?? ?. ② 當 2b? 時 , 2n nA?. ∴ ? ?2 ,222 , 2nnnnnb b ba bb? ? ??? ? ???? 廣東省 2022年數學高考試題解法研究（理科） 24 解法 2: 由 1 ,ab? 知 11 22nnnnbaa an??? ??0? , 11221 nnnana nba????? ， 11 2 1nna b b a ???? 。當 0b? 且 2b? 時，下證 ? ? 12 122 1nn nnb bab?? ??? ? ????????????1 21122nnbb nb?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? 1*2 122( ) , ( )2nnbbbf n n n Nb?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? 證法 3：對于一切正整數 n, 11 12nn nba????。 當 2b? 時，下面用數學歸納法證明 *( ) , ( )f n n n N?? ① 當 1n? 時， 221 4 1 12 2 2( 1 ) 2 12 4 4 4nb b bb b bfb b b b? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ??結論成立 ② 假設當 n=k時， ()f k k? 成立， 1 2 12222( 1 ) ( )2k k k kbbbbf k f kb? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? 122 11222kkbbbbb?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? 11 2 122kkbbb?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? 111222kkbb????? ? ? ?????? ? ? ?? ? ? ??? 112 12kkbb??? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? 廣東省 2022年數學高考試題解法研究（理科） 32 因此， ( 1) ( ) 1f k f k? ? ? 即 ( 1 ) ( ) 1 1f k f k k? ? ? ? ? 成