【正文】 分收斂于 1． 21d1 (ln )e xxx?? 的斂散性，若收斂， 計算其 值 ． 解：1221d d ( l n )l im l im [ a r c s in ( l n ) ] 21 ( l n ) 1 ( l n )e tt e t exx xx x x ?????? ? ????． 故反常積分收斂于 2? ． 26yx?? 與直線 32yx?? 圍成平面圖形的面積 . 解： 兩條曲線交點為 2632yx? ??? ???，得（ 1， 5），（ 3， 3）， 33 2 3 21 11 3 2( 6 3 2 ) d ( 3 )33A x x x x x x? ?? ? ? ? ? ? ? ? ??. xy 1? 及直線 xy? 、 2?y 圍成平面圖形的面積 . 解： 取 y 為積分變量，則 2ln23)ln2(d)1( 21221 ?????? ? yyyyyA . 2 43y x x? ? ? ?及它在點 )3,0( ? 與點 )0,3( 的兩條切線 34 ?? xy與 xy 26?? 所圍成區(qū)域的面積 . 解： 如圖，兩切線 34 ?? xy 與 xy 26?? 的交點為 3,32C??????，所求面積為： xxxxxxxxA d)]34()26[(d)]34()34[( 323 2230 2 ???????????? ?? 498989d)96(d 323 2230 2 ??????? ?? xxxxx. 1?xy 與直線 xy? 及 2?y 圍成的平面圖形的面積 A . 解： dyyyA )1(21? ?? 3 ln22??. xey? ， xey ?? 與直線 1?x 圍成的平面圖形的面積 A . 解： dxeeA xx )(10 ??? ? 1 2e e? ? ?. 2xy? 與直線 xy 23?? 圍成的平面圖形的面積 A . 解： dxxxA )23( 231 ??? ? ? 323?. 23 xy ?? 與直線 xy 2? 圍成的平面圖形的面積 A . 解： dxxxA )23( 213 ??? ? ? 323?. yx? ，直線 1??yx 及 ox 軸圍成的平面圖形的面積 A . 解： dyyyA )2(10? ??? 56?. xyxy co s,sin ?? 與直線 0?x 及 2/??x 圍成的平面圖形的面積A . 解： dxxxA ? ?? 2/0 sinc os? 2( 2 1)??. 10 ??x ， 0ln ??yx 所確定的平面區(qū)域的面積 A . 解： 10 ln 1A xdx? ? ??. axyxa 2222 ??? 所確定的平面區(qū)域的面積 A . 解： ]c os42121[2 2/3/ 223/0 2 ?????? dadaA ?? ?? 223()32a??? . 23yx?? 與 2yx? 圍成平面圖形的面積 . 解： 兩條曲線交點為 232yxyx? ??? ??，得（ 3， 6），（ 1， 2） 23233d)23(1323132 ??????? ?????????xxxxxxA . 2xy? ， 1?x 及 ox 軸圍成的區(qū)域繞 ox 軸旋轉(zhuǎn)一周所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體的體積 . 解： 1 40xV x dx?? ? 5?? 2xy? ， 1?x 及 x 軸 所 圍成圖形 分別 繞 x 軸旋轉(zhuǎn) 一周 所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積 . 解： 所求的體積 1 40 d 5xV x x ?????. 2xy? ， 1?x 及 x 軸 所 圍成圖形繞 y 軸旋轉(zhuǎn) 一周 所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積 . 解： 所求 的體積 10 (1 )d 2yV y y ??? ? ??. 2xy? ， 1?x 及 ox 軸圍成的區(qū)域繞 oy 軸旋轉(zhuǎn)一周所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體的體積 . 解： 10 (1 ) 2yV y dy ??? ? ??. 2xy? 與 2yx? 圍成的區(qū)域繞 ox 軸旋 轉(zhuǎn)一周所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體的體積 . 解： 1 40 3() 10xV x x d x??? ? ??. 2xy? 與 2yx? 圍成的區(qū)域繞 oy 軸旋轉(zhuǎn)一周所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體的體積 . 解： 1 40 3() 10yV y y d y??? ? ??. r ，高為 h 的圓錐題體積 V . 解： 220 1() 3h rV x d x r hh????? . xy 22 ? 與直線 2?x 圍成區(qū)域為底，而用垂直于 ox 軸的平面截得的截面都是等邊三角形，求該立體體積 . 解： 20 2 3 4 3V xdx???. R 的圓柱體的底圓中心，并與底面成 ? 角，計算這個平面截下的圓柱體體積 . 解 ： 2 2 312( ) ta n ta n23RRV R x d x R???? ? ??. xy ln? 從 3?x 到 8?x 一段的弧長 S . 解： dxxS ? ?? 83 211 131 ln22??. )3(31 xxy ?? 從 1?x 到 3?x 一段的 弧長 S . 解： dxxxS ? ?? 31 )1(21 4233??. dttty x? ??0 2 2從 0?x 到 5?x 一段的弧長 S . 解： dxxS ? ?? 50 )1( 352?. taytax 33 s in,c os ?? 的全長 . 解： /204 3 sin c o s 6S a t td t a????. 難度系數(shù) — ： 1. 112 arcsin d1 x xxx???． 解： 1 1 11 1 12 2 2a r c s in a r c s ind 2 d ( ) 2 a r c s in d ( a r c s in )11xxx x x xx x x??? ? ?? ? ? 122123(a rc s in ) 16x ???． 2． 已知 ? ???? 20 1d)(0)2(21)2( xxfff ，求定積分 ? ??10 2 d)2( xxfx． 解： ?? ?????? 1010210 2 d)2()2(21d)2( xxfxxfxxxfx ????? 1010 d)2(21)2(212 )2( xxfxxff ???? 10 d)2(2141 xxf． 對積分 ?10 d)2( xxf，令 tx?2 ，則 21d)(21d)2( 2010 ?? ?? ttfxxf，所以 0212141d)2(10 2 ???????? xxfx ． 3． 若 22lim 4 dx xaxxa x e xxa ?? ?????? ?????? ?，求 c 值 . 解： 左式 22lim 1 x axa exa ?????? ? ??????． 右式 2 2 2 2( 2 ) d ( 2 ) 2 dxxaax e x x e? ? ? ???? ? ? ? ??? 2 2 2 2 2 22 ( 2 d ) 2 2 d )x x a xa aax e x e x a e x e? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ??? 2 2 2 2 2 22 2 ( d ) ( 2 2 1 )a x x xa aa e x e e x a a e????? ? ? ?? ? ? ? ? ?? 由， 左式 ? 右式，有 2 2 2( 2 2 1 ) xxa a e e??? ? ? ?，得 0a? 或 1a?? ． 20 3( ) d1x tf x ttt? ???在區(qū)間 [0,1] 上的最大值與最小值 ． 解：2 3() 1xfx xx? ? ??，令 ( ) 0fx? ? 得 0x? 在 01（ ， ） 內(nèi)無駐點，又 (0) 0f ? 1122003 3 ( 2 1 ) 1(1 ) d d1 2 1ttf t tt t t t????? ? ? ??? 211200 221d ( )3 d ( 1 ) 332121 1 ( )3tttttt???????? ??? 1120 03 2 1 3l n ( 1 ) 3 a r c ta n ( )23 3ttt ??? ? ? ? ? 故最大值為 3(1) 3f ?? ，最小值為 (0) 0f ? ． ()fx有一個原函數(shù)為 21 sin x? ，求 20 (2 )dxf x x? ?? ． 解：由已知，得 2( ) (1 si n ) si n 2f x x x?? ? ?，令 2xt? ， 20 0 0 011( 2 ) d ( ) d ( ) ( ) d d ( )2 2 4 4ttx f x x f t tf t t t f t? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? 200 0011[ ( ) ( ) d [ s in 2 ( 1 s in ) ] 044tf t f t t t t x? ???? ? ? ? ? ?? ． 20 ( ) d 9 3x tf t t x? ? ?? ，求 3 320 ( )dx f x x?. 解：2() 9xxf x x? ? ，21() 9fx x? ? ， 31333 2 3 4 2400 01 1 3( ) d d ( 9 ) ( 1 0 1 )229x f x x x x xx? ? ? ? ????． 7． 30 sin sin dx x x? ??. 解： xxxxxxxxx dc oss i ndc oss i nds i ns i n00 20 3 ??? ??? ??? xxxxxx dc oss i ndc oss i n 2/2/0 ?? ???? ??? xxxx ds i ns i nds i ns i n 2/2/0 ?? ???? ??? ????? 3232s i n32s i n32 2/2/32/02/3 ??? xx 34 ． ??? ??? 其它， ,0 ,10,2)( xxxf 求 ?? x ttfxF0 d)()(的表達(dá)式 . 解 ： 當(dāng) 0?x 時 ， 0d0d)()(00 ??? ??xx tttfxF ． 當(dāng) 10 ??x 時， 200 d2d)()( xttttfxFxx ??? ?? ． 當(dāng) 1?x 時， 1d0d2d)()(1100 ???? ???xx tttttfxF .所以 ??????????.1,1,10,0,0)( 2xxxxxF ． 2 , [0 ,1)(), [1, 2 )xxfx xx? ?? ? ??，求0( ) ( )xx f t dt???在 [0,2] 上的表達(dá)式，并討論()x? 在 (0,2) 內(nèi)的連續(xù)性 . 解： 201 201d , [ 0 , 1 )(), [1 , 2)xxt t xxt dt tdt x? ???? ???????? 當(dāng) 0?x 時， 0d0d)()(00 ??? ??xx tttfxF ； 當(dāng) 01x??時， 3200( ) ( ) d d 3xx xF x f t t t t? ? ???； 當(dāng) 12x??時， 21 20 0 11( ) ( ) d d d 26xx xF x f t t t t t t? ? ? ? ?? ? ?； 當(dāng) 2x? 時，0( ) ( )d 1xF x f t t???. 因為 ()x? 在 (0,1),(1,2) 內(nèi)是初等函數(shù)，故連續(xù) .于是只須討論 1x? 處的連續(xù)性即可 . 3111lim ( ) lim 33xxxx????? ? ?, 21111l im ( ) l im ( ) (1 )2 6 3xxxx????? ? ? ? ? ? ()x?? 在 1x? 處連續(xù)，故 ()x?? 在 (0,2) 內(nèi)的連續(xù) . )(xf 連續(xù)，且 ??? 10 )()( dxxfxxf，求函數(shù) )(xf . 解：設(shè) adxxf ??10 )(，則 axxf ??)( ，于是 aadxx dxdxaxdxxfa ??????? ???? 21)()( 10101010 ， 得 41?a ，所以 1() 4f x x?? . )(xf? 在 ],[ ba 上連續(xù)，且 2)2(,4)2(,0)0( ???? fff ，求 10 (2 )dxf x x??? . 解： 1 1 1100 0 01 1 1( 2 ) d d ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) d2 2 2x f x x x f x x f x f x x?? ? ? ?? ? ?? ? ? 101 1 1 1( 2 ) ( 2 ) 2 4 02 4 2 4f f x?? ? ? ? ? ? ?. 12． 計算 20 sin cos dx x