高二文科數(shù)學圓錐曲線復習-閱讀頁
2025-01-23 00:14本頁面
【正文】 與 e 的關系： ∵ 雙曲線漸近線的斜率k ＝ba＝c2－ a2a＝c2a2 － 1 ＝ e2－ 1 ， ∴ e 越大，則漸近線的斜率的絕對值就越大，這時雙曲線的形狀就從扁狹逐漸變得開闊．故雙曲線的離心率越大，它的開口就越寬闊． 解析幾何 ? 1． 利用雙曲線的定義求軌跡方程 ， 首先要充分利用幾何條件探求軌跡的曲線類型是否符合雙曲線的定義 ． ? 2． 常用定義解焦點三角形問題 ． 解析幾何 ? 已知動圓 M與圓 C1： (x＋ 4)2＋ y2＝ 2外切，與圓 C2： (x－ 4)2＋y2＝ 2內切，求動圓圓心 M的軌跡方程． 解析幾何 ? 已知動圓 M與圓 C1： (x＋ 4)2＋ y2＝ 2外切，與圓 C2： (x－ 4)2＋y2＝ 2內切，求動圓圓心 M的軌跡方程． 解析： 設動圓 M 的半徑為 r ， 則由已知 | MC1| ＝ r ＋ 2 ， |MC2| ＝ r － 2 ， ∵ | MC1|－ | MC2| ＝ 2 2 . 又 C1( － 4,0) ， C2( 4,0 ) ， ∴ | C1C2| ＝ 8 ， ∴ 2 2 ＜ | C1C2|. 根據(jù)雙曲線定義知，點 M 的軌跡是以 C1( － 4,0 ) 、 C2( 4,0) 為焦點的雙曲線的右支． ∵ a ＝ 2 ， c ＝ 4 ， ∴ b2＝ c2－ a2＝ 14. ∴ 點 M 的軌跡方程是x22－y214＝ 1( x ≥ 2 ) ． 解析幾何 ? 1． 用待定系數(shù)法求雙曲線的標準方程時 ， 一定要抓住題設所給的獨立條件 ， 建立 a、 b、 c之間的等量關系 ， 運用方程的思想來求解 ． ? 2． 當分不清雙曲線的類型時 ， 可統(tǒng)設方程為 mx2＋ ny2＝ 1(mn0)的形式 ， 當 m0， n0時焦點在 x軸上；當 m0， n0時焦點在 y軸上 ． 解析幾何 求適合下列條件的雙曲線的標準方程． (1) 焦距為 26 ，且經(jīng)過點 M (0 , 1 2) ； 解析幾何 求適合下列條件的雙曲線的標準方程． (1) 焦距為 26 ，且經(jīng)過點 M (0 , 1 2) ； 解析： ( 1 ) ∵ 雙曲線經(jīng)過點 M ( 0 , 1 2 ) ， ∴ M ( 0 ,1 2 ) 為雙曲線 的一個頂點，故焦點在 y 軸上，且 a ＝ 1 2 . 又 2 c ＝ 26 ， ∴ c ＝ 13. ∴ b2＝ c2－ a2＝ 25. ∴ 雙曲線標準方程為y2144－x225＝ 1. 解析幾何 2. 2. 解析幾何 解析幾何 解析幾何 解析幾何 ? 1． 雙曲線的幾何性質的實質是圍繞雙曲線中的 “六點 ” (兩個焦點 、 兩個頂點 、 兩個虛軸的端點 )、 “ 四線 ” (兩條對稱軸 、 兩條漸近線 )、 “ 兩形” (中心 、 焦點以及虛軸端點構成的三角形 ， 雙曲線上一點和兩焦點構成的三角形 )來研究它們之間的相互關系 ， 明確 a、 b、 c、 e的幾何意義及它們的相互關系 ， 簡化解題過程 ． ? 2． 橢圓與雙曲線中 a， b， c關系的區(qū)別：橢圓 a2＝ b2＋ c2， 雙曲線 c2＝ a2＋ b2. 解析幾何 已知點 F 是雙曲線x2a2 －y2b2 ＝ 1( a 0 ， b 0 ) 的左焦點，點 E 是該雙曲線的右頂點，過點 F 且垂直于 x 軸的直線與雙曲線交于 A 、 B 兩點， △ ABE是銳角三角形，則該雙曲線的離心率 e 的取值范圍是 ( ) A ． (1 ，＋ ∞ ) B ． (1,2 ) C ． (1,1 ＋ 2 ) D ． ( 2,1 ＋ 2 ) 解析幾何 解析： 因為 EA ＝ EB ，所以只要 ∠ AEB 為銳角即可， 則點 E 應在以 F 為圓心， AB 為直徑的圓外， 則 |AF | |EF |， 由題意知 |AF |＝b2a， |EF |＝ a ＋ c ， 即b2a a ＋ c ，所以 b2 a2＋ ac . 又 b2＝ c2－ a2，可得 2 a2＋ ac － c20 ， 即 e2－ e － 2 0 ，解得 e ∈ ( 1 , 2 ) ，故選 B. 答案： B 解析幾何 ? 1．區(qū)分雙曲線中的 a， b， c大小關系與橢圓 a， b， c關系，在橢圓中 a2＝ b2＋ c2，而在雙曲線中 c2＝ a2＋ b2. ? 2． 求雙曲線標準方程的方法 ? (1)定義法 ， 根據(jù)題目的條件 ， 判斷是否滿足雙曲線的定義 ， 若滿足 ， 求出相應的 a、 b、 c即可求得方程 ． ? (2)待定系數(shù)法 ， 其步驟是： ? ① 定位：確定雙曲線的焦點在哪個坐標軸上； ? ② 設方程：根據(jù)焦點的位置設出相應的雙曲線方程； ? ③ 定值：根據(jù)題目條件確定相關的系數(shù) ． 解析幾何 1 ． ( 2 0 1 0 江蘇卷 ) 在平面直角坐標系 x O y 中，已知雙曲線x 24 －y 212 ＝ 1上一點 M 的橫坐標為 3 ，則點 M 到此雙曲線的右焦點的距離為 _ _ ___ ___ ． 解析： 設右焦點為 F ( 4 ,0 ) ． 方法一 ：根據(jù)雙曲線的定義，若點 M 的坐標為 ( x 0 ， y 0 ) ，則 MF ＝ ex 0－ a ，即 MF ＝ 2 3 － 2 ＝ 4. 方法二 ：把 x ＝ 3 代入雙曲線方程得 y ＝ 177。 15 . 由兩點間距離公式得 MF ＝ ? 3 － 4 ?2＋ ? 1
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