【正文】 》 （汪賢裕） 33例 投票的例子 例 設(shè)有一個投票博弈 ，投票人的集合為 其中局中人 1有 3票，其余的局中人各一票。即特征函數(shù)的取值為： 因此可以計算 ShapleyShubik勢指標(biāo) 為： 可以考慮，若 投票規(guī)則 改為所得投票超過總票數(shù)的，即要達(dá)到 5票 時 ,被投票的決議才能通過。 ? 這時 Shapley值的分量 為 ： （ ） ? 在 （ ） 式中的聯(lián)盟 為 取勝聯(lián)盟 ，且 為 失敗盟約 （見前面的定義 ）。 擺盟的定義 n [ , ]G N v? SN?( ) ( \ { } )v S v S i?()i v?( ) ! ( 1 ) !()!i iSn S Svn? ???? ?S \{ }Sin 12( ) ( ( ) , ( ) , ... ( ) )nv v v v? ? ???202233 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 35擺盟的定義 定義 設(shè) 人合作博弈 是一個簡單博弈。 則 稱為局中人 在 中的一個 擺盟 。 是局中人 的 擺盟總數(shù) 。其中 : （ ） n [ , ]G N v?i? i n12( , , .. . )n? ? ? ??G1ii nii??????1 , 2 , 3...in?202233 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 37Banzhaf勢指標(biāo)的求解 ? 例 有一個投票博弈，投票人的集合為。 （ 2）在票數(shù) 超過總票數(shù)的 2/3情況下，決議通過。 202233 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 38Banzhaf勢指標(biāo)的求解（續(xù)） （ 1） 在得票數(shù)超過總票數(shù)一半的情況下 ，該博弈的 特征函數(shù) 的取值為： 在其余聯(lián)盟 下， 。特征函數(shù)也可記為 4q?1v1 1 11 1 1 11( { 1 , 2 }) ( { 1 , 3 }) ( { 1 , 4 })( { 1 , 2 , 3 }) ( { 1 , 2 , 4 }) ( { 1 , 3 , 4 }) ( { 2 , 3 , 4 })( { }) 1v v vv v v vvN??? ? ? ???S1 ( ) 0vS ?1 { 1 } 3()0 S S SvS ? ? ? ?? ??且 2, 或其 它iw1 2 3 43 , 1 , 1w w w w? ? ? ? 41()0 4 iiSiiSwvSw????? ?????202233 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 39Banzhaf勢指標(biāo)的求解（續(xù)） 局中人 1的擺盟有： {1,2}, {1,3}, {1,4}, {1,2,3}, {1,2,4}, {1,3,4}， =6。 局中人 3的擺盟有 : {1,3}, {2,3,4}， =2。 則 BanzhafColeman勢指標(biāo)為： 1?2?3?4?13 1 1 1( , , , )6666? ?202233 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 40Banzhaf勢指標(biāo)的求解（續(xù)） （ 2）在票數(shù)超過總票數(shù) 2/3的情況下 ，該博弈的 特征函數(shù) 為 其余聯(lián)盟 為 。例 ，通過簡單的計算 BanzhafColeman勢指標(biāo) 為 1 5? ? 2 3? ? 34 1????2 ,?5311= （ ， ）1 0 1 0 1 0 1 0( , , , )? ? 71111，1 1 1 1 1 1 1 1 1 1202233 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 42Banzhaf勢指標(biāo)的求解（續(xù)） ? 例 ，可以看到， BanzhafColeman勢指標(biāo)與 ShapleyShubik勢指標(biāo)是不相同的。 ?ShapleyShubik勢指標(biāo)依賴于 Shapley制定的三條公理體系。 202233 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 43獲勝聯(lián)盟集和最小獲勝聯(lián)盟集 定義 人合作博弈 是一個簡單博弈。 為取勝聯(lián)盟 M的 子集 ，并滿足下列的條件 : 1． 。 2． 。 3． 對于任意的 ，有 。 4． 若 ；若 ，則 ，指只考慮取勝聯(lián)盟中的核心聯(lián)盟，不考慮“啞元”。 同時記局中人 i 的 最小獲勝聯(lián)盟集 為： n [ , ]G N v? M GWW??W ??N,S T W?SW? TS? TW?W G{ , } ( 5. 3. 22 )iW S i S S W? ? ?ST ??202233 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 44DP勢指標(biāo) 定義 設(shè) 人合作博弈 是一個簡單博弈。 。若記 為各個局中人擁有的票數(shù)。其中局中人 有 2票，記為 ，局中人 b和 c各有一票，即 。 ? 該博弈的特征函數(shù)為： 該博弈的最小獲勝聯(lián)盟 ， 則其 DP勢指標(biāo) 為： ShapleyShubik勢指標(biāo) 為： BanzhafColeman勢指標(biāo) 分別為： ? 可見三個勢指標(biāo)并不一樣。 為簡單博弈 的最小獲勝聯(lián)盟集。 同時記： （ ） n [ , ]G N v?W GBW G{ , }BBW i S i S S W??( ) ={ , \ S }BW S T W T N S? ? ? ? ； 且 任 何 真 子 集 不 滿 足 此 式202233 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 48反聯(lián)盟 DP勢指標(biāo) 定義 設(shè) 人合作博弈 是一個簡單博弈 。 ? DP勢指標(biāo)從另一個角度，即從局中人或局中人聯(lián)盟能阻止取勝聯(lián)盟的能力，來計算勢指標(biāo)。 ? 若 ，則 。則 。即含有取勝聯(lián)盟。即聯(lián)盟 具有破壞取勝聯(lián)盟的作用，則 。顯然 具有很強(qiáng)的主觀色彩。我們構(gòu)造了反聯(lián)盟 DP勢指標(biāo)。 ? 我們可以看到， DP勢指標(biāo)和反聯(lián)盟 DP勢指標(biāo)，與占優(yōu)集中的 核心和談判集具有相似的思想。 合作博弈的應(yīng)用 167。 石油市場博弈 202233 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 53167。 ? 例 有三個村莊合作在一個附近山峰上修建了一座電視接收塔，并用通訊電纜將信號傳送到三個村莊。 任意兩地之間架設(shè) 通訊電纜的 成本費用 標(biāo)注在右圖中， 單位為萬元。只考慮通訊電纜的架設(shè)成本，我們可以清楚的看到，只須在（ 0， 1）之間，（ 1， 2）之間和（ 1， 3）之間假設(shè)電纜，就可以滿足傳輸信號的要求，總成本是 25萬元。則有： 這里我們不難看出，在特征函數(shù)解定義 ，應(yīng)將（ ）式的不等號反向，即： 這是成本分?jǐn)偛┺膶μ卣骱瘮?shù)的特定要求 ? 對成本分?jǐn)偛┺模覀兿染推?轉(zhuǎn)歸集和核心 進(jìn)行討論。[ , ]I N v( ) ( { } )iNv N v i?? ?( { 3 } ) 19v ?202233 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 57例 （續(xù)） ? 其中（ ）仍是 個體合理條件 ，（ ）仍是 集體合理性條件 。 ? 在成本分?jǐn)偛┺闹校?核心 的定義為： （ ） ? 與前面核心的定義 。 ? 在該例子中，一個 轉(zhuǎn)歸 的具體表示為： 39。( ) { ( ) ( ) , , [ , ] }C v x x S v S S N x I N v? ? ? ?＝39。并在此重心三角形內(nèi)畫出 轉(zhuǎn)歸集 為五邊形 AEFGH， 核心 為四邊形 ABCD。[ , ]I N v 39。 在此例中， 該博弈的 Shapley值 為： ? 39。 [ , ] { ( ) ( ) | |, , ( ) ( ) }C N v x x S v S S S N x N v N? ?? ? ? ? ? ?39。39。[ , ]C N v? ?? ?39。531 0 2 8 3 7( , ) ( , , ) ( 3 . 3 3 3 , 9 . 3 3 3 , 1 2 . 3 3 3 )3 3 3LC C N v?? ? ?()v?2 1 5 4 7 5( ) ( , , ) ( 3 . 5 , 9 . 0 , 1 2 . 5 )6 6 6v? ? ?202233 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 60多用途水壩問題 ? 例 假設(shè)在某河段上修水壩滿足該地區(qū)的各種利益，比如洪水控制，導(dǎo)航，灌溉發(fā)電以及城市用水。 202233 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 61多用途水壩問題（續(xù)） 設(shè)某水壩其修建的目標(biāo)有 3個， 導(dǎo)航 ， 控制洪水 和 發(fā)電 ?？梢郧蟪鲈摬┺牡?核心 和 最小 核心 。 石油市場博弈 例 國家 1生產(chǎn)石油，其石油可在國內(nèi)消費，如改善交通運輸條件，每桶油可獲利 元。每桶油可獲利 元。其中 。 石油市場博弈（續(xù)） （ 1）博弈 的 轉(zhuǎn)歸集 。 其中 A和 B為 的直線分 別與直線 12和直線 13相交的交點。 石油市場博弈（續(xù)） （ 2）博弈 的 核心 。 將 代入上面方程組，有 核心 為上圖中的線段 1E, E點為直線 與直線 13的交點。即核心 就為 最小